初中数学再创造:思辨与算法

“思辨”即以思维为目标，它以不固定性、灵动性、创造性为特征，它可能更多地依靠布劳韦尔所说的“直觉”；“算法”即一种固定的数学知识或数学技能，按照一定的步骤或模式展开，虽然有可选择性，但依然按照一定的流程来进行判断和取舍。

“数学究竟要教给学生什么？是思维抑或知识？”这是一直在争论的问题。在论文中，老师们都认可“数学要教会学生思维”；而在实际的课堂中，许多老师依然在教解题的套路、方法、规律，而学生学习数学，更多还是从记忆到再现、从巩固到熟练。可是否有脱离开解题的套路、方法、规律的思维可以让学生掌握？思维教学是否可以架构于数学基础知识与基本技能之上？数学的教学中的问题与困惑并不因上海PISA测试几次夺冠而自动消退，数学教育问题中还有许多待探索。

对于数学教育，“思辨”与“算法”究竟谁更重要？一直以来争论不休。无可辩驳的是：那些传统的、优秀的算法是人类非常宝贵的财富，正如弗赖登塔尔所说：“运用算法可以增强人的自信心，能满足人要游戏的天性，这可能是许许多多无关重要的算法也能在一段时间里蓬勃生长的原因吧。”然而“理解算法最好的途径是发现它”，数学也不仅仅教授算法：“常有人说：现代数学之不同于古老数学，在于它强调的是思辨的因素而不是算法。我承认这一点，最引人注目的新事物，也就是引起现代化过程发生的事物——集合论、抽象代数、分析学、拓扑——都是思辨的产物，它们是冲破了算法的僵化外壳喷射而出的。”但同时我们又不得不承认：“任何熔岩终将凝固，任何思辨的新生事物都在其自身包含着算法的萌芽，这是数学的特点。”“算法意味着巩固，意味着由一个平台向更高点的跳跃，算法为更深的发掘提供技巧，把算法数学与思辨数学对立起来，好像其中之一是巍巍高塔，可以从它的顶峰藐视着另一方，这是不公正的；我们也不能把它们看作是新与旧的对立。”

读到这里，让我再次想到杜威之于二元论的观点，没有割裂的思辨与算法，思辨可以是算法的起点，而算法的巩固才可能产生新的思辨。弗赖登塔尔的观点再一次契合了杜威的观点。(www.xing528.com)

教育本身就是一项平衡的艺术，平衡所有可能成为对立的两极。如果我们把算法用于“算法化的过程”教学，那么它就是思辨的；如果我们能把思辨的成果经巩固而固定下来，那么它就成为算法。因此数学的教育既是思辨的教学也是算法的教学，两者在过程中达到统一。但需谨慎的是，“借助操练以获得算法的自动化是必要的，而且操练也是训练的一部分，但不能被过于夸大”。

于是，对于数学解题教学有了“小巧、中巧和大巧”之说，小巧针对某个题的解题技巧，中巧针对题型归类，而大巧则立足于数学创造，似乎颇有道理。“算法危及教育的理由：算法对师生双方都有吸引力，教师宁愿教算法，因为可以不让学生再创造；学生也很容易被一个巧妙的算法所迷住。”但是任何固定的模式都有成为僵化的、无用的形式的危险，“模式、策略与战略都和算法一样是重要的，应该进行培养，但却不能太早，必须到学生能够自己进行再创造的那个时候。”最重要的还在于把握数学的本质、教育的本质。希望“再创造”的数学教育可以使得思辨与算法相互依存、相互发展。