1 拓展实验工具，丰富数学体验
(1)小手工制作与实践操作
图7-2-3 “变直为曲”的
小作品
和做题相比较，有一部分同学特别喜欢动手，把一些数学问题改编为小制作或实践操作，学生兴趣非常深厚。图7-2-3所示为六年级第二学期，结合课本探究活动，让学生探索制作的小作品，活动中学生不只是体验到“变直为曲”的神奇，还有了激励自己的数学座右铭。
把课本的“连线画图”转化为“绕线作图”多了一个难点就是卡片背后的线如何绕才能顺利衔接到下一个端口。因而学生不只是需要阅读并正确理解课本内容，还需要结合自己的图案设计克服实践中的种种困难，因而反思、交流贯穿于其中的重要活动。
几何画板是非常经典的数学实验工具，是理性与美的完美结合。它可以非常生动地演绎数学之美——从静态的数学美到动态的数学美。同时，它也非常生动地演绎了逻辑与顺序，如果没有细致的思考就无法实践预想的效果。它也是非常好的数学探索内容和探索工具，只要教给学生一些基本操作，学生自己就会去探索它的各种功能，挖掘它的价值。
与画板相关的课程设置也应结合数学的学习内容逐步展开。六年级结合圆的周长与面积以及相关弧长、扇形面积、组合图形周长、面积等内容让学生初步体验几何画板的功能，能进行基本的绘图、测量、计算，通过拖动点的过程体会相关图形变化的过程中的不变关系。
七年级利用几何画板体验图形的3种基本平面运动，学会对图形进行平移、翻折和旋转，通过观察、测量体会图形在运动过程中的不变量，总结这3种基本平面运动的性质。
图案设计是七年级上的一个开放问题，学生上手就被它所吸引，爱不释手。有学生痴迷于连续图案的设计，震撼于图形在不同复制方式中产生的连续美；也有学生挑战动态图的设计，一位七年级学生制作了“一本”可以“翻动”的“无字天书”，这是一个非常有技术难度的制作过程，在班级交流之后又挑战“有字天书”，1.0版的天书上的字是在静止页的，2.0版又挑战将字放在翻动的封面上，随着封面同步运动……在此过程中，问题是随着制作的过程逐步细化的，问题的解决也是在一次次反思与突破中实现的，而“再创造”也就在此过程中实现。图7-2-4为实践作品举例。
图7-2-4 实践作品举例
(3)拓展实验活动梳理
我们梳理了初中四年沪教版教材中的25个探究与拓展活动，在此基础上结合学习内容补充了28个探究与拓展活动，丰富学生的各种数学活动的经历和体验，进一步激发学生的“数学再创造”的热情。初中数学活动分布列表见表7-2-9。
表7-2-9 初中数学活动分布列表
2 数学阅读与指导，拓展数学思维
(1)课内阅读的训练与指导
在“再创造”教育观下，我们不常让学生回家预习第二天的课程，除非布置预习作业前有时间引导学生提出问题并研讨研究方案。但是，阅读也是上海学生的薄弱方面。我们认为学生通过阅读获取数学方法与数学思维同样也非常重要，但这一环节我们通常会安排在课上，我们会指导学生概括阅读材料的大意，复述问题和解决方案，探讨不同的结论。
(2)课外阅读指导
当然，数学的学习不应该只是局限于课堂，能够从课内走向课外的学习才是真正有活力的学习，这里所指的课外不是老师布置的回家作业，也不是为了应试而在家做的习题或参加的辅导班，而是课外阅读的兴趣。教师的指导可以体现在推荐一些好的数学课外读物，通过活动调动同学课外阅读的兴趣，发动学生之间的阅读交流。我们做过一些尝试，如学期结束把数学读物作为奖励奖给学习进步或成绩突出、学有余力的孩子，开学组织这些同学在自己班级和其他班级分享阅读体会，录制分享小视频发上公微供更多同学参考。
比较遗憾的是，适合全国教材的阅读材料往往不适合上海教材的进度，其他数学科普读物又不分年级，适合某一年级孩子的阅读材料太少。结合沪教版数学教材中24个课外阅读的文章，我们自编了校本阅读材料指导学生进行课外阅读。
(3)数学史与数学拓展校本阅读材料的编写与阅读指导
