风险溢酬：衍生品定价中的跳跃扩散模型

2.3.1.1　Merton模型

虽然Cox and Ross（1976）[32]将跳跃引入了期权定价中，解出了标的服从纯跳跃过程以及标的价格服从漂移加跳跃过程的期权价格的解析解，但在他们的文章中，并没有详细分析在这些过程下如何对期权进行有效的复制，因此，我们在此不详细介绍Cox and Ross（1976）[32]的文章。

早期具有较大影响力的跳跃扩散模型是Merton（1976）[2]提出的。在Merton（1976）[2]中，标的资产价格的过程满足

其中，μ代表了股票的瞬时收益率，而k代表了每次跳跃发生时跳跃的期望幅度，即跳跃到来时，跳跃幅度带给股票的瞬时收益率。φ表示跳跃dJ到来的强度，kφ项的作用是补偿跳跃带来的偏离，使得股票的平均收益率仍然为μ。在这个假设下，Merton得出了期权价格应该等于

其中，C（SY n e－φkτ，X，r，σ2，τ）代表相应的BS公式计算出来的价格。而SY n e－φkτ代表的是，当发生n次跳跃时，BS公式中的股票价格需要经过实现的跳跃次数的调整。其调整方式为：首先，股价要乘以每次跳跃的收益率Y的n次方；其次，经过τ时间内的预期跳跃幅度的贴现，此处的预期跳跃幅度与真实跳跃次数是无关的；最后，通过对不同跳跃次数在概率上进行加权就得到了Merton假设下的期权价格。

从式（2.11）可以看出，Merton模型中的期权价格是BSM价格的调整加权，那么在Merton模型的假设下的复制策略是不是也和BSM模型有关呢？这个答案是肯定的。Merton认为，由于跳跃行为主要是个股股价的特异性特征，它是一个非系统性风险，因此，投资者可以通过资产配置充分分散这种跳跃风险。所以，在Merton的模型中，跳跃风险不会带来相应的风险溢酬。在这种设定下，使用Black and Scholes（1973）[1]的方法，我们依然可以将式（2.10）中的连续的扩散风险给对冲掉。

通过伊藤引理，我们可以得到衍生品价格所服从的随机过程

将d S展开可以得到，d C（S，t）漂移项部分为

而d C（S，t）的波动部分为

由于跳跃风险是非系统性风险，因此，期权中隐含的风险价格只剩下对连续的扩散部分的补偿，它应该和股票中隐含的风险价格一致。故，我们有

结合式（2.12）至式（2.15），经过化简我们可以得出

因此，Merton的模型中的思想实际上蕴含着一价定律，其最重要的表现就在于式（2.15）。这个式子的经济含义是：即使风险源不同，但只要其中包含系统性风险的风险源，它们的风险价格仍然是一致的。

2.3.1.2　Bates的随机波动率跳跃模型[4]

由于Merton（1976）[2]对于跳跃风险为非系统性风险的假设过于强烈，因此，之后有不少学者对这个假设进行了放松，他们假设跳跃本身可以是系统性风险，并分析在这种假定下期权的定价。比如，Bates（1996）[5]将跳跃加入到了随机波动率模型中，他假设在现实测度下，资产的随机过程服从

在式（2.17）中，标的资产服从带随机波动率的扩散跳跃运动，其中资产的方差V服从一个均值回复过程，跳跃部分的d q是一个泊松过程。对于跳跃d q，其发生的概率为λ，跳跃幅度k服从对数正态分布。式（2.17）是一个标的资产在现实世界中的过程，但在风险中性世界中，某些参数需要经过风险价格的调整。调整后，Bates得到了标的资产的风险中性过程为

其中

为了简化模型，Bates（1996）[5]将方差风险溢酬Φv设定为Φv＝ξV，即方差风险溢酬与方差大小成比例，也可以理解成风险溢酬就等于单位风险价格乘以风险量，其中方差风险的单位风险价格为常数。在这种设定下，Bates（1996）[5]也利用特征函数推导出欧式期权的价格为(www.xing528.com)

