奇妙古典音乐中的统计物理：解读音高波动

现在越来越多的人醉心于西方古典音乐，这些人相比现代流行音乐的嘈杂更为喜欢聆听这些优雅的旋律。古典音乐作为一种感性的体验，怎样跟统计物理建立联系？巴赫、肖邦、莫扎特这些大名鼎鼎的作曲家，在统计物理研究中又有怎样的特性？下面我们就来一探究竟。

古典音乐如此优美并打动人心，不同领域的研究人员都试图解释它神秘的吸引力。比如脑神经科学家Blood和Zatorre研究小组利用正电子放射断层扫描来研究脑神经对音乐的响应机制。[2]事实上，从物理的角度研究音乐已经取得了许多进展。早在1975年，物理学家Voss和Clarke发现古典音乐具有1／f的分形结构。[3]2010年一项研究发现，通过对音符构建复杂网络，发现巴赫、莫扎特等音乐家作品与中国流行音乐在网络结构上具有相似的特征。[4]

本组的工作⑤表明，随着时间的演变，音乐家创作的乐曲旋律越发激烈，变化更为丰富。接下来我们试图从统计物理的角度来理解古典音乐，发觉其随时间演化的规律[5]。

此次研究[6]一共统计了5位作曲家，按照出身年份排序，分别是巴赫、莫扎特、贝多芬、门德尔松和肖邦，他们分属3个不同的流派，时间跨度为165年。具体的采集数据由表4．34．1给出。

表4．34．1 音乐家和乐曲信息

乐曲作为一个时间序列，有许多重要组成部分，如音高、音色、音符长度等。音高反映了声音在空气中的振动频率，单位为赫兹，因此我们着重研究音高的统计规律。音高与频率的对应关系如表4．34．2所示。如果将音高的时间序列标记为f（t）（t＝1，2，3，…，N），其中N表示每首乐曲的总长度，那么两个相邻音符之间的音高波动可以标记为

Zf（t）＝f（t＋1）－f（t） ①

由此可以计算出每一首乐曲的音高波动数据。

表4．34．2 音高与频率的对应关系

1．音高平均值

为了研究音高波动的统计规律，我们先来看一下每位作曲家的平均音高，如图4．34．2所示。横坐标对5位作曲家按照出生年份排序。这5位音乐家的平均音高各不相同，分别为：343．65Hz（巴赫），435．45Hz（莫扎特），416．33Hz（贝多芬），406．96Hz（门德尔松），以及314．04Hz（肖邦）。

图4．34．1 5位作曲家的平均音高

2．累积分布函数

平均音高忽略了音乐本身的许多细节特性，接下来我们来看音高波动Zf（t）的统计规律。对每一位作曲家计算他们音高波动的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。累积分布函数定义为变量X大于某一数值x的概率，

FX（x）＝P（X≥x） ②

这里X即音高波动Zf（t）。由于音高波动有正有负，累积分布函数具有正负尾。对每一位音乐家做统计，结果如图4．34．2所示。累积分布函数的尾部表示最大的音高波动。对CDF正负尾进行幂指数拟合，拟合公式为

FX（x）＝Cx－α（α＞0）， ③

其中C是常数。指数α表示CDF尾部的衰减程度，可以得出对于不同的音乐家，指数α各不相同。对于这5位作曲家，尾部衰减随着时间演变越来越缓慢，即指数α越来越小。指数越小，表示衰减得越缓慢，即大的音高波动出现的概率变大。对于同一位音乐家，CDF正负尾基本对称，表示高音后面跟着低音，与正低音后面跟着高音的概率是相同的。(www.xing528.com)

图4．34．2 音高波动的累积分布函数（CDF）

为了形象表示每位作曲家尾部指数α随时间演化的关系，可以参考图4．34．3，其中横坐标代表了每个作曲家的出生年份。

图4．34．3 CDF正负尾的幂指数

3．自相关函数

除了对音高波动计算累积分布函数，我们还考察了乐曲的自相关性质。自相关函数（autocorrelation function）定义为

其中X（t）即音高波动Zf（t），μ为平均值，σ表示标准偏差，E表示数学期望。由此计算每一首乐曲的自相关函数，再按音乐家分类，结果如图4． 34．4所示。与CDF类似，对每个音乐家的自相关函数进行幂指数拟合，拟合公式即公式③。我们发现，音高波动的自相关函数也符合幂率分布。相比随机分布，幂率分布衰减更加缓慢，表示音高波动的自相关函数具有较强的长程相关性。并且对于不同的作曲家，衰减的程度各不相同，指数小，表示衰减越缓慢，即相关性越强。不同音乐家的指数β与出身年份的关系由图4．34．5给出。

对于音高波动进行统计，不管是累积分布函数还是自相关函数，都呈现出幂率分布，不同的音乐家具有不同的幂指数。事实上，幂率分布在自然界和社会中有广泛的体现，比如关于黑体辐射的斯特潘定律（Stefan－Boltzmann law）、关于收入分布的帕累托定律（Pareto's law）、关于英文单词频率的齐普夫定律（Zipf'law）等。

我们利用统计物理的方法，发现古典音乐的音高波动具有幂率分布，并且找出了它随时间演化的规律。同时，音高波动还具有长程相关性。随着时间的流逝，古典音乐作品的高音波动越来越大。这是否意味着现今流行音乐激烈的旋律是音乐发展的必然？本文以统计物理的方法尝试对古典音乐进行解读，难免有一定的局限，但无疑对认识音乐、认识统计物理提供了一种新的思路。

图4．34．4 音高波动的自相关函数

图4．34．5 自相关函数的幂指数

[1]此文作者为刘璐，撰写此文时刘璐是我课题组的博士生；录于此处时我做了一些小修改。

[2]A．J．Blood and R．J．Zatorre．Proceedings of the National Academy of Sciences，2001 （98）：11818．

[3]R．F．Voss and J．Clarke．Nature，1975（258）：317．

[4]X．F．Liu，C．K．Tse and M．Small．Physica A，2010（389）：126．

[5]L．Liu，J．R．Wei，H．S．Zhang，J．H．Xin and J．P．Huang．PLOS ONE，2013（8）：e58710．

[6]L．Liu，J．R．Wei，H．S．Zhang，J．H．Xin and J．P．Huang．PLOS ONE，2013（8）：e58710．