数学的发展：基于实践的超越和创造

提到数学与实践的关系，应该是最让我们困扰的一对关系。为了探寻之，我随着弗赖登塔尔在数学发展史的长河中去寻一些蛛丝马迹的证据。

弗赖登塔尔认为：“数学起源于实际的需要。虽然古希腊数学摆脱开实际的应用而进入思辨的领域，但缺少应用动力的数学却又是难以发展的”，“(传统中)学生之所以要及早学习数学，是因为数学是智力的磨刀石”，“两千年前，在巴比伦的寺院学校里，学生们做的数学题目都不怎么实际”，在代数方面典型的例子是：“他们用表格和筹码学会了乘法和除法。但是他们解那些毫无用处的线性方程和二次方程，其目的何在？”在几何方面典型的例子是：“希腊人的贡献就在于把证明变成了数学中的一项原则”，“他们创造了一种体系，使得证明成为其中的一种有意义的活动。”在看过弗赖登塔尔列举的代数和几何两个方面的例子，让我们再回头来反思弗赖登塔尔提出的疑问：“数学迅速地，而且大幅度地超过了实际的需要。那些计算师、测绘员何以如此迷恋于他们所熟悉的数字和图形，如此热衷于拿它们做游戏，揭发它们的秘密，探测它们的奥妙，这确实是令人费解的。有许多书上说希腊前的数学都是一些基本应用题的汇集，这种说法根本是不对的”，“数学能从(古代科学的)应用中获得的刺激是极其有限的”，“希腊——罗马的技术对数学的需求显然超过了巴比伦和埃及，但那仍然是极为贫乏的数学应用；这种情况反过来又限制了纯数学的发展，这不仅是因为数学的发展缺少刺激，更为严重的是因为在任何社会里，一门对社会无用的学科是得不到多少人去对它进行研究的”。

从弗赖登塔尔的以上观点我们似乎可以看出东西方数学发展的不同。西方数学有记载的是从泰勒斯开始数学的理性思考，开始证明一些显而易见的规律，而到毕达哥拉斯学派，数学不只是试图从万物的背后找到数学的本原，更多地是徜徉于数与形之间不断深入，顺从好奇心的驱使而挑战智力的极限。从这一点讲，也许弗赖登塔尔对欧几里得的批评是正确的，他搭建了一个无比恢宏的几何大厦，编校了那本流传2000年的教科书《几何原本》，使得几何更易于普及。但是完整与恢宏的架构给人无法超越的窒息，难以突破，连2000年后的数学王子高斯，虽然清晰地看到非欧几何的可能性却缺少重建的勇气。而创立非欧几何的两位勇士遇到多少冷嘲热讽也是难以想象，如果不是爱因斯坦的相对论让黎曼几何放射出熠熠光辉，非欧几何可能至今仍然受到冷遇。可见，数学实在是源于实践而超越于实践。

那么我们的数学教学是不是一定要联系现实的世界？泰勒斯与毕达哥拉斯引领了哲学与数学的理性化，哲学的理性化经苏格拉底、柏拉图和亚里士多德基本完成，而数学的理性化由欧几里得的《几何原本》而实现两千年的传承。也许中国的传统中正缺少这种理性化的成分，美国卡尔·B.博耶及尤塔·C.梅兹巴赫合著的《数学史》也提到《周髀算经》中商高与周公的对话，但显然是被归入“传说”一类的。对于《九章算术》，作者认为“在中国人的作品中，就像在埃及人的作品中一样，你会吃惊于准确结果与错误结果并列，粗糙的结果与精密结果同在”，其实这正是由于“论证”思想的缺失。同时作者也指出“中国人对π的痴迷”，虽然高度赞扬了祖冲之，但同时也提出：“我们应该记住，π值的精确度，更多的是一个计算耐力的问题，而不是理论洞见的问题。仅凭毕达哥拉斯定理就足以给出一个近似值，你要多精确就可以多精确。”

西方在理性化的传承中走过了头，以至于20世纪无论是哲学理性化还是数学理性化都受到严峻的挑战。数学的直觉主义成为一个典型的流派，而弗赖登塔尔提到的荷兰数学家布劳韦尔便是一个直觉主义者。20世纪以来数学的飞速发展无疑受到科技发展、信息发展、战争与冷战的需要等诸多刺激，使得进入20世纪的数学家们不得不认同实践领域对于数学的重要性。1997年3月，当代数学大师阿诺尔德还在一次讲座中强调数学与应用的关系：“数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。”“在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成的后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半极其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们(他们完全忘记了哈代(Hardy)的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处)。”“试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中的研究方法，即观察—建模—模型的研究—得出结论—用更多的观察检验模型，取而代之的是这样的方法：定义—定理—证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，但我们却无法阻止这些有罪的‘代数-公理学家’。”我想大师所说的“数学、物理分科”的时间未必是在20世纪中叶，但大师对于数学研究方法的质疑无疑是值得我们思考的。对这个问题，弗赖登塔尔的认识与杜威相同，他们都认为数学教学应该让学生发现数学与生活、技术的普遍联系，因为生活与技术是数学的源头活水。欧几里得之后，无论是阿基米德或是花拉子米能够让数学有短暂的辉煌也正是凭借了这种源头活水，但欧几里得的影响无疑使得这种辉煌在近两千年的数学史上不过只是昙花一现。这也正是弗赖登塔尔对欧几里得提出质疑的原因吧。(www.xing528.com)

当然，弗赖登塔尔也看到数学应用的局限：许多时候数学的应用具有延时性，如弗赖登塔尔列举的：“希腊数学和巴比伦数学一样，远远超越了它们的应用——超越多远？这从圆锥曲线的理论中可见一斑：它们诞生后经过了两千年，到开普勒发现行星的轨道是椭圆时，才得到了应用。这其实是数学的特性……它寻求各种思想模式，以供应用者选择使用。”正如弗赖登塔尔所说：数学是一种对于思想模式的突破与创新，而这种创新未必源于现实的需要，却可以引领数千年后科学的发展。因而数学的价值也不可能完全从其实用性评价。数学，实在是一样矛盾的学科！

然而，近千年以来，数学的应用越来越强大。在毕达哥拉斯时代的千年之后，“印度人、阿拉伯人和中世纪僧侣们所重建的数学”开始更多地产生于应用，而16世纪前后的技术发展和19世纪“数学物理”这一领域对数学的推动作用更不容忽视：“数学起源于实用，它在今天比以往任何时候都更有用！但其实，这样说还不够，我们应该说：倘若无用，数学就不存在了。”或者说：“如果没有应用的推动，数学会变得多么贫乏！”

是的，在人们越来越强调数学的应用性的同时，我们应该清醒地看到，初等数学的趣味不只在于应用，在生活与技术中有用的初等数学也是有限的，特别是初中阶段的数学正对应了数学应用史上那“千年的荒漠”，加之受传统数学教育的我们对实践数学的陌生，无奈之余，或许多开发数学本身的抽象性、逻辑性、严密性的数学的趣味也是必然的？在初等数学的教学中片面强调应用是否也会让我们偏离了数学的本质，只能认识到支离破碎的数学，而与数学渐行渐远？