提到数学的公理化，自然无法跳过两个人——欧几里得和希尔伯特。前者在2300多年前建立了第一个公理的帝国——欧氏几何，后者则实现了现代数学的公理化。“弗雷格曾经严厉批评希尔伯特的体系，因为这种体系使他无法判断究竟什么是点，特别是无法判断他的表达是不是一个点。传说希尔伯特反驳弗雷格(及其他人)说：公理化的实质就在于我们也可以不说点、线、面，而说桌、椅、石头。只有那些明显地叙述在公理系中的性质才与演绎推理有关。这和下棋一样，棋子不是由它的形状决定，而是由下棋所必须遵守的法则所决定的。”这个例子将抽象化的数学的本质生动地呈现给大家。
我以为，按照弗赖登塔尔的观点，数学的抽象化与公理化是逐层递进的过程。不同的人、不同的思维状态所能接受的抽象化的数学程度也是不同的，因而当数学成为“作为教育任务的数学”时，也不能完全以数学抽象化的最终结果展示给大家，而是让大家在抽象化的过程中逐渐领悟数学的魅力。
在读过弗赖登塔尔，经历了数学史中公理化的过程，特别是对于同一概念的不同定义方式的比较，才能更清晰地理解不同的定义方式的意义，而由此，更可见数学家的眼光。(www.xing528.com)
弗赖登塔尔说：几何学消失了，几何术语渗透个整个数学的每一个分支、每一个角落。用我们初中数学教学中最常用的一个词来概括，那大约就是“数形结合”吧。只是这里的“形”不一定可以表现为实在的形，如“n维空间的体积”这个概念你根本无法用一个确定的“形”来表示，但看到这个词人们显然会在大脑中虚构出一个体积的“形”出来对应。弗赖登塔尔引用康德的话来解释这种数形结合：“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的。”这与我们经常引用华罗庚的“数缺形时少直观，形少数时难入微”如此相似。数学的“形”逐渐地被抽象化、公理化，而这个过程也是数学创造的过程。正如爱因斯坦所说：“当数学定理涉及现实时，它们是不确切的；当它们是确切时，它们就不涉及现实……公理化的步骤在于把逻辑形式同现实、同实际的直观的内容严格分开……公理是人类精神的自由创造……”公理化的步伐从分析到拓扑与代数再回到几何，“直到30年代，几何学家才认为人的思想有创造公理的自由——这种自由只受几何学家的高明的直观与相容性的要求所检验。”抽象化、公理化正使数学日益摆脱现实的羁绊，发挥出更大的想象空间与创造空间，所以希尔伯特告诉我们：“公理是任意的；但为了实际应用，它们是必须满足一定的目的的。从逻辑的角度看，要问一个公理系是否真？那是没有意义的，只能问它们是否相容。”
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