生产决策分析中投入要素的最优组合

在制订生产决策时，企业管理部门必须考虑生产什么和如何生产的问题。那些长期成功的公司，对这两个问题处理得颇为出色。生产自动唱片转换器的BSR公司就是其中一例。BSR成了格莱德和其他公司不得不通过推销自己预先装配好的价廉质优的唱片转换的办法来与之竞争的劲敌。BSR公司之所以有能力低价出售其产品是因为它能在生产过程中大量节省费用，BSR公司取得这种节约部分地是通过简化唱片转换器(使用微型化电子学)和自制马达、旋转盘及其他零件。福特公司和通用汽车公司是两个另外的例子。这两个企业的长期成功至少可以部分地归因于精心的产品设计和有效的生产组织。现在有些象纳克公司这样的小钢厂能以比大钢厂更高的效率生产某些型号的钢材。这种高效率至少可以部分地归因于它们采用了象电弧高炉、连续铸造器这样的现代化设备和成功地把企业一般管理费控制在很低的水平。

对需求进行分析和估计，主要是为了解决企业生产什么、生产多少的问题。接着就要解决怎样生产才能达到最大的经济效果。这里，又有两个问题：一是投入要素怎样组合才是最优?二是产品产量怎样组合才是最优?投入要素怎样组合的问题，对现有企业来说，着重是要解决企业的作业率多高才最合理。对新建企业来说，则涉及选用什么样的技术方法和多大的生产规模问题。在管理经济学中，这些问题是通过对生产函数的分析和寻找最优解来解决的。生产函数(TheProductionFunction)反映投入与产出之间的关系。它的一般表示式为：

Q=f(x，y,…)(2．1．1)

式中：Q—代表产量；

x,y…——代表诸投入要素，如原材料、设备，劳力等。

例如，Q=2x+3y这个生产函数表示：如x投入要素投入1个单位，y投入要素投入2个单位，就可以得到某种产品的产量8个单位(=2×1+3×2)。

需要指出的是，生产函数中的产量，是指一定的投入要素组合所可能生产的最大的产品数量，也就是说，生产函数所反映的投入与产出之间的关系以企业经营管理得很好、一切投入要素的使用都非常有效为假设的。

一个生产体系的投入、产出关系取决于该生产体系中设备、原材料和劳动力等诸要素的技术水平。所以，技术的任何改进，都会导致产生新的投入、产出关系，从而产生新的生产函数。不同的生产函数代表不同的技术水平。

如果企业的产量已定，寻找最优的投入、产出关系就是寻找最优的投入要素的数量组合，这种投入要素的数量组合应能使企业以最少的费用生产出这一定量的产品来。从这个意义上讲，生产决策分析也就是对如何投入进行分析和决策。

□单一可变投入要素的最优利用

假定其他投入要素的投入量不变，只有一种投入要素的数量是可变的，研究这种投入要素的最优使用量(即这种使用量能使企业的利润最大)，就属于单一可变投入要素的最优利用问题。这类问题在短期决策中经常遇到。例如，在短期内现有企业的厂房、设备都无法变更，要增加产量，只有增加劳动力，那么增加多少劳动力才是最优的呢?这就属于单一可变投入要素的最优利用问题。

□总产量、平均产量和边际产量的相互关系

下面先举例说明这三者之间的关系。

假定某印刷车间，拥有4台印刷机。如果该车间只有1名工人，这名工人的产量一定有限，因为他不能利用他的全部时间来操作印刷机，他还必须亲自做许多辅助工作，如取原料、搬运等等。现假定这时他的日产量为13单位。如果车间增加到2名工人，尽管第2名工人的才干与第1名工人相同，但增加这名工人所增加的产量一定会超过第1名工人原来的产量。这是因为有了两个人就可以进行协作，协作可以产生新的生产力。现假定增加第2名工人所增加的日产量为17单位。此时总产量从每天13单位提高到30单位。同理，假定增加到3名工人时，总产量达到每天60单位。增加到4名工人时，即每人操作1台印刷机时，总产量上升到每天104单位。如果车间工人数增加到5名，总产量将继续上升，因为新增的第5名工人可以专做搬运等辅助工作，但第5名工人增加的产量会少于第4名工人增加的产量。现假定第5名工人使日产量增加30单位，使总产量达到134单位。如果工作数目增加到6名，第6名工人可能是个替换工，即当其他工人需要休息或有病时由他来替代，这样，也能增加产量，但增加的量更少了。如果工人继续增加下去，可以设想一定会达到这样的阶段，即增加工人不仅不会增加产量，而且还会使产量减少。例如，当工人太多，许多工人无活可干、到处闲逛，以致影响生产正常进行时，就会产生这种情况。

