华应龙教育：数学思维启迪，研究算法多种方法

师：看看这个图（投影教材上的书架图），有哪些信息？还有哪些信息？谁能用自己的语言把这些信息组合在一起，提出一个问题？

生：每层可放书14 本，共有12 层，150 本书能放下吗？

师：他的问题是“能不能放得下”，可以吗？

生：可以！

师：你想怎样解答？

生：用估算的方法。（学生上台指着图片）把14 看成15，把12 看成10，用15 乘10 等于150。

师：大概估算了一下，方法可以吗？

生：可以。

师：他估算得很快！不过，这样估算只能说大概行，差不多行，可能行。我要问到底行不行呢？

生：不一定。

师：可能有点含糊，要想准确地回答行不行就要准确计算。那你想怎么算？

生：我会计算出14×12，结果和150 做比较。

师：要计算12×14？出现问题了，两位数乘两位数，咱们还没有认认真真、正正经经地学过、研究过。这节课咱们就来研究这个问题。（板书课题）谁会做？

（很多同学举手：“我会！”）

师：你不仅要会乘，还要把道理说清楚，会吗？有了一种方法，还有没有第二种方法、第三种方法？先独立思考。

（学生动脑思考，动笔演练，大约两分钟后——）

师：那就小组之间，互相当小老师，看能不能把对方说懂。开始交流。

（学生小组交流、讨论，教师巡视。）

我们的教学存在着这样的误区——老师不懂装懂，学生懂装不懂。这节课上，在大部分学生都说“会”的情况下，李校长并没有把学生拉回原点，而是提出了高要求：“你不仅要会乘，还要把道理说清楚，会吗？有了一种方法，还有没有第二种方法、第三种方法？”这践行了她提出的“以学论教”的教学理念。

因为学生没有“正正经经地”学过，所以学生的计算方法可能不同，计算方法的数量也会不同，李校长提出用尽可能多的方法来解决问题，既体现了因材施教，让不同的学生得到不同的发展，体验成功解决数学问题的喜悦或失败的沮丧，又体现出追求算法多样化，培养学生思维能力的高度自觉。

学生之间的讨论、交流是建立在独立思考的基础上的，讨论、交流的质量必定提高。

学生大约交流、讨论五分钟后——

师：（轻轻地拍手，示意结束讨论）我发现咱们班的学习习惯特别好，这样大家可以节约很多的时间，学习效率一定高。哪个小组有了一种方法？

（大部分同学举手。）

师：有两种方法的？

（部分同学举手。）

师：有三种方法的举手。

（部分同学举手。）

师：四种？ 五种？六种？七种？十种？

生：差不多有十种。

师：我可没想到，我只想到了三种，后面的几种我要好好学学（环视一周）。哪个小组来说第一种方法？你们来。（坐到学生座位上，看着一组学生讲。）

生11：（小组4 人一起上讲台）我们的方法是，比如说12×14……

生12、13：（一生板书，一生解说）列竖式，二四得八，一四得四，一二得二，一一得一，再把两个数加起来，等于168。

生14：谁来给我们评价？

女生：我觉得你们这个有点不太清楚，我再给大家解释一遍。

师：我建议——你觉得哪个地方他们讲得还不够清楚，你就问他们哪个问题，让他们解释，考考他们。

（那位女生点点头：“为什么把48、120 这两个数加起来？”）

组员1：因为它们分别用4×12 和1×12。

（好多学生齐声反对说：“是10×12。”）

组员1：所以要把两个数的和加起来，才是它们的总和。

（那位女生：“再问你一个问题，为什么把2 写在十位上？”）

组员2：因为是10×2，所以把得到的2 写在十位上。

（那位女生佩服又很满意地说了声“谢谢！”，坐下了。）

师：（鼓掌）我这个掌声是给谁鼓的？

（学生示意是给那位女生。）

师：我为什么给她鼓掌呢？她问了两个问题，问得特别有水平。下面的掌声给台上的同学们，发言很精彩。大家都明白了吗？

生：明白了。

在这一环节，我们可以感受到李校长在培养学生互动意识和交流能力方面的高超艺术。在那位女生要“我再给大家解释一遍”的时候，李校长介入进来：“我建议——你觉得哪个地方讲得还不够清楚，你就问他们哪个问题，让他们解释，考考他们。”这样就把单向的言说，变成了多向的对话。并以此种方法突出了学习重点即对算理的理解，同时潜移默化且有效地培养着学生学习的方法、习惯与能力。