学生进入初中前，已经经历了小学5年数学学习的历程，掌握了一定量的数学知识。让学生回味和体验数学史发展过程中所经历的那些创造，可以激活初中生再创造数学的激情，并且可以帮助学生从数学史中体会出至为重要的数学思想方法，为学生的“再创造”提供路径。然而数学教材以及课时安排中并没有太多这方面的考虑，因而也不太可能在课上给出更多的时间进行数学史的展开，我们可以结合教材进度补充相应的数学史阅读材料，让学生在阅读中完成数学“再创造”的启蒙，同时在课堂中适度结合相应数学史料展开数学的再创造活动。
沪教版数学教材中的数学史材料并不多，24篇分布在8个学期，每学期的阅读量是1～4篇，通常都是附加式的。
上下五千年，数学史的历程伴随着人类发展的历程。其中哪些素材是适合初中学生在4年时间中进行阅读和了解的呢？如何让这些数学史材料更好地为提升学生的“再创造”能力以及反思的深度？我们结合现行初中数学教材对这些内容进行了梳理，根据数学史、科技史等资料中的数学思想整理出100余篇课外阅读材料，指导学生进行课外阅读。整理的原则有适切性、渐进性、活动性、生动性、深刻性等。
在此原则下我们初步完成了4个年级的《数学史阅读材料》，并在实践中逐渐完善。下面是总结的数学史阅读材料的使用方法：①情景问题宜组织学生课前阅读；②拓展内容宜组织学生课后阅读；③课堂教学宜结合阅读材料展开详见张丽芝《初中生数学“再创造”之数学史启蒙阅读》(2017年4月20日《学习报·教师专业发展》)。
3 小论文指导，以写促研
数学“再创造”不只是把想到的说给老师、同学听，学生把所思、所想写下来的过程也是一个深度反思的过程，如何安排小论文的前后顺序？如何在生动的同时规范数学用语？如何保障自己的所思所想没有错误？这些都是写作可以引发的深度思考。
2014年12月，七年级学生张程驿、严莉莉由生活情境入手，完成《理清数量关系——假钞问题详解》一文，文中分析了同学对此问题的几种错误解答，指出其错误的原因，指明正确的分析路径，此文发表于《初中生世界·智慧数学》七年级版。2015年2月七年级学生邵梦婷在研讨课后拓展问题时发现了新的规律，从数和形两个不同视角解释了自己的发现，写了《平方数规律的再探究》发表于《初中生世界·智慧数学》七年级版。此外还有初一同学余志杰在学习因式分解的过程中发现所有的因式分解题都可以统一为十字相乘法，为此他也写了一篇1600字的小论文，图文并茂地解说了他的思考。4位八年级同学在数学拓展课上对“平方和宝塔”这一问题有了不同的思考，他们双双合作从不同视角写下2篇小论文。吴楠同学在初三学习了二次函数的图像第一课时后，自己使用实验工具对幂函数的图像展开研究，并写了一篇小论文发表于2015年第10期《初中生世界·智慧数学》八年级版。
学生论文的发表不仅仅鼓励了学生们数学论文写作的信心，更让他们在反复的修改与完善中体验深度反思。
4 创造交流与合作机会，指导处理独立学习与合作的关系
交流与合作是现代学生的必备素养，如何促进学生的交流与表达，我们以课例研究等形式对此进行了研究。我们发现课堂合作方式没有一定之规，不同的班级、班风适合不同的模式，最重要的是教师要有此意识，并且要适合班级学习风格。
5 自主编题尝试，跳出题海式被动学习
“数学再创造”，前提是让学生成为自己学习的主人，而不是题海的奴隶。回顾PISA2012的测评领域，主要是注重测试学生的数学素养。顾泠沅指出：“从数学教学的角度看，我们较多关注练习纠错，少了点长思考和自发现的过程。”引导学生学习公式之后自主编题，可以提升学生数学学习的自主性、主动性，充分发挥学生的智慧。
(1)“仿照例题，初步自编”阶段的“集思广益”指导方式
这一阶段的学生，知识点基本掌握，基本的知识网络初步形成，但尚不够系统性，故只能仿照例题，改动某些数据或题设，教师要及时地加以鼓励与引导。也有部分能力较强的学生能增添习题结论，在班级中他们是榜样，是大家奋斗的方向，经过教师恰当的指导，可以使学生从简单的、呆板的编题逐步走向成熟，思维的火花在教师的激励下，会产生创造的强烈意愿，形成行动。
在这一阶段，教师的主要任务就是要让学生能够互相学习，集思广益，创造一个能够让学生充分展现自己的机会。教师的引导与鼓励是必不可少的。许多学生在几次这样的练习与展示之后，能够达到要求。