在这里，总产量Q是指一定数量的工人所能生产的全部产量；平均产量是指每一工人的平均产量(=总产量/工人人数=Q/L)；边际产量是指在一定数量劳动力时，增加1名工人引起的总产量的变化(=总产量的变化/工人人数的变化=ΔQ/ΔL)。需要指出的是，边际产量在生产决策分析中是一个很重要的概念。在这个例子中，它告诉我们，随着车间工人人数的增加，工人人数的单位变化，会给总产量带来什么影响。这一点对于寻求最优解是很有用的。

印刷车间每天的总产量、边际产量和平均产量

在总产量、平均产量和边际产量之间存在着下面三种关系。

(1)工人人数取某值时的边际产量等于总产量曲线上该点的切线斜率。

因为根据边际产量的定义，边际产量=ΔQ/ΔL。也就是说，当ΔL取很小值时，边际产量=dQ／dL。按照微分学知识，dQ／dL就是总产量曲线上当工人人数取某值时该点切线的斜率。

因此总产量曲线上的拐点(即斜率最大之点)，也就是边际产量曲线的顶点。总产量曲线上的顶点(即斜率之点)，也就是边际产量曲线上边际产量为零之点。

边际产量与总产量之间的这个关系告诉我们：当边际产量为正值时，总产量曲线呈上升趋势(斜率为正值)，此时增加工人能增加产量；当边际产量为负值时，总产量曲线呈下降趋势(斜率为负值)，此时增加工人反使产量减少；当边际产量为零时，总产量为最大(斜率为零)。

(2)工人人数取某值时的平均产量等于总产量曲线上该点与原点的连续线的斜率。

(3)当边际产量大于平均产量时，平均产量呈上升趋势；当边际产量小于平均产量时，平均产量呈下降趋势；当边际产量与平均产量相等时，平均产量为最大。

这是因为边际产量是指新增1名劳力会使总产量增加多少。如果边际产量大于以前的平均产量，它必然会使平均数上升。反之，如果边际产量小于以前的平均产量，就必然使平均数下降。如果边际产量等于平均产量，说明平均产量在这一点上即不上升，又不下降，正好处于顶峰(或谷底)，这时的平均产量为极大(或极小)。

□边际收益递减规律

从上面印刷车间的例子中我们看到，只要印刷机、车间面积等生产要素固定不变，随着劳动力的增加，在开始时，劳动力能与大量丰富的固定生产要素相结合，所以，其边际产量是递增的；但随着劳动力的继续增加，能与新增劳动力结合的固定生产要素越来越少，这时，边际产量就会递减。需要指出的是这不是一种偶然现象，而是各行各业的一个普遍规律。人们称之为边际收益递减规律。这个规律是由大量的观察所证明了的。它可具体表述如下：

“如果技术和生产的其他要素不变，增加其中某个要素的投入量，会使边际产量增加到一定点，超过这一定点，增加的投入量就会使边际产量递减。”

例如，在农业中，如果在固定的土地面积上增施化肥，开始时，每增加1公斤化肥所能增加的农作物数量是递增的，但当所施的化肥超过一定量时，每增加1公斤化肥所能增加的农作物的数量就会递减，此时，如继续增加化肥，就有可能不仅不增加农作物的产量，反而会导致农作物产量的减少。

在理解这个规律时，要注意两点：第一，收益递减规律是以其他生产要素固定不变，只变动一种生产要素为前提的。收益递减的原因就在于增加的生产要素只能与越来越少的固定生产要素相结合；第二，这一规律是以技术水平不变为前提的。如果技术条件发生了变化，就不再适用。