李校长真诚的鼓掌，既是对那位女生的奖赏，又是对提高学生提问能力的引导。

师：我想请哪位同学重复一遍。为什么将这两部分（用手示意48、120）加起来？

生：两个数的和。

师：48 是怎么来的？

生：4个12。

师：120 是怎么来的？

生：10个12。

师：这个1 在百位，这个2 在十位，虽然写“12”，但它表示的是什么？

生：12个“10”。

师：这里为什么空着？可以写0 吗？

生：可以。

师：写0 更清楚。可以不写0 吗？

生：可以。

师：不写0 很简洁。既然不写0，不错又简洁，所以我们就不写0了。那哪里来的4个12，10个12 又在哪里？

（一名学生上台指着竖式说：“这里是4×12，这里是10×12。”）

师：好极了，我觉得很精彩！同学们觉得呢？

（生鼓掌。）

师：这算一种方法吧！（指着竖式中的横线）没拿尺子画得还比较直，要是用尺子就更直了，我希望大家画得更直！

李校长的课堂教学是扎实、朴实的，又是艺术的。李校长并没有像我们在好多示范课上看到的，关键的地方只要有一两个学生说出来，就大功告成了，赶紧进入预设的“即将精彩”的下一环节，而是面向全体，面向“弱势”群体，让学生再想一想，说一说。

“没拿尺子画得还比较直，要是用尺子就更直了，我希望大家画得更直！”这话说得多艺术！“没拿尺子画得还比较直”，是一种乐观的眼光，一种激励的表达。我们可以反过来想一想，如果说：“没拿尺子画得不直吧，我建议大家用尺子。”这就是一种命令、要求而已。大家都知道，如果不用心，就是用尺子也画不直啊！“要是用尺子就更直了，我希望大家画得更直！”传达的是老师的殷殷期望，目标是画直竖式中的横线，做出美观的作业；用尺子只是一种方法、一种引导，徒手画直了也是允许的。

“教学是一种语言的艺术。”诚哉斯言！

师：第二种方法？你们组来吧。

生：（4 人上台，其中一人问）老师，写两个可以吗？(www.xing528.com)

师：（面向大家）你们说呢？

（好几位学生大声说：“不可以，一个。”）

师：你们让他们写一个的目的是——把机会留给其他同学。

生21：咱们算式里有+ 、- 、×、÷，大家可能都用乘法做的，所以仅仅那么几种方法。如果+ 、- 、×、÷都用上，是不是算出来的方法就更多了！

师：等一等，我觉得他刚才的话说得真精彩！（鼓掌）

（生鼓掌。）

生21：我给大家介绍一种减法，（20-8）×（15-1），20-8 等于12，15-1 等于14。

［生22 板书算式：（20- 8）×（15-1）=12×14］

生21：就可以算出结果。

［下面有几位同学发出似有所悟的“哦——”声。可能是反应不强烈，也可能是自己觉得不妥了，该组组员们犹豫、争论之后，又将算式改成（20- 8）×（15-1）=12×（15-1）。］

生24：（旁白）这是一种比较难的方法，过会儿再给同学们介绍一种比较简单的方法。

（生21、生22、生23 还在商量、犹豫，小组内产生了分歧。组员3想把算式再接着写下去，可是生21 不让。生23 大声说：“你干吗！”）

师：“20- 8”我明白，“15-1”我也明白，我现在不明白的是他们现在要干吗？

（同学们都笑了。）

师：他们告诉我们这个方法太难了。难我们不怕，光是难的问题吗？

生：不是。

师：他们小组已经有分歧了，有分歧是好事。咱们这道题本身就是14×12，你为什么不直接抄过来呢？写（20—8）有什么用呢？

生21：可以作为一种方法。

生：我觉得你们是为了算着简捷一点，而不是要凑一种方法。

师：这样又回到了14×12，我还叫它多此一举呢。现在把这个算式放到上面：12×14=（20- 8）×14 会做吗？

（没有学生应答，都在思考。）

［生21 写成12×14=（20-8）×14=12×14］

师：又回去了，问题解决了吗？

生：（齐）没有。

师：（台上小组还要争，老师示意面向大家）我有一点想法，把你们小组叫到前面来介绍你们的想法，你们意见都没有统一，争论上了，遇见这样的事你们先要统一意见。回去你们再商量商量，这个机会不能再给你们了。哪个小组说第二种方法？

传统的教学是“老师牵着学生走”，课堂是在老师的控制下有序地运行；而在新型的探究性学习课堂中，是“老师围着学生转”，课堂上发生的许多情景都是老师无法事先预料的，老师的主要工作就是选择适当的时机和方式“介入”。如果“介入”得过早或者“介入”的方式不对，就会打破学生已经形成的探究氛围；但如果“介入”得太迟，则容易使探究活动因无序而无效。

在提倡算法多样化的今天，我们常常会遭遇学生凑算法的事件。怎么处置？李校长在学生小组内达不成协议，开始争论的时候，接住话茬，适时“介入”：“‘20- 8’我明白，‘15-1’我也明白，我现在不明白的是他们现在要干吗？”学生大笑过后是思考：我们要解决的问题究竟是什么？并且在后一组学生汇报的时候，李校长巧妙照应：“拆完之后干什么很重要！”彰显了新课程下教师的组织者、引导者角色，也是李校长提出的“勇敢地退，适时地进”的率先垂范。