(2)“创设情景，再编习题”阶段的“以一带十”指导方式
这一阶段的学生有扎实的双基，也有创造的意识与潜能，教师要及时引导学生能根据实物演示或操作编题；根据自己的生活实践编题；根据问题的正向发散与逆向集中进行编题，使学生的发散性思维得到进一步的实践，并在实践中升华。
在这一阶段，学生能够利用现有问题加以变换部分题设与结论，得到新的数学问题，并能对其正确性加以判断。
(3)“融会贯通，触类旁通”阶段的“互动交流”指导方式
这一阶段的学生具有能把整个知识结构融合在一起进行“独创”性的改变题设、改变结论的思维发散活动，对数学的抽象性与应用的广泛性有新的认识，能自如地应用阶段所学知识去解决实际问题。这个阶段的学生往往能总结整个知识点并使之系统化，创造的意识与能力有极大的提高。必能促使他们向数学的高深领域冲击。
在这一阶段，学生能从实际问题中抽象、概括出数学模型，提出解决问题的方案，并能通过数学方法加以解决，部分学生还能抓住实际问题中的关键进行转化，自己编写实际问题。
这一阶段的学生“自我编题”主要放在课外，课堂仅仅提供给他们进行成果的交流，这时学生“自我编题”的成果比较类似于数学小论文，在这一阶段，教师可创设一个“互动交流”的课堂并把它完全地交给学生。由于这一阶段的编题是在课外完成，各小组间为避免雷同，会各显神通，充分地开动脑筋。
经过这几个阶段之后，多数学生初步具有了燕国材教授所提出的创造性思维的基本特征：发现问题的敏锐性，积极探索的求异性，思维结构的独特性，解决问题的创新性，结果表达的新颖性。学生的创造性思维得到了开发与培养。
(4)根据课时题目框架自主编题
让同学学习从正用公式、逆用公式、生活中的公式运用、公式与以前知识的关系、图形的组合与变化等不同视角编题。
案例：在“圆的周长”内容第一课时的学习开始，引导同学对题目进行分类，逐步过渡到弧长与扇形面积的学习中，推理得出公式之后，发动同学自主编题、相互出题。
在题目设计中，要引导同学关注题目的思维含量，而避免繁难、枯燥的计算，实现复杂问题简洁化。通过题目的自评与互评，强化这种理念的落实。(www.xing528.com)
(5)培养学生“自我编题”能力应注意的几点问题
“自我编题”的最终目的是培养学生的创造性思维，进而使学生具备初步的创造能力，为达到此目的，教师应通过各种教学活动，采取有效教学手段，有目的地培养学生。同时，在教学与指导过程中应注意以下问题。
①在课堂教学中创设学生主动参与，勤于思维的情境
创造是相对于学生自身的发展水平而言的，每个学生的起点不同，教师应因人评价，针对各个学生不同的情况加以评价。只要学生在他现有的知识、能力水平上提出超越自我的设想就应该加以肯定。教师在要求学生自编习题时，应积极示范加强引导，这样对教师的整体素质要求就高了，教师应改变自己的教学观念，充分信任学生，开发学生的创造潜能，保护学生的积极性，应努力地去了解学生，了解学生的想法，帮助学生分析产生错误的原因，尊重学生，给每一个学生提高的机会。同时，教师应善于“调控”，课堂气氛“活而不乱”是很重要的。
教师在课堂中应多启发学生去发现一些新问题。例：由数学中定理、公式的条件，猜想它的结论是什么？是否可逆？可否变通(包括一题多解、类比、推广、发散、收缩、改造、规律等)。在教学中，教师应尽量发挥学生的主体作用，尽量做到：问题让学生提，见解让学生讲，疑难让学生思，结论让学生想。学生学习的积极态度，主要产生于对学习的需要和动机，强烈的求知欲是学生创造性学习不可缺少的内部力量。在强烈的求知欲驱使下，学生会开动脑筋，积极、主动地学习，追求新知识，探索解决疑难问题的新途径、新方法。学生的求知欲与教师的启发式教学有密切联系，学生只有对数学学习有了兴趣，才会独立完成作业，使大多数学生的学习能力有真正的提高。“自我编题”才能有效进行。
②培养学生良好的思维习惯，指导学生正确的思维方法
