横向数学化与纵向数学化在初中数学再创造中的应用

弗赖登塔尔认为，作为教育的数学是实现“数学化”的过程。用数学方法把实际材料组织起来，在今天就叫作数学化。

1978年，特莱弗斯将数学化分为横向数学化与纵向数学化，弗赖登塔尔在《数学教育再探》中延用了这两个概念。横向的数学化就是将现实中蕴含的数学知识抽象出来形成数学符号、概念、图式，比如由“原来有2只羊，后来又来了3只羊，一共有多少只羊”这个问题抽象出“2+3=?”。需要申明的是，横向数学化不同于我们常规的数学应用，前者是在问题中归纳出数学，而在问题解决之前并不知会用到怎样的数学，是在解决问题的过程中不断的尝试、反思，最终总结出解决问题的数学知识或数学模式；而后者是先有数学，后有问题，问题的解决明确指向刚刚给出的数学知识或数学模式。

对数学实现进一步形式化、抽象化、公理化的过程是纵向数学化，即在数学内部进行符号的生成、重塑、重组的过程。如把“5+5+5+5+5=?”转化为“5×5=?”，生成了乘法运算，将数学向表达简洁化的深处发展，进行了纵向的数学化。

虽然横向与纵向数学化有所区别，但在教学中不能将其割裂开来。缺少横向数学化的练习，学生往往体现为机械模仿，纵向数学化偏弱则会使已经获得的数学知识散乱地存在于脑海中，组织不成数学结构体系，知识很快就被遗忘。只有两者相互作用，相互融合才是正确的数学活动方式。(www.xing528.com)

数学化不仅是数学家的专利，学生也应该从数学化开始学习数学。弗赖登塔尔提到两个在今天依然非常热门的词——“情境”和“问题解决”。弗赖登塔尔提倡的是通过综合的科学“课题”实现数学化。这是一个非常大胆的提议，要实现这一点确实工程浩大，目前我们还只是实现了初中低段理化生的大综合，而事实上这一“综合”在很多学校也是被忽视的，并且没有专业的老师能够顶得上来的。我们自然无法按作者所言“在比重或是杠杆原理中引入正反比例”，我们所能做的可能是在需要引入正反比例的时候参考学生学过的一些物理公式，然而按弗赖登塔尔的观点这似乎已经是被动了的。当然，更多的内容涉及“数学知识是否可以提前”，这一问题就又复杂化了，可能牵涉到“大众数学”与“个性化数学”的问题，比如从事STEM推广与研究的张逸中博士提到：如果同学有兴趣用数学去研究水火箭的姿态问题他有可能一路突破到尖端的高等数学，但这可能不是每一个人都能达到的水平，如何实现这种“个性化”的数学，可能是今后的数学教育发展的一个方向，或许借助于类似可汗学院式的翻转课堂可以实现这种个性化的突破？

基于数学化的思想，弗赖登塔尔提出：“与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化；与其说让学生学习公理系统，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化。”这种思想与中国“授人以鱼不如授人以渔”的思想不谋而合。

爱因斯坦曾这样说：“忘记了课堂上所学的一切，剩下的才是教育。”这个剩下的东西是在学习中不断养成的、智力活动的习惯，抛开了知识之后的独立思考和判断的能力。对此，弗赖登塔尔说，我们无法知道今天所教给儿童的题材是否就是他们未来所需要的，但我们可以教给儿童更为宝贵的东西，不是特定题材，而是如何掌握题材，对于数学来说，就是数学化的能力。因此，学习数学化应作为数学学习的目的。在教学中，单纯的理论体系枯燥乏味，而以现实世界为背景，不断地引导学生进行数学化，增强数学与现实之间的联系，也会增加学生的学习动力。