教学误区揭示：小数除法的潜藏错误

前不久，笔者听了一位青年教师的“除数是小数的除法”教改实验课。教者以现代的教育理论，先进的教学思想，崭新的设计视角，大胆地进行了教学改革，赢得了大家的一致好评。

比如，例题的教学处理，颇有见地。

猴妈妈买回4.5 米花布，如果平均每只小猴做一套衣服需要花布1.5米，那么，这些花布可以做给几只小猴穿？

答：这些花布可以做给3 只小猴穿。

这样，改变了传统教材重计算法则的概括，而忽视应用意识的培养的做法。但是，在运用例题所示方法去解答课后思考题时，却遇到了教者始料未及的麻烦。题目如下：

一条钢管长3.6 米，叔叔想把它锯成长0.7 米的短管，最多可以锯多少段？余下的钢管长多少米？

如果仿照例题所示的方法，那么本题应列式为：

而正确的余数应为0.1 米。这大概就是教者将此题列为思考题的缘由：考查学生是否全面准确地理解了商不变的规律。商不变的规律字面表达着“变中有不变”——商不变，却暗含着“不变中又有变”——余数在变。

那么将解答过程写成

对不对呢？答案还是否定的。因为根据等式的传递性3.6÷0.7=5（段）……0.1（米）；但是36÷7≠5（段）……0.1（米）。(www.xing528.com)

我们认为，这是教者犯了一个不易察觉的错误。

诚然，在一般小数除法计算中，是不可以采用“有余数除法”的形式来表示小数除法的计算结果的。因为有余数的除法是相对于被除数是整数，除数是自然数的除法而言的，并且规定了不完全商和余数也必须是整数，不能是小数、分数。如计算3.6÷0.7，结果写成“5……0.1”是不妥当的。但是在解答应用题时确实存在着“有余数”的小数除法，例如前述的思考题。

为什么会产生有悖于等式传递性的逻辑推理错误呢？难道商不变规律还有不成立的时候？问题是出在余数的表达上。

大家知道，有余数的除法可表示为a÷b=q……r，其中a、b、q、r 均为非负整数，b≠0，0 ≤r＜b。如果将有余数的除法表达式中的“……”改为”+ ”的话，那么余数r 应变为即例如7÷2=3……1，也就是700÷200=3……100，也就是因此

回过头来看前述思考题的算式，如果改成：

则不违背等式的传递性。可是，这并不能回答思考题的问题：“最大可以锯成多少段？余下的钢管长多少米？”因此，我们将目光移到教者改进的书写格式上。

传统教材在教学小数除法时是在竖式中体现运用商不变的规律；执教教师着意在横式中体现商不变规律的运用。竖式中所显示出来的“余数”，并非真正的余数，真正的余数可以结合原来的被除数的数位来确定，这并不困难。横式中的“余数”却左右为难，那样也没多大价值，于事无补，不解决问题。

由此看来，执教教师突出思想方法，强化应用意识，让学生自主概括计算法则的指导思想值得弘扬，但在书写格式上的改进要慎重。把除数是小数的除法转化为除数是整数的除法，这一过程可以想在头脑里，但绝对不能用连等的形式写出来。