之前的3个故事都试图体现数学的特征，而这些似是而非的故事恰恰忽视了数学更本质的特征——生活化。
本章开头，弗赖登塔尔引用另一位大数学家庞加莱(1854—1912年)的话：“你是否相信逻辑学家总是按形式逻辑规则所指定的那样从一般推导特殊？因为如果用这个方法他们永远也到不了科学的前沿阵地；科学的征服只能通过特殊情况的一般化来实现。”
我们来看一下这位数学家的介绍就会知道这完全符合他的风格：“庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后一个人。他对数学、数学物理和天体力学做出了很多创造性的基础性的贡献。他提出了庞加莱猜想——数学中最著名的问题之一；在对三体问题的研究中，庞加莱成了第一个发现混沌确定系统的人并为现代的混沌理论打下了基础；庞加莱比爱因斯坦的工作更早一步，并起草了一个狭义相对论的简略版；庞加莱群以他命名。”他的这些成就无疑是对数学严谨性的挑战：“当数学科学变得严谨的时候，它表现出一种不可忽视的人为的特性，它忘掉了自己的历史起源：只显示出问题是如何解决的；却没有显未出问题是如何提出的，以及为什么提出的。”只显示问题的解决而不显示问题怎样提出，这也是我们现在的数学教学中存在的主要问题。(www.xing528.com)
“证明的科学并非全部科学，我认为应将直观作为一个补充部分，或者说应将直观作为逻辑的对立面，或作为矫正的方法。”
我发现20世纪以来，更多的数学家开始挑战数学的严谨性，比如波利亚(1887—1985年)就提出：“数学具有两个面，它既是欧几里得的严谨的科学，但同时也是别的什么。以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学。这两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个方面从某种意义上来说又是新的，因为我们正处于创造过程中的数学从未完全以这种方式呈现给学生或教师自己，乃至一般的公众。”
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