生31：李校长在讲两位数乘两位数之前，先跟我们说了：我们算一位数乘两位数是算得比较准确的，所以呢，我们就把这个两位数乘两位数改成两位数乘一位数的算式。

师：他是要把两位数乘两位数改成两位数乘一位数。如果能改成两位数乘一位数，问题就解决了。因为两位数乘一位数咱们以前学过，好极了，他这个思路实际上是特别重要的、特别好的一种数学思想，叫什么？（板书：转化）咱们来看看他们是怎样转化的？

生32：用12×4+12×10。

师：问题解决了吧！这个会吧？这是旧知识吧！48+120 结果是168。

生：老师他这种想法与竖式的方法一样，只不过用的是脱式罢了。

生33：我们用的方法比较好算一些。

生：感觉和竖式一模一样。

生34：因为它是把一个整数分成两部分。

师：明白了？（对应地指着竖式和横式的相应部分）这不就是4个12吗？这不就是10个12 吗？然后这两部分一加。思路一样不一样？

生：一样。

师：什么不一样？

生：格式不一样。

师：格式不一样，表达的方式、形式不一样。很好，请回！

有人说：三流的教师教知识，二流的教师教方法，一流的教师教思想。

在这一环节，学生画龙李校长点睛，“转化”思想的揭示水到渠成。

第一、第二两种算法的沟通，帮助学生更好地理解了“两位数乘两位数”的计算法则。

师：第三种方法，请坐在最后面的一组同学。

生41：把12 分成2×6，14 分成2×7，12×14 就等于2×6×2×7等于4×42，最后等于168。

师：可以吗？

生：可以。

师：其实他的思路挺启发我的，不知道能不能启发你们。他把12 拆成2×6，14 拆成2×7，拆完之后干什么很重要！两个2 结合，等于4。4 乘6 等于24，再算24×7，它就变成了一位数乘两位数。这是旧知识呀！问题就解决了，思路挺好的。能不能比这个更简捷一点，能不能直接拆成一位数乘两位数，拆成4个数麻烦点。

生42：可以把14 拆成两个7，用7×12=84……

师：（板书：12×14=12×7×7=84×7）这个方法对吗？

（学生在思考，小声讨论。）

师：从结果看就有问题，84×7 肯定不是正确答案。

生42：应该用12×7×2，两个7，是乘2，12×7=84，84×2=168。

（同学们点头认可。）

师：我明白了，刚才有的同学说方法甚至到10 种，那就按着这种方法，我们把它转化成一位数和两位数相乘，还有很多种方法。第三种方法是把14 拆了，还可以拆12，但是正像一位同学说的，这个方法和那个方法思路是一样的。我发现咱们班的水平真够高的！其实，你们现在用到的知识是四年级才学的——乘法分配律（约有十个学生附和）；12×7×2 这个是运用了——乘法结合律（也有约十个学生附和），真是了不起！这样的话，今天的两位数乘两位数的问题有没有解决？学新知识了吗？

生：学了。

师：解决的时候有新知识吗？哪一点是需要老师告诉你的，不告诉你就解决不了这个问题？

生：没有。

师：靠的是哪种思想？

生：转化思想。

师：两位数乘两位数转化成两位数乘一位数，转化的目的是什么？

生：好算。

师：不只是好算。同学们利用旧知识解决了今天的新问题，关于这方面同学们没有问题了吧！

生：没有。

师：多种方法计算这个题，你喜欢哪一种？

（大部分学生说喜欢第一种，有学生说喜欢第二种，也有学生说喜欢第三种。）

师：第一种和第二种思路是一样的，一个横式表达，一个竖式表达。可以竖式算，可以12×14=12×4+ 12×10 这样算，也可以12×14=12×2×7 这样算，但不能12×7×7 这样算。今天对于你们来说，竖式不是最新的，以前也见过，但今天见的层次多了。我想今天学习了两位数乘两位数在竖式这种表达方式上要重点掌握。

学生说出：“把12 分成2×6，14 分成2×7，12×14 就等于2×6×2×7等于4×42，最后等于168。”李校长则说：“他的思路挺启发我的，不知道能不能启发你们。他把12 拆成2×6，14 拆成2×7，拆完之后干什么很重要！”这样由表及里的引导，就把学生的思维引向深刻。

在肯定、鼓励之后，李校长指出“能不能比这个更简捷一点，能不能直接拆成一位数乘两位数”，这样由此及彼的引导，又把学生的思维引向了简约。

最后的总结，是在多角度发散之后的聚合，是一种攀爬，是一种提升。总结的不单是计算方法，还有探究过程。这都是新教师的课堂，或者说是新课程下不少课堂中缺少的。这也是“适时地进”的经典范例。