模型风险对参数复制策略误差的影响

在前文中，我们可以看到参数复制策略给交易员提供了一个途径来规避参数的不断变化所产生的风险。这种复制策略突破了以往Delta对冲的瓶颈，从理论上说，它对模型任何一个可能产生变动的地方都建立了避险头寸，覆盖了所有可能的参数变动的风险暴露。从理论上说，它可以极大地弥补模型误设问题。原因在于，近似模型如果和真实模型有较大的差距，则其参数的变化就会很明显，如果能够完全规避参数变化的一阶敏感性，则模型风险会得到较大的改善。在现实交易中，交易员们已经普遍使用vega对冲策略来弥补BSM模型的不足，而vega复制策略就是BSM模型所对应的参数复制策略。

但是，模型风险问题是否能够通过参数复制策略被很好地解决呢？答案其实并不是那么肯定，因为参数复制策略本身存在着一定的假设和一些缺陷，这些假设和缺陷在某些情况下可以被忽略不计，但是在某些情况下可能导致非常严重的后果。参数复制策略的隐患可以分为三类：（1）在同一个近似模型下，不同衍生品参数变动存在非同步性；（2）参数变动的高阶项被忽略；（3）对微小计算误差的高度敏感。我们将逐一描述这三个隐患，并在第4章的数值模拟中通过不同模型的对比表明，这三者在某些情况下是可以忽略的，但有的时候会造成很大的误差。

3.3.4.1　参数变动的非同步性

首先，参数复制策略隐含了一个不易被观测到的假设：在同一个模型假设下，不同衍生品的参数变化幅度是相同的，然后计算不同衍生品对同样的参数变化幅度的一阶敏感性，从而实现对冲。然而在真实模型未知时，用一个近似模型进行定价，理论上不同衍生品的参数变化幅度很可能不是相等的。这个问题可能会导致参数复制策略的失败。

从式（3.3）可以看出，近似模型参数所服从的随机过程和衍生品的回报K有关，只要K不同，模型参数所服从的过程就不同，其变动的幅度也很可能不同。尤其是当真实模型中有较多状态变量时，状态变量的随机变化是根本的风险源，只有对冲状态变量的风险才能做到完全对冲风险。但对不同衍生品而言，模型参数对状态变量的敏感度很可能是不同的。这样，假设模型参数发生等幅变动的参数复制策略很可能只是在表面上对冲了参数的敏感性，并没有完全对冲掉真实状态变量的变动风险。

例如，在使用BSM模型作为近似模型时，参数复制策略的本质就是用其他衍生品的vega对冲被复制衍生品的vega。但只有在被复制衍生品的隐含波动率的变动幅度和作为复制工具的衍生品的隐含波动率变动幅度相同时，交易员才能完全对冲掉此时的波动率风险。如果状态变量的变化导致被复制衍生品的波动率变化1个单位，但复制衍生工具的波动率却变动2个单位。此时，vega对冲策略看似考虑了衍生品对隐含波动率的敏感性，但由于其假设两者波动率变化相等，vega对冲策略并没有完全对冲掉真实的风险。

因此，参数复制误差的大小会和选取的复制工具有关：用来对冲某个衍生产品风险的好的复制工具必须是其参数对真实状态变量的敏感度与被复制产品相似的衍生工具。这点将在第4章的数值模拟中得到更为详细和切实的体现。

3.3.4.2　忽略参数变动的高阶项

当市场上状态变量的变化加剧时，参数的变化也将加剧。而参数复制策略只复制参数的一阶敏感性，这种复制思想只在参数变化很小时较为有效。通过对近似模型做泰勒展开，我们可以很容易地理解这一点：

根据前文的推导，在近似模型下，参数也是一个随机过程。因此当参数的变化幅度较大时，根据泰勒展开式，参数变化的高阶项将不可忽略。这点在不完全市场中尤为重要，跳跃的发生往往导致参数较大幅度的变动，此时忽略参数变化的高阶项会在很大程度上影响参数复制的准确性。因此在市场上，有些交易员为了避免参数的大幅变化，往往牺牲部分的校准精确度来获得参数的稳定性。具体做法是在校准函数后加上表示距离的惩罚项（Cont and Tankov（2004）[56]）。(www.xing528.com)

3.3.4.3　对微小计算误差的高度敏感

除了以上两个问题，参数复制策略还存在对微小计算误差十分敏感的特点。由于计算参数复制策略所需衍生品对冲头寸需要解方程组，因此头寸数量的多少完全是由方程组性质决定的。但我们知道方程组的解往往是不稳定的，极小的数值变化可能得到完全不同的两个解，这将导致复制策略的不稳定性。

为了说明这一点，我们有必要回顾式（3.8）。该式给出了复制工具购买份额的计算方式，即

现在我们通过假设一组真实数据和一组带有计算误差的数据来说明参数复制策略的缺陷。如果真实数据为

但在计算过程中，如果的计算产生偏误，则对复制工具的对冲份额的计算将产生影响。以下给出两组存在偏误的及其对应的，考察微小计算误差对参数复制策略的影响。

第一组

第二组

从以上两个例子可以看出，当参数的一阶风险基数很小时，如上述例子第一组参数中的0.04，被复制产品参数敏感度的微小变化将导致计算得到的复制工具的购买份额产生很大的差异，但实际上此时参数敏感度的计算误差对复制并没有很大的影响。反之，当参数的一阶风险基数较大时，被复制产品参数敏感度的变化对复制工具购买份额的影响将降低，但是实际上此时的参数敏感度的计算误差对复制的影响要大得多。正是基于这个原因，在第4章的数值模拟中，本书并未将标的资产二阶矩（Gamma）复制和参数的二阶项复制作为比较的复制策略之一[14]；因为Gamma以及其他参数的二阶项常常具有很小的值但却有非常剧烈的变化率。