这个规律揭示了投入与产出之间的客观联系。因而，于我们研究企业的投入、产出关系是很重要的。它告诉我们，并不是任何投入都能带来最大的收益，更不是投入越多，收益一定越大。正因为这样，对企业的投入数量和组合进行科学的分析，对于正确决策是十分必要的。

□生产的三个阶段

基于边际收益递减规律在起作用，经济学家根据可变投入要素投入数量的多少，把生产划分为三个阶段，见图2．1．8。

第一阶段：可变投入要素的数量小于OA。这一阶段生产函数的特征是可变要素的边际产量首先递增，然后递减。在这一阶段，总产量、平均产量均呈上升趋势。

第二阶段：可变投入要素的数量在OA和OB之间。这一阶段生产函数的特征是可变要素的边际产量是递减的，但仍为正值，不过要小于平均产量。平均产量呈递减趋势，总产量仍呈上升趋势。

第三阶段：可变投入要素的数量大于OB。这个阶段生产函数的特征是边际产量为负值，总产量和平均产量均呈递减趋势。

在这三个阶段中，第一和第三阶段在经济上是不合理的，只有第二阶段才是合理的。其原因可以从分析这三个阶段的成本看出。

第一阶段由于总产量呈上升趋势，所以，单位产品中的固定生产要素成本(即固定成本)呈下降趋势；又由于平均产量呈上升趋势，所以，单位产品中的可变投入要素的成本(即变动成本)也呈下降趋势。两者都呈下降趋势，说明在这一阶段，增加可变投入要素的数量能进一步降低成本。所以，可变投入要素的数量停留在这一阶段在经济上是不合理的。

第三阶段由于总产量呈下降趋势，所以单位产品的固定成本呈上升趋势；又由于平均产量呈下降趋势，所以单位产品的变动成本也呈上升趋势。两者都呈上升趋势，说明可变投入要的数量不能超过OB，否则就会使成本增高。可见，第三阶段也是不合理的。(www.xing528.com)

第二阶段由于总产量呈上升趋势，所以单位产品的固定成本呈下降趋势；又由于平均产量呈下降趋势，故单位变动成本呈上升趋势。固定成本和变动成本的运动方向相反，说明在这一阶段，有可能找到一点使两种成本的变动恰好抵消。在这一点上再增加或减少投入要素的数量都会导致成本的增加。所以，第二阶段是经济上合理的阶段。因为最优的可变投入要素的投入量只能在第二阶段中选择。

□单一可变投入要素最优投入量的确定

我们仍用上面印刷车间的例子来说明问题。

为了确定单一可变投入要素的最优投入量，需要把用实物单位表示的边际产量换算为用货币单位表示的边际产量，后者称之为边际产量收入(MarginalRevenueProduct)。边际产量收入等于实物的边际产量乘以价格(这里，假定价格不变)。在上例中，假定印刷品的价格为每单位020元，那么可换算为边际产量收入的数据。

又假定工人的日工资率(即可变投入要素的价格)为24元。现在先考察一下，车间拥有5名工人是否最优?当印刷车间有5名工人时，再增加1名工人能增加的收入(即边际产量收入)为44元，但增加这名工人所增加的支出(即可变投入要素的价格，这里是指工资率)为24元。44元，说明此时如果增加工人，车间增加的收入会大于增加的支出，即能为车间净增加收入。所以，这时的工人人数(即5名工人)并不是最优，此时继续增加工人对车间更为有利。

再考察一下，车间拥有7名工人是否最优?当印刷车间有7名工人时，再增加1名工人能增加的收入为1．6元，但增加这名工人所增加的支出为2．4元。2．4元＞1．6元，说明此时如果增加工人，增加的支出会大于增加的收入，所以，此时增加工人是不合算的，减少工人对车间反而有利。所以7名工人也不是最优的投入量。

根据上面的分析，当车间拥有5名工人时，增加工人对车间有利；当车间拥有7名工人时，减少工人对车间有利。结论只能是：6名工人是最优的劳动力投入量。因为当车间拥有6名工人时，其边际产量收入(2．4元)与工资率(2．4元)恰好相等，说明这时的工人人数不需增也不需减，正好最优，这时车间的利润最大。由此，可得出寻求单一可变投入要素最优使用量的一般结论如下：

