再创造数学教育观: 以形成数学能力为目标

(一)“再创造”数学教育观

本课题中“‘再创造’数学教育观”不是指当下流行的教育模式，而是一种数学教育哲学。它立足数学学科本质，指出数学教育的根本目标和路径。

弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中通过2000多年的数学发展史，分析了数学的抽象性、形式化、符号化等特征，提出“作为教育的数学”是通过抽象化、形式化、符号化等系列活动达到“数学化”的过程，而不是固有的数学研究结果；他强调学生数学学习的目标不是学习固定的知识，而是应以“再创造”的形式去拓展个人数学结构；它不应由教师进行知识灌输，因而也是非应试的，只有这样才能保障学生的数学学习是有创见的学习、数学是不断发展的数学；这里的“再创造”，是相对学生个人经验而言的数学的创造，而不是相对数学研究而言的新的数学的创造；同时“再创造”并非完全脱离开教师的指导，教师需要以数学的发展史为线索，高瞻远瞩地看到在创造之路上可能经历的曲折，引导学生对自己的再创造过程以及数字史的这些曲折进行反思。这与几乎同时代的美国教育家、哲学家杜威的“做中学”有相同处，只是对于数学学科教育更有针对性。

“再创造”的数学教育观对“教育数学”的目标定位是在抽象化、形式化、符号化的过程中形成的数学能力，而不仅仅是抽象化、形式化、符号化的结果(公式、法则、定理等)。从后者知识与技能的工具性看，基本上可以被计算器以及各种计算机软件取代，因而大多数的人都会感觉毕业后很少用到课堂上学的数学知识。所以我们要把数学当作的“思维的体操”，以思维训练为目的。

初中数学包括数与运算、式与方程、图形与几何、函数与分析、概率与统计5个模块的部分内容。从数学发展史的视角看，前3个模块基本属于古代数学，后2个模块则孕育了近代数学的思想，是数学发展的必经之路，也是学习数学的必经之路。这部分内容在数学史上占有重要的意义。但在应用领域，相对小学数学和高等数学而言，初中可挖掘的应用的意义有限，特别是前3个模块，其意义主要体现在数学思维的培养以及作为进一步学习的预备，因而回到数学的发展史中进行数学的“再创造”是培养初中生数学创造性思维的重要路径。

数学化包括横向数学化和纵向数学化两个维度，前者指问题情境的数学建模，后者指数学本身的进一步提炼与发展。实现数学“再创造”的路径有两条：一条来自数学的外部，即弗赖登塔尔所说的“横向数学化”，即我们通常所说的数学建模，在数学史上，这种创造最原始的起源是生活、科技的需要；另一条来自数学的内部，即所谓“纵向数学化”，它可能对应于数学史上的那些源于结构的创新。

从年龄特点看，初中阶段正是学生抽象思维、逻辑思维快速发展的阶段，我们通常把初中数学作为学生思维发展的重要阶段。由于学生的认知特点和思维发展时间的差异性，初中数学很容易成为学生差异最大的学科，成为考试拉开区分度、给学生分层的重要学科。从这一特点看，数学的学习更需要有区别的、个性化的学习，以使不同的人在数学中得到不同的发展。上海数学教育的特点是通过练习巩固系统缩小学生数学的差距，改善了数学低水平学生的数学状态，但对质优生的思维培育尚有不足。

“再创造”数学教育观是相对传授—训练式数学应试观而言的。从知识的学习效率而言，传授—训练式的应试教育显然更有效，但对思维与能力的培养而言，基于“再创造”数学教育观的模式下学生具有更长远的发展。我们的教学应该是兼顾教材与进度，以及上海40人左右的班额调整中两种教学方式的比例，让“再创造”的理念在师生和家长的观念中生根。

(二)反思性学习

如果说“再创造”指向数学教育哲学，那么“反思性学习”则指向数学学习的方法与实践，它指向数学学习的“元认知”。

本课题中“反思”即杜威的“反省思维”，数学反思性学习指学生的数学学习要摆脱单一被动的解题式学习，尝试自主提出问题并设计解决问题的方案，在问题探究中反思、调整，以促成问题的逐步解决、促进数学思维的发展完善，在对数学、对自我认识的不断反思中促进数学学习的元认知的自主发展。杜威和弗赖登塔尔对“反思”的论述一致性见表7-1-1。

表7-1-1　杜威和弗赖登塔尔对“反思”的论述一致性

从7-1-1中我们可以看出：无论是杜威还是弗赖登塔尔，他们对于“反思”的认识惊人地一致。杜威和弗赖登塔尔都认同“反思”起源于生活中问题，哪怕是作为数学家的弗赖登塔尔也非常重视“现实世界”的数学化过程，甚至倡导数学课程和物理等课程更紧密地结合；杜威以为反思的内容应该是事物之间的实在关系，弗赖登塔尔则聚焦数学，以为反思是数学思维活动的核心和动力；杜威以为反思应该是反复、严肃、持续不断，弗赖登塔尔则认为只有不断地反思，学生的理解水平才可能从一个水平升华到另一个水平；最后，二者都关注“反思”需要在交流与互动中才能达成，除了传统课堂的师生对话交流之外，生生对话、学生与文本、学生与辅助教学设备的对话同样值得强调与关注。

