衍生品定价：模型风险与复制误差的理论分析

本章的主要工作，是从理论上论证模型风险与复制误差、跳跃风险之间的关系，为第4章至第6章的数值模拟和实证研究奠定理论基础。

本书第2章已经简要描述了模型风险的来源及其主要表现形式，并指出在模型风险的现有研究中，存在与无套利定价思想不相容的缺陷，而且不少研究只关注模型风险所导致的初始定价误差，而完全忽略了模型风险所导致的复制误差。对于在衍生品市场上进行对冲交易的金融机构[2]来说，初始定价对应着衍生品的出售价格，但这个价格是否合理实际上取决于未来该衍生品的复制成本，而初始定价与未来复制成本现值的差异正是“复制误差”。本书认为，在研究模型风险时，复制误差是一个更重要和更好的切入点。主要原因有二：

第一，期权类产品是最重要的衍生品之一。期权回报的不对称性决定了期权市场生态的特殊性：大部分投资者愿意购买期权，而有能力出售期权、平衡期权市场供需的金融机构必须通过复制策略来对冲期权空头的风险。[3]复制误差直接关系到这些机构的盈亏，关系到整个期权市场能否正常合理运行，因而具有非常重要的研究意义。

第二，从初始定价误差的角度来研究模型风险，需要已知真实模型，而这是不现实的；从复制误差的角度来研究模型风险，可以将某个近似模型在现实中的动态复制成本与初始定价结果之间的差异作为模型风险的度量，越合理的模型，复制误差及其波动率越小，这能够很好地克服在检验中对于真实模型的依赖，因而是一个更好的研究视角。

因此，本章要回答的第一个问题就是：“复制误差”与模型风险存在什么理论关系？在3.1节，本章将基于衍生品定价与复制过程，论证复制误差是研究模型风险的一个良好视角，并讨论了复制误差如何受到模型风险的影响。总体而言，模型风险会通过三个互有交叉的途径影响复制误差，即模型设定偏误、模型参数的随机性和风险源的遗漏。

接下来，在3.2节，我们首先考察了模型设定偏误给复制误差带来的影响。在衍生品市场的日常交易中，无论是在BSM模型假设下，还是在其他更加复杂的模型假设下，Delta复制策略都是首选的复制策略。因此3.2节就以Delta复制策略为例，说明了无论什么模型都会因为模型设定与真实模型不同而产生Delta复制误差，并表明这个Delta复制误差实际上是复制误差中的一部分，会直接影响到交易员复制账户的盈亏。

3.3节进一步对第二个影响途径进行了讨论，分析模型参数的随机性给复制误差带来的影响。在现实市场中，模型参数总是不断调整的。这反映了一个重要事实：在事前我们不可能掌握所有的未来信息，因此参数的变化刻画了市场上不断更新的信息。相应地，从本质上说，参数是随机的。3.3.1节通过推导论证了这个问题。进一步，如果参数本身是随机的，是否有方法来应对相应产生的风险？3.3.2和3.3.3两小节给出了两种方法：参数的连续重新校准和参数复制。前者的本质是根据市场上的衍生品价格信息，不断动态调整参数；而后者考虑了参数变动的风险，并将其一阶敏感性也作为对冲的对象。但是，这种看似考虑更加周全的复制策略也存在它的缺陷，3.3.4小节讨论了参数复制策略可能存在的三个隐患及其与模型风险、复制误差的关系。(www.xing528.com)

接下来，3.4节以跳跃风险为例说明了遗漏风险源给复制误差带来的影响。实证研究和市场经验均表明，跳跃风险是影响标的资产价格的最重要风险之一。这是因为跳跃风险本身是离散的，不同于随机过程中普通的扩散风险，它给衍生品复制和定价带来的影响是非常巨大的。然而，由于其复杂性，跳跃风险又是衍生品定价模型中常常不予考虑的风险。如果加入跳跃风险的考量，遗漏风险源的不良影响就会大大减弱，因此3.4节针对跳跃风险加以分析。在3.4节中，我们同样以Delta复制为基础，说明在一个有跳跃的世界中，Delta复制策略会如何受到跳跃风险以及跳跃风险溢酬的影响，从而进一步影响复制误差。在第4章和第5章中，我们还会通过数值模拟和对美国市场的实证检验来进一步说明这个问题。

最后，3.5节对本章各节推导的结论进行了回顾，并总结了其对进一步数值模拟研究和实证经验研究的一些启示。

和目前国内外现有的研究相比，本章在几个方面对模型风险、复制误差和跳跃风险的理论探讨尚属首次，主要体现在：

第一，本章首次将复制误差定义为初始定价与复制成本之间的差异，这与以往学者们对复制误差的定义不同，他们的定义是“模型所对应的复制成本与现实中价格变动之间的差异”。本书的定义侧重模型复制对于定价的自我解释能力，后者重视的是模型对于现实的拟合能力。相应地，两种定义会衍生出以下差异：（1）研究的出发点和重点不同。以往研究认为可以通过改进近似模型来不断提高拟合程度，因此侧重于用各种近似模型来逼近真实模型；而本书却假设真实模型是未知且不易掌握的，此时交易员要考虑的是：什么模型在市场多变的情况下能够处变不惊，得到最为稳健的结果。从现实来看，衍生品市场发展几十年来，出于速度和成本的考虑，市场上常用的近似模型大体已确定为几种，因此交易员往往重视稳健性甚于准确性，本书的研究思路具有很强的实用性。（2）适用范围不同。由于本书将复制误差定义为初始定价与复制成本之差，从而可以通过模拟来考察不同模型的差异，因此本书的研究结果可以适用于当前不存在的衍生品。这样一来，本书的定义更适合研究奇异期权、结构性产品以及像中国这样期权刚刚开始发展的市场。而以往研究由于将复制误差定义为近似模型复制成本与现实价格变动之差，因此必须有真实的衍生品价格，通过不断拟合来研究模型风险，故适合于不断挖掘近似模型的拟合潜力，对当前衍生品已经高度发达的欧美市场较为有效。本书的研究第一次提出了复制误差的新定义和新研究视角，可以对现有文献做出补充。

第二，本章详细讨论了模型风险对两种复制策略，即Delta复制策略以及更为复杂的参数复制策略的影响。其中，关于模型风险对Delta复制策略的影响，有部分学者研究过；而就笔者所见，尽管参数复制策略已被业界广泛采用，但迄今为止，尚未有人研究过模型风险对参数复制策略的影响。本章深入讨论了参数非水平变动的影响、参数复制策略遗漏高阶矩的影响以及参数复制策略方程组解的性质，并以实际数值为例，直观地展示了计算误差会如何影响复制策略中各个衍生品的头寸。这对交易员实际操作参数复制策略有着很大的实用价值。

第三，在跳跃风险对Delta对冲组合的影响方面，本章的考察也比以往研究更为深入。以往已有学者对Delta对冲组合在随机波动率跳跃模型假设下的具体表现形式进行理论推导，而本章则将假设放松到多状态变量的N维跳跃扩散模型，推导出了更加一般化的结论；而且这个结论揭示了在实际对冲操作中，复制误差（准确地说是复制误差的一个部分——Delta复制误差）如何受到跳跃风险的影响。