教师在备课时为引导学生的发散性思维，其中类比的思想是指导学生去解决问题的主要途径。例如：初中几何中等腰梯形的性质与等腰三角形的性质类比；与圆有关的位置关系中讲了点与圆、直线与圆的位置关系后，可以让同学通过类比方法自己探索圆与圆的位置关系等。类比思想可以帮助学生了解知识结构的前后关系，增加知识点的系统性、连贯性，为学生自行变式提供可能。教师应在讲授时，多注意一题多解，开放性习题的训练，尤其应注意学生“病历卡”制的建立，使学生能先自行订正错误，并在读议小组内会互查错误，然后全班对典型错例的评议、分析错因，为正确的编题打下扎实的基础。
③创设条件，鼓励学生参加各种编题活动，正确评价有“灵感”的学生
学生的编题形式是多种多样的，上课时的质疑、答疑，回家作业中有独创性的解法也是编题的一种。教师应时刻保护学生的积极性，抓住学生创造性思维的火花，及时地加以发扬，让学生能体会到“独树一帜”“星火燎原”的乐趣。在课堂教学中，教师应为学生搭舞台，让学生充分发表自己的独特想法，使学生进入主动思维的最佳状态。通过学生的自练、自评以及教师的指导，充分发挥学生的主体作用，为自编习题创造可能。教师可采用小组形式，注重发挥小组的作用，课余要注意小组的训练。因为学生之间的交流是无拘无束的，只有思想上的碰撞，才能产生创造的火花与灵感，使每个学生的自练、自评、自编都有展示的机会。教师要充分给予个别成绩较差的学生发言的机会，让他们也体验到成功的喜悦。在一个阶段教学后，教师应组织1～2节“论文”习题展示课，给每个学生展示自己成果的机会。
④注重小组的建立与指导，培养学生的合作精神与协作能力
由于学生的能力与水平各有差异，为促进各个不同层次的学生都有所提高，小组的建立是行之有效的，将各个不同层次的学生编入同一小组中，在指导过程中，注意小组中的领导成员的培养，发挥他们在组内的监督与指导作用，比如，在初学阶段可以采用“保级制”，让组内的小领导负责基本知识与技能的掌握情况，在“自我编题”过程中，组内就会有小“火种”带动组内成员的积极思维，同时也能及时解决一些在组内讨论中出现的新问题，在课堂交流阶段，能够有活跃的思维带动组内以及整个课堂的交流。
同时，建立起“中心发言人轮流制”，避免部分学生产生依赖心理，让每一个学生都能从组内讨论与课堂交流中获得收获，有所提高。
⑤不能忽视教师的专业素养受到了学生的挑战
教师应尽可能地设想学生中可能出现的“改编点”，做到心中有数，给予正确评价。另一方面，毕竟一个人的思维还是有限的，课堂上多种思维的碰撞可能产生意料之外的火花，这给教师的课堂应变能力提出了很高的要求，这时的教师不应是一个绝对的权威，不能用简单的“对”“错”来加以评价，应站在一个参与讨论者的角度说出自己的见解，问题不可能都在课堂内加以解决，必要时，还应放到课外。
习题题设改变后，可能增加题目的适应范围，或习题解法产生问题，这就对教师本身的业务要求更高了。因而，教师在指导学生自我编题的过程中，也是提高教学水平的实践过程，真正形成教学相长的良好氛围。
相关课例参见严长宜《创编应用题提升数学素养》(《新课程》2014年第12期)、潘清《一节“变式创编”探索课的诞生》(《浦东教育研究》2016年第4期)等。
(二)结合作业集错，加强数学问题的结构化梳理
对于数学学习而言，书面的解题练习作业还是学习的常态，如何对解题进行反思？一方面是课堂小结时老师要引导学生反思课堂上走过的弯路，做好日常作业的集错，科学合理地使用“集错本”。充分发挥错题的作用，是引导学生进行学习反思的重要路径。
1 规范日常集错，引导错误归因
(1)集错本格式。抄题(初三的后两道大题可以剪贴)、书写正确过程、标注具体错误原因或解题要点。
(2)细化错误原因。有的学生错误原因会泛泛而谈，如用“粗心”“计算错”“看错”等，这时老师要引导学生深入分析，计算类错误细化到公式法则，审题类错误在题目中用红笔圈画要点。
(3)用好双(三)色笔和框线图。双色笔指红色笔和黑色笔，黑色笔抄题、解题，红色笔标注要点。也有同学用三色笔，把题目和解题过程分开，使得版面更加清晰。框线图即审题的要点用框划出，公式法则用框强调，用折线把题目中要点和相关解题步骤相关联，强调分析题目与解题步骤之间的关系。
