本书假设随机波动率跳跃模型（Bates（1996）[5]）为真实模型，对该模型的离散化方法我们采用IJK-IMM方法（Lord，Koekkoek，and Van Dijk（2008）[60]）。另外用BSM模型、Heston-Nandi（Heston and Nandi（2000）[61]）模型、局部波动率模型（Dupire（1994）[4]）以及stochastic alpha，beta，rho（以下简称SABR）模型（Hagan，Kumar and Lesniewski（2002）[62]）作为定价和复制所使用的近似模型。选用随机波动率跳跃模型（stochastic volatiltiy jump models，以下简称SVJ模型）作为真实模型的原因在于，大量实证检验表明，在众多常用模型中，SVJ模型可以较好地拟合市场数据（Bakshi，Cao and Chen（1997）[6]）。选用BSM模型、Heston-Nandi模型（以下简称H-N模型）、局部波动率模型（local volatility model，以下简称Local模型）、SABR模型作为近似模型的原因在于，上述模型都是业界在实务中定价和复制时的常用模型。尽管在数值模拟中，无论是真实模型还是近似模型的选择，都可以具有一定的任意性，但选用接近市场真实状况的模型，可以提高数值模拟结果的可信度和可用性。
此外，在进行参数校准时，本章采用等权重的近似模型隐含波动率与真实隐含波动率的方差最小化为目标函数。
下面简单介绍所采用的模型。
BSM模型
BSM模型是由Black and Scholes（1973）[1]和Merton（1974）[2]提出的经典模型，其特点在于假设标的资产价格服从几何布朗运动。在风险中性世界中几何布朗运动的未知参数仅有波动率一个，这使得该模型在参数校准上非常方便。在风险中性世界，标的资产价格服从如下过程：
其中，r为无风险利率，σ为股票的波动率。则在几何布朗运动的框架下，一个执行价格为K，到期期限为T的看涨期权的价格为
其中
局部波动率模型
局部波动率模型由Dupire（1994）[4]提出，该模型的特点是，波动率是标的资产价格的某个函数。在风险中性世界下，该模型可表示为
Local模型的优点在于可以较好地拟合整个波动率曲面，并且可以较为自由地选择所需的局部波动率函数。一般认为局部波动率是时间和相对价值（moneyness）的函数。
Heston-Nandi模型
H-N模型是Heston模型的简化。Heston模型由Heston（1993）[3]提出，是最早的随机波动率模型之一，其假设波动率服从CIR过程，具有均值回复的特性，标的资产和波动率之间的相关性为ρ。在风险中性世界中，该模型可表示为
其中，κ为波动率的均值回复速度，θ为波动率的长期均值，ω为波动率的波动率，ρ为标的资产与波动率的相关系数。在风险中性世界中，假设Heston模型波动率的风险价格为零时，香草期权的价格必须通过傅立叶变换得到，为(www.xing528.com)
其中
上式中φ（u）为ln S T的特征函数，F为标的资产的远期价格
当ρ＝－1时，Heston模型转化为H-N模型。这样假设的好处在于减少了风险源的个数，并且可以获得隐含波动率的近似解析解。
SABR模型
Hagan，Kumar and Lesniewski（2002）[63]提出了SABR模型，并且指出由于市场上存在的普通香草期权可以用于对冲波动率风险，因此随机波动率模型是一个完全市场模型。在风险中性世界下，该模型可表示为
SABR模型和随机波动率模型的不同之处在于，在该模型下，标的资产价格服从一个不变方差弹性（constant elasticity of variance，简称CEV过程），而波动率则服从维纳过程。运用奇异摄动（singular perturbation）的方法，Hagan，Kumar and Lesniewski（2002）[63]获得了普通看涨期权隐含波动率的解
其中
随机波动率跳跃模型
Bates（1996）[5]在随机波动率模型的基础上引入跳跃，发展出SVJ模型，形如
其中Z t是一个密度为λ的复合泊松过程，其每次跳跃J是各自独立的，并且服从
的分布。
在本书中，由于假设真实过程是SVJ模型，因此我们实际上做了不完全市场的假设，这比较符合现实情况。在SVJ模型下，欧式看涨期权的价格同样可以通过对其特征函数做傅立叶逆变换得到。由于跳跃过程和扩散过程之间相互独立，因此在随机波动率跳跃模型中，股票价格对数的特征函数等于扩散过程的特征函数乘以跳跃过程的特征函数。
其中
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