其中，θ代表模型的参数，在Bates（1996）[5]中，相关的概率P j，j＝1，2可以通过傅里叶逆变换的数值解法求出

其中

在上式中

在Bates的模型中，即使我们用把标的资产的扩散风险给对冲掉，剩余的组合中还含有波动率风险以及跳跃风险，并且这两者都要求一定的风险溢酬。其中，波动率风险也属于连续的风险，是可以用其他衍生工具对冲的（如其他期权），但是跳跃风险部分无法被完全对冲。因此，在从这个角度上看，在Bates（1996）[5]模型的假设下，期权不仅不是标的资产的冗余证券，而且也无法通过其他期权进行复制。从这个角度考虑，每一个期权都将是一个具有独立风险头寸的金融工具。

在Bates（1996）[5]之后，Bakshi，Cao and Chen（1997）[6]通过实证比较了各种不同期权模型的定价准确度，以及复制的效果。Bakshi，Cao and Chen（1997）[6]不仅检验了之前学者的模型，包括BSM模型、随机波动率模型（即Heston（1993）[3]）、SVJ模型（即Bates（1996）[5]），还检验了SI（BS基础上加入随机利率）、SVSI（随机利率加随机波动率）模型以及SVSI-J（随机利率加随机波动率加跳跃）模型。他们发现在定价效率上，SVJ和SVSI表现得最好，而在复制的效果上，SVJ和SVSI与SV模型相比并没有显著的提高。

2.3.1.3　Duffie等的仿射跳跃扩散模型[5]

Merton（1976）[2]，Bates（1996）[5]，以及Bakshi，Cao and Chen（1997）[6]的文章的共同点在于都把跳跃过程加入到股票价格的运动中，而Duffie，Pan and Singleton（2000）[33]建立了一个更加一般化的模型，他们假定在一个经济中有许多风险源对应了模型中不同的状态变量，而所有这些状态变量都服从扩散跳跃过程，并在这种情况下，给出了衍生品的解析解。在Duffie，Pan and Singleton（2000）[33]的文章中，状态变量服从

其中，X t代表状态空间中的一个向量，d Z t是多维的跳跃过程，它的到达密度也是多维时变的向量，假设状态变量的函数为λ（X t），跳跃的幅度为Z t，其概率分布为ν。并且，该文假设了状态变量的漂移项μ（X t），状态变量的波动项σ（X t），跳跃的密度λ（X t），以及折现因子（即利率）R（X t）与状态变量X t的关系为

可以看到，以上这些参数与状态变量的关系都服从线性关系，这也是将这个模型称为仿射跳跃扩散（Affine Jump Diffusion，AJD）模型的原因。在这个假设下，Duffie，Pan and Singleton（2000）[33]通过傅里叶变换与傅里叶逆变换证明了一个欧式看涨期权的价格服从

其中，G a，b（y；X 0，T，x）可以通过傅里叶逆变换表示成

而这其中的ψx（u，x，t，T）代表的是状态变量的特征函数，它等于

其中，β（t）与α（t）又满足含有复数的常微分方差（ODE）

该常微分方程的边界条件为β（T）＝u以及α（T）＝0，并且，其中的θ代表跳跃幅度的分布v的傅里叶变换。

在Duffie，Pan and Singleton（2000）[33]的这个框架中，虽然他们没有详细地讨论该定价所对应的期权复制策略，但是，通过对结果的分析我们发现，给期权进行定价也已经不再是简单的无套利定价，期权的价格中含有各种状态变量的风险溢酬。

之后，还有不少学者对在资产价格以及其他状态变量中加入跳跃进行了经验研究，比如，Eraker，Johannes and Polson（2003）[34]对股票和方差两者进行建模，他们认为股票价格和方差都可能存在跳跃。因此，股票和方差的过程可以写成

他们运用MCMC的方法对式子进行估计，发现在波动率与收益率中隐含的跳跃都是不可忽略的，并且，模型的设定会对期权价格造成较大的影响。Eraker（2004）[35]也对指数和期权的联合数据进行估计，他发现将波动率中的跳跃与收益率中的跳跃发生的驱动源设为相同时，模型拟合效果比那些跳跃驱动源不同的模型的拟合效果更好。