作业中的错误有些是过程性的错误，是学习的过程中理解不到位所致，可能经过集错与巩固可以顺利解决，还有一类错误是顽固性的错误，比如知识混淆等问题，就需要在单元知识整理时进行进一步的梳理。
2 单元整理，把易错题归入结构框图
最初的单元结构整理我们只是梳理知识点框图，后来发现知识点要结合着典型题型才比较生动，所以在知识结构梳理的过程中，指导同学结合单元易错题进行梳理，把易错题梳理到知识结构中，学生的结构意识更明晰。
3 考前错误梳理与方法整理
华罗庚学习的两个境界是“由薄到厚、由厚到薄”，集错本的使用也要有“由薄到厚、由厚到薄”的过程，日常的梳理是由薄到厚，在单元复习、期中、期末考前的梳理就要做到“由厚到薄”，扔掉一些过程性的错误，收集顽固性的错误，细致分析错误原因，总结出常错题型，进行强化复习巩固。
(三)基于经验总结的反复实践与深入跟进，探索单元整体教学方案，提炼有效指导策略
如何把“再创造”的教育观落实在课堂教学中，还需要我们在实践中反复跟进和研磨，以提炼有效的学习指导策略。
案例：在“全等三角形的判定”一节课，课题组4位老师反复实践与改进达6次，课题组多数老师参与了此过程。
两节三角形全等单元教学的对比研究见表7-2-10，呈现的是第四次和第六次课第一、第三两个环节的“改动”过程。
表7-2-10 两节三角形全等单元教学的对比研究
改动说明如下。
改动(1)：同样的课堂引入，玻璃是学生所熟悉的，但是碎玻璃的事情未必碰到过(家中的孩子因为条件优越，对这种家务琐事接触机会少之又少)，虽然是曾经的中考题目，但学生的认知可能还没达到，所以上课的这个环节上，4月13日的课上同学反应稍慢。4月29日的课，经过调整和修改，利用大家做纸工的三角形纸片，随意撕，造成情境引入，学生容易接受，看得到，感受得到。夏雪梅博士的《以学习为中心的课堂观察》一书中指出：学生面临的情境应该具备一定的复杂性，也就是说，给出的问题必须是真实的问题。所以这个改动是有效的。
改动(2)：4月13日的课，提问与学生的接受不合拍：因为前测发现的问题，所以老师在课前先把基本的夹角，夹边，对角，对边的概念作了疏通，并提醒学生们三角形的6个元素：3个角和3条边。这时探索：给出一个45° 的角，添加几个条件，可以使画出的三角形都全等？小组成员先按照自己的理解随意地画了三角形，几乎每一个同学画的图都不同，形状也不一样。一时无法理解老师给出的问题。
所以，4月29日的课，改动明确了方向，并用一个实例加以注释，弥补了学生接受的困难，这里是动了一些脑筋的。怎样自然引入并且学生的接受也很自然。
改动(3)：整体单元课型，注重的是学生的自我探究，希望借助于弗赖登塔尔的再创造理论，把学生领进研究的门口，亲历确定三角形的三要素，用时较长，时间紧张，但不影响课的完整性。后面在这个环节做了改动，辨析题调整为3道，探究环节明晰了方向，学生自我探究少了，但是结构却相对清晰，该课型属于单元教学中的认知学徒制方法：教师演示，学生进行观察并对完成的目标过程形成概念模型，这就要求教师将常规的内部过程和活动外显化。
改课的目的是为了使学生学习更好，有研究者总结了外显化的重要策略：示范，辅导，脚手架，表达，反思，探索。这两堂课正好涵盖了这些策略，课堂教学策略解析见表7-2-11。
表7-2-11 课堂教学策略解析
(续表)
详见严长宜《“课改”一定要“改课”》(《浦东教育研究》2015年第9期)。
需要说明的是：“示范”过度可能造成“模仿”成习惯，辅导过度而形成依赖都是与“反思”相对立的，课堂引导策略没有生搬硬套，还需适度与平衡。
此外还可参考张丽芝、周晓凌《“做数学”的课堂改进》(《浦东教育研究》2015年第9期)，张丽芝、严海燕《改进数学活动，提升习题效果》(《浦东教育研究》2016年第4期)。
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