假定：MRP为某可变投入要素的边际产量收入、P为某可变投入要素的价格；

那么，当MRP＝P时，可变投入要素的投入量为最优。在上例中，工人人数为6人时，MRP＝P＝2．4元，所以，6人是最优投入量。

□多种投入要素的最优组合

生产产品，需要有多种投入要素。在实际生活中，特别是在长远规划中，在多种投入要素之间往往是可以互相替代的。例如，建一个一定规模的织布厂，需要用设备和劳动力。我们可以采用先进的技术织布，即使用贵重的设备与少量劳动力相组合。可见，在确定如何新建一个织布厂时，在设备与劳动力之间是可以互相替代的。又例如，盖一定建筑面积的厂房，需要土地、建筑材料与人工。我们可以盖平房，即用较多的土地和较少的建筑材料与人工相结合；也可以盖高楼，即以较少的土地和较多的建筑材料与人工相结合。可见，为了盖一定建筑面积的厂房，在土地和建筑材料与人工之间也是可以互相替代的。既然投入要素之间可以互相替代，这里就有一个最优组合的问题。在成本一定的条件下，投入要素之间怎样组合，才能使产量最大；或在产量一定的条件下，怎样组合，才能使成本最低。这类问题就是这要讨论的多种投入要素最优组合问题。人们常常通过它来选择最优的技术。为了寻找投入要素的最优组合，需要利用等产量曲线和等成本曲线。

□等产量曲线的性质和类型

由于投入要素之间可以互相替代，所以，同一个产量可以通过不同比例的投入要素来生产。假如有两种投入要素：x和y。如果ｘ＝３，ｙ＝８；ｘ＝4，ｙ＝6；ｘ＝6，ｙ＝4；ｘ＝8，ｙ＝3等等，都可以生产出20件产品。那么把这些点连接起来的曲线就是产量为20件的等产量曲线。。

所以，等产量曲线是指，在这条曲线上的各点代表投入要素的各种组合比例，其中的每一种组合比例所能生产的产量都是相等的。

等产量曲线有一个重要的特性是：处于较高位置的等产量曲线总是代表较大的产量。如在图2．1．6中，等产量曲线Ｑ２的位置高于等产量曲线Ｑ1。这表明Ｑ2的产量一定大于Ｑ1的产量，即Ｑ２＞Ｑ1。这是因为较高的等产量曲线上投入要素ｘ和ｙ的投入量必然要大于(至少是等于)较低的等产量曲线上投入要素x和y的投入量。在图2．1．6中，x2＞x1，y2=y1。由于假设较大的投入量一定会取得较大的产量，所以较高的等产量曲线一定代表较大的产量。

按照投入要素之间能够相互替代的程度，可以把等产量曲线划分为三种类型。

第一种：投入要素之间完全可以替代。例如，在发电生产中，如果发电厂的锅炉燃料既可全部用煤气又可全部用石油(当然也可以部分用煤气、部分用石油)，我们就称这两种投入要素是完全可以替代的。这种等产量曲线的形状是一条直线。在这里，煤气替代石油的比例，即替代率，为1：5∶1，是个常数。第二种：投入要素之间完全不能替代。如生产自行车，在投入要素车架和车轮之间是完全不能替代的。这种等产量曲线的形状是一条直角线。完全不能替代的投入要素之间的比例是固定的。如车架与车轮之间的比例为1∶2。

另外，这种等产量曲线有一种变型。即如果企业可以同时用几种生产方法生产同种产品，尽管每种生产方法的投入要素比例都是固定的(即投入要素之间不能替代)，但企业通过生产方法之间的不同组合，仍可以改变整个企业投入要素之间的比例。这种变型的等产量曲线的形状是一条折线。

有两个车间都可以生产某种产品，A车间机械化水平高，用较多的资金与较少的劳力相组合。B车间机械化水平低，用较少的资金与较多的劳力相组合。每个车间内部投入要素的比例是固定的，但企业可以为每个车间分配不同的任务来调整整个企业投入要素之间的比例。

