初中数学史料分析的重要发现

相关的数学史料^[2]，通常以古希腊阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》为起点，把曲线问题转化为动点与轨迹问题，这是平面直角坐标系产生的根本原因，即研究多线轨迹的需要。上教版轨迹的内容在函数之后，此前学生只在“圆的周长”部分体会过“点动成线”，要理解多线轨迹困难较大，需要降低起点难度，定位于让学生初步体验运动的思想，带着问题进入一种“长思考”的状态。

函数的起点是坐标，而坐标不只平面直角坐标一种。据考证，公元前1500年左右我国就有用“二十八宿”来记录星空中不同位置，这相当于以北天极为坐标原点，用黄道赤道附近二十八宿把星空分成28个不平均的扇形区域(如图4-2-1所示)。

图4-2-1　二十八宿

古人在每一宿选一颗星称为“距星”。某一宿的距星与下邻宿距星的赤经差，称作某一宿的赤道距度(简称距度)，中国古代表述天体位置的两个量叫去极度和八宿度。“去极度”是被测星辰与北天极的角距离；“八宿度”指该天体与它西侧相邻距星的赤经差。这种用角度和距离描述点的位置的方法类似于极坐标。

二十八宿创设之后，在观象授时、制订历法，在推算、测定太阳、月亮、五大行星以及流星、彗星、新星乃至满天星辰的位置等当中，无不起了不可替代的作用，可是却没有发展出早期的函数思想，其原因在哪里呢？可以看出，这里28个区域的划分并不是平均的，而是更多地兼顾了星座的连贯性。这其实为今后用统一的标准进一步“数学化”“抽象化”增加了难度。

回顾西方数学的发展史，毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”，抛开有理数与无理数的细节，这一观点通过柏拉图学园“不懂几何者不得入内”的故事根植于西方世界。随着8世纪中叶至9世纪阿拉伯对古希腊文献的百年翻译运动推广，随着14世纪至16世纪文艺复兴前后发起的对亚里士多德的批判和重回柏拉图运动，这一观点全面推进了世界的发展并为之提供了源源不断的动力。由此可见，中西数学的差异不在于知识而在于理念：是否可以用数学的眼光来看世界、用数学来表达世界；是否满足于简单的应用；是否追求更一般、更抽象的数学规律。(www.xing528.com)

早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯在他的《圆锥曲线论》中就已经渗透了高深的数学思想：他把切圆锥所得的静态曲线分为椭圆、双曲线和抛物线，并从运动的观点分析了这些曲线的数学特征(这一步恰是中国所没有迈出的)。这一观点不只是影响了其后古希腊的天文学中的轨道计算，无论是托勒密繁复的地心“本轮”计算还是开普勒、哥白尼、伽利略的日心椭圆轨道计算。如果说古中国立足二十八宿星位记录法的天文学更接近于亚里士多德的归纳法，那么无论托勒密还是开普勒等，他们都属于柏拉图的理性(数学)分析法。

相对而言，开普勒的老师第谷做的工作类似于石申的记录整理，开普勒对其记录的大量数据进行了数学化，从而得出椭圆轨道等开普勒三大定律。

《圆锥曲线论》近2000年后，业余数学家费马沿着阿波罗尼奥斯的思路完善“用方程表示图形”的函数思想，与笛卡儿并称为“解析几何之父”。

提到笛卡儿，在函数教学中最常被引用的故事是他的苍蝇与或蜘蛛等类似版本的故事，然而数学的发展并非如此偶然，而是数学家在对问题的长久思考之后的“顿悟”。笛卡儿在《方法论》中有一段话：“起初，我仅仅试图对只有我所了解的光做出充分的解释。然后，当时机来临时，我增加了有关太阳和恒星的内容，因为几乎所有的光都源自它们。同时，我还增加了有关天空的内容，因为它们传输光；增加了有关彗星和地球的内容，因为它们反射光；特别是增加了有关地球上物体的内容，因为它们是有颜色的或透明的……最终是人，因为他是这些物体的观察者。”刨根究底、追求更完美——这才是笛卡儿精神。我们需要的不只是继承，还需要创造。