对于反思性学习，我们应该厘清以下几种关系。

1. 它是不同于强调知识记忆与操作性的训练的一种学习方式。数学的学习确实需要一定的基础积累，因而需要有一定的知识记忆与操作性的训练。但数学的学习又不能以知识记忆与操作性的训练成为全部，因为数学最终的价值不只在于传递知识，而更在于提升思维能力。反思，不只是回顾时的确认，还应该考虑多角度的拓展、质疑、批判，以及重新寻找个人数学知识与能力的新的生长方向。

2. 反思本身是一种不满足于现状的意识与习惯的养成，但它的目标却是要反传统与反习惯的，按照杜威的观点，习惯一旦固化，就会失去其应有的灵活性，而反思，恰恰是保持这样一种灵活性的路径。^[1](www.xing528.com)

3. 反思可以源于直觉，但它绝不是条件反射式的，而是自觉的、有目的的活动过程。

4. 培养学生质疑和批判，教师首先要放下自己权威的意识，有时可能需要故意留下一些破绽。我们要允许有不完美的存在，这样才会有更多学生去质疑、去批判。因为反思是非条件反射的，因而需要有一定的时间，教师对此要有一定的耐心，留给学生一定的时间，而不是急于把最完美的数学交给学生。

5. 尽管如此，我们还是希望学生对学习过的知识技能能快速反馈出正确的解题路径，而不是沿着原来探究这一内容时的过程再重复一遍。反思不只是停留于过程，其结果仍需总结、固化为经验。

基于以上特征，反思性学习的指导关注两个方面的指导：(1)知识反思的指导，可能通过结构化来引导学生对知识进行反思，在反思中巩固并形成新的问题，拓展新的视野；(2)方法反思的指导，包括数学思想、方法的指导以及数学元认知(学习方法、学习心理)的指导。

(三)学习指导

本课题“学习指导”包括从模仿解题到“数学再创造”尝试的指导(包括提出问题、借助于数学思想解决问题以及在此过程中的反思指导)、从个体学习到小组学习的适应性指导(集体指导、小组指导、个体指导)、从被动学习到自主学习的适应性指导(自主预习、自主提问、自主解疑、自主反思、自主集错)等。

(四)相关联的几个概念

1　数学学科核心素养

新的课程标准中，给出了数学学科核心素养的6个主要方面，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析，并从概念的界定及其在数学与生活中的作用和意义方面进行了描述，以前我们可能更多关注代数的数学运算和几何的逻辑推理和统计的分析，而当核心素养的6个方面作为一个整体提出之后，我们可能需要更多关注数学建模的过程、数学抽象的过程，更多关注借助于不同工具发展学生直观想象的能力，而这些正是本课题研究的重心。

2　数学史与数学教育(HPM)

如前所述，数学史对于初中数学而言具有重要的意义，因为初中数学与现实生活的关联比较小，要联系现实，让学生置身于数学史上的那些数学家所面对的数学情境，可以更好地激活学生“再创造”的动力，一起点评古代数学家们精彩的创意或是失败的过程，都可以让学生体验到更多的成就感，也有更多在困境和失败中再接再厉的动力，更多智慧来反思自己的数学“再创造”过程。

数学史中暗藏着数学发展的脉络，也隐藏着学生数学学习的规律，因而也是本课题的实践路径之一。数学史与数学教育(HPM)在国际数学教育中占重要地位，每4年一次的国际数学教育大会都会有HPM的专题分会。华东师大汪晓勤教授及其团队的相关研究在国际相关研究中有重要地位，本课题研究团队中，有人在攻读教育硕士时便对汪教授的HPM课程一见倾心，还有3位于2018年有幸加入汪教授的HPM工作室，在汪教授指导下进行HPM的课例研究。两年来，大学的研究团队的研究成果与研究方式也让我们对于数学和数学教育有了更深刻的理解。

3　单元整体教学

单元整体教学即把整个单元作为一个整体，进行整体的教学目标设定和教学设计统筹。这里的单元，既包括在一段连续的时间内学习的相近主题的内容(小单元)，同时也包括不同时段内对同一主题内容的学习(大单元：如六年级、七年级、八年级、九年级都有方程的小单元，而所有方程的内容又构成一个大单元)。单元，体现了一种结构化的数学思想，对于数学的学习更具有非同寻常的意义。立足数学单元特征进行单元的整体教学，这也是本课题的研究路径之一。

本课题组的徐颖老师带领本区教师进行单元教学的研究有10多年的历史，参与了上海市《初中数学单元教学设计指南》编写，还在2016两岸城市教育论坛和2018第三届华人数学教育大会进行了相关话题的交流。