第三种：投入要素之间的替代是不完全的。例如，在生产中，设备能够代替劳力，但设备不可能替代所有的劳力，就属于这种情况。这种等产量曲线的形状一般为向原点凸出的曲线。所以会出现这种形状是因为对不能完全替代的投入要素来说，它们的等产量曲线的斜率一般随着投入要素x的量的增加而递减。等产量曲线的斜率递减，说明这种类型的替代有一个重要的特性，即投入要素ｘ的边际替代率(MarginalRateofSubstitution，简称MRS)总是随着ｘ的量的增加而递减。

如果ｘ和ｙ是两种可以互相替代的投入要素，那么，ｘ的边际替代率是指当ｘ取某值时，增加1个单位的投入要素ｘ，可以替代多少单位的投入要素ｙ。用公式表示：MRS＝Δｙ／Δｘ。由于Δｙ／Δｘ就是等产量曲线在ｘ取某值时的斜率，所以，投入要素ｘ取某值时的边际替代率也就是等产量曲线上ｘ取该值时的斜率。既然，等产量曲线的斜率是递减的，所以，它的边际替代率也总是随着ｘ的增加而递减，也就是说，随着ｘ投入量的增加，增加1个单位ｘ所能替代的ｙ的量会越来越小。

□等成本曲线及其性质

等产量曲线只能说明生产一定的产量可以有哪些不同的投入要素组合方式，还不能说明哪一种组合方式是最优的。为了求最优解，就要考虑成本因素，即要看看哪一种组合方式成本最低。为此，在等产量曲线图上有必要再引进等成本曲线。

等成本曲线是指在这条曲线上，投入要素ｘ和ｙ的各种组合方式，都不会使总成本发生变化。假定生产某种产品，使用两种投入要素，其数量分别为x,y,投入要素x的价格是每单位500元，投入要素t的价格是每单位250元，总成本为1000元，那么，它的等成本曲线Ｃ１的方程为：1000＝500x+250y。在等成本曲线C１的任何点上，x和y各种组合的总成本均为1000元。同理，Ｃ２是总成本为2000元时的等成本曲线，其方程为：2000＝500x+250y。在曲线Ｃ２的任何点上，ｘ和ｙ各种组合的总成本均为2000元。所以，假定有两种投入要素ｘ，ｙ，它们的价格分别为Pｘ和Ｐｙ，E为总成本，那么，等成本曲线的一般表示式为：

Ｅ＝Ｐｘ•ｘ＋Ｐｙ•ｙ或ｙ＝Ｅ／Ｐｙ－Ｐｘ／Ｐｙ•ｘ(2．1．2)

根据解析几何知识，我们知道：

E／Pｙ是等成本曲线在ｙ轴上的截距，在本例曲线Ｃ。１中，E／Ｐｙ＝1000／250＝４

-Pｘ／ｐｙ，等成本曲线的斜率，在本例曲线C１中，-Pｘ／ｐｙ＝-500／250＝－２。

这里，Pｘ／ｐｙ是两种投入要素的价格比例。所以，如果投入要素的总成本发生了变化，但两种投入要素的价格比例仍保持不变，那么，曲线仅仅发生平行位移，因为它的斜率未变。

□最优投入要素组合的确定

1．图解法

如果已知等产量曲线，又已知等成本曲线，就可以用图解法来找最优的投入要素组合。办法是把这两种曲线画在一起，等产量曲线与等成本曲线的相切点，就是投入要素的最优组合点。

假设某企业可以用三种生产方法生产同一种产品Q，这三种生产方法的投入要素组合各不相同。生产方法A需要30单位劳力(L)和2单位资本(K)结合，以生产1单位Q。生产方法B需要20单位劳力(L)和4单位资本(K)相结合，以生产1单位Q。生产方法C需要15单位劳力(L)和6单位资本(K)相结合，以生产1单位Q。又假定劳力的单位成本为2元，资本的单位成本为6．5元，总成本为130元。请问哪种生产方法是最优的?

第一步：画等产量曲线。

为此，要先画出各种生产方法的射线。各条生产方法射线上的各点(如A１，Ａ２，…；Ｂ１，Ｂ２…等)表示用相应的投入量按各种生产方法，能够生产产品Q多少单位。把各条生产方法射线上的等产量点连接起来，即得等产量曲线Ｑ１，Ｑ2和Ｑ3。

第二步：画等成本曲线。