初中数学再创造: 反思性学习研究结果

更重要的是：数学不只是现成的语言，更是一种动态的语言活动。“在讨论现代数学的特征时，我首先谈到了它的现代化的特点，即数学表达的再创造和形式化的活动。”他强调：“数学语言的完善化是一个连续的过程”，这种语言能力自然需要从一开始养成并逐渐深入。“我敢预言，现在在数学里用得最多的形式化，将来必会成为数学家们最有效的可迁移的一种活动。”

语言是沟通现实世界与数学的桥梁，通过数学语言来描述世界的过程就是数学建模的过程，也就是形式化的过程，而形式化的过程是“最有效的可迁移的”活动，也是一种非常重要的数学能力。

初中的数学教学对学生形式化能力的培养过去通常是被忽视的，我们教给学生已经确定的数学概念和数学性质，学生只是“理解”其含义并会运用其解题而不必经历形式化的过程，这样的结果是学生缺少建模的经验及创造的体验、创造的意识未被激活，他会以为数学是不容置疑的、一成不变的、永恒而封闭的东西，而不是生长着的灵动而充满活力的数学。

数学“再创造”的可能性不止于发现或证明，应该也包括“数学语言的再创造过程”。7年前我和课题组的老师开始在六年级方程(组)与不等式(组)的教学对此进行了一些尝试：首先我在一元一次方程的概念教学中重点引入“元”和“次”的意义，在一元一次不等式的概念提炼中学生基本能把握到这两个字；然后在实践背景下引出方程组的概念，让学生自己提炼“一元一次不等式组”的概念，在这个过程中，学生会犯的错误是把单个不等式中的“元”与不等式组整体的“元”相混淆，对此我并不急于纠正，而是让学生自己对照课本定义进行更正，使学生对于数学语言的“再创造”在与课本的对比中形成一致；随后在二元一次方程组的概念教学这节课中，由我的同事在同一个班级引导学生进行概念的再创造，我对学生进行了观察，发现学生对于“方程组”的概念把握准确，但在“二元一次方程组”的概念中仍会犯和之前“一元一次不等式组”的定义中同样的错误，忽略了“方程组”中的“元”这个概念，不同的是，有学生立即发现了这种不一致并及时进行更正。之后，学生就可以自觉定义各种整式方程。可见，学生对于概念的“再创造”是可以逐渐实现的。而这种“再创造”习惯的养成，无疑可以激活学生的数学创造动力，从而激活学生的思维。

六年级的教学中有两处难点：在第一章分数的运算中会出现一次运算律的应用，第五章有理数的运算中也会出现一次运算律的应用，事实上对于“运算律在这些地方是否可用”的问题并没有学生质疑，即学生默认小学学过的运算律在任何情景下可用。另一种情景是，小学默认为可用的一些结论在中学不成立了，如“差一定小于被减数”，还有列式总是用“较大的数减较小的数”“较大的数除以较小的数”……犯这些错误的原因就在于把结论当作永恒成立，而忽视了成立的条件。进入中学，需要养成的习惯之一就是：重视每一个结论的前提，特别是在培养学生逐渐形成“用字母表示数”的数学思想的过程中，要有“字母所代表的数的取值范围”这个概念。

初学方程学生还容易犯的毛病是：把不同的未知数设为同一个字母x，对此教师需要引导的是：只要是在同一道题中，哪怕是两个单独的解题过程，也要把不同未知数分别设为不同的字母以示区分，以免造成使用的混乱。(www.xing528.com)

学生中有一类错误常令我费解，就是在找“非负整数”的时候总是把分数、小数归入其中，后来才知道学生是这样断句的：“非-负整数”，即所有“不是负整数”的数，而正常的断句应该为“非负-整数”，即用“非负”来限制“整数”，所以只有正整数和零包括在内，尽管对于汉语而言两种解释都是可以说得通的，而事实是这样就会引起歧义，所以一定要给出一个准确的定义以避免分歧。

尽管学生再创造可能会犯种种错误，而事实上再创造的过程也是学生潜意识最大限度暴露的过程，让学生在再创造的经历中学会创造，这种错误应该是有意义的。只有在不断更正错误的过程中，学生才会更深刻地体会数学的严谨。

如果作为“语言”来进行教学，那么必然要符合语言教学的某些规律，比如在阅读与表达中提升学生的语言素养。尽管解题也是一种阅读与表达的过程，但我以为这种阅读与表达太过单一，无法满足培养学生语言兴趣的需要。我想初中生没有必要成天泡在题海中被动的思考，我把数学读物奖给有突出表现的孩子们，希望这些读物能陪伴他们一个充实而快乐的假期。而对于写作，让学生尝试写一些小论文应该是非常棒的选择，比如不久前看到浦东民办交中王梓衡同学的《最小格点三角形问题》点击超过4000次并引起的激烈讨论，这样的小论文本身就是非常好的教育素材，学生能够在“议”的过程中激活的写作欲望，这是语言学习重要的源头活水。