从柏拉图学园到吕克昂学园：初中数学再创造

意大利文艺复兴时期著名画家拉斐尔(公元1483年—1520年)画的一幅《雅典学院》(图3-3-1)的画作跨越时空，集中表现了古希腊诸多才子，连同画家本人也置身其中。毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德、欧几里得、托勒密、作者拉斐尔本人等历史上的哲人与学者52人汇聚一堂，参与哲学和科学讨论、教授、学习、谈话、沉思，每一个人都很专注。能够与古希腊时期的诸多先哲们对话大概是文艺复兴之后不少学者的渴望吧。

作品正中间是柏拉图和亚里士多德，柏拉图的手指向天空，象征着他的理念哲学思想；亚里士多德的手指向地面，预示着实践哲学思想^[12]。左下角的毕达哥拉斯正在讲授算术或哲学，他前面放置一个小黑板，上面写着数字；他的上面是泰勒斯在和别人谈话；右下角欧几里得在教授几何学，正在作圆内接正六边形……

图3-3-1　雅典学院

通常，人们并不认为柏拉图(公元前427年—公元前347年)是数学家。然而他在数学史上有着比许多数学家更重要的作用。

多数人知道的是：柏拉图是苏格拉底(公元前469年—公元前399年)的学生，是亚里士多德(公元前384年—公元前322年)的老师，这三位被称为希腊哲学三杰(贤)，引领着世界哲学的方向。其实人们对苏格拉底的了解，大多来自柏拉图的著述。怀特海(公元1861年—1947年)评价说：“关于全部西方哲学传统的普遍特征，可以最稳妥地概括为：两千年的西方哲学史，都可以被看作是柏拉图的注脚。”同时英国哲学家波普尔(公元1902年—1994年)也认为：“柏拉图著作的影响是不可估量的。可以说，西方思想不是柏拉图哲学就是反柏拉图哲学的，但很少是非柏拉图哲学的。”

我发现人生有很多宿命的成分在，因为你永远不知道你会遇到谁。柏拉图这位富家子弟从20岁开始追随苏格拉底，到25岁时苏格拉底去世，柏拉图开始了长达10年的浪迹天涯，恰在此过程中他接受毕达哥拉斯学派的“数本原论”学说(也有说认为法他是40岁成为毕达哥拉斯学派成员)。苏格拉底和毕达哥拉斯成为影响柏拉图至深的两个人。后来自己创办了柏拉图学园，并免费收徒，成为当时研究和传授哲学、数学和自然科学的中心。柏拉图的很多主张都是借他的作品中苏格拉底的口说出，但毕达哥拉斯对他的影响却深藏于他的内心，并通过他的言行影响着后人。

柏拉图个人的研究重心不在数学，数学方面成果不多，主要是柏拉图多面体。其实柏拉图多面体也不是柏拉图发现的。据说此前埃及人已经知道了正四面体、正六面体和正八面体。毕达哥拉斯及其学派已研究得出正多面体只有5种的结论，由全等的正三角形生成的正四面体、正八面体和正二十面体以及由全等的正方形生成的正六面体、由全等的正五边形生成的正十二面体。而由其他全等的正多边形是不能生成正多面体的。

这五种正多面体之所以被称为柏拉图多面体或柏拉图立体，是因柏拉图的多面体宇宙观。柏拉图在其《蒂迈欧篇》中详细讨论了在理智的宇宙结构中正多面体扮演的角色。他设想宇宙起始只有两种三角形：一种是底角为45°的等腰直角三角形；一种是底角分别为30°和60°的直角三角形，由这两种三角形就可构成4种正多面体，它们分别对应构成宇宙5种微粒中的4种。火微粒是正四面体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体，土微粒是正六面体，而正十二面体则构成第五种元素，柏拉图称其为精英。

这点贡献似乎也称不上是柏拉图对数学的贡献吧！我们何以说他对数学的贡献要大于某些数学家呢？这还要从一块牌子讲起：据说，在柏拉图学园的门口立着一块牌子，上面写着“不懂几何者勿入”！正是由于柏拉图对数学的重视，他的学园拥有当时最丰富的数学文献，培养出一大批数学人才；甚至纵使后来没有专门成为数学家的门徒，也将数学作为他们不自觉的素养与方法，这对于西方后来的文艺复兴和科技发展奠定了重要的基础。(www.xing528.com)

质疑、辩论和批判是西方的学术传统，柏拉图应该是这一传统的开创者之一。他批评毕达哥拉斯学派的“数学对象独立存在于可感事物之中”的观点，提出了“数学对象分离地独立存在于可感事物之外”的观点，不过他的这个观点被他的门徒亚里士多德无情地否定了，亚里士多德因此还留下了“吾爱吾师，吾更爱真理”的佳句。

曾从事过力学研究的欧多克斯(Eudoxus，约公元前400年—约前347年)和阿契塔(Archytas，约公元前420年—约前350年)通过实验证实：某些问题以当时的理论为依据是不能解决的。但他们的做法遭到了柏拉图的指责。柏拉图说他们的行为败坏了优秀的几何学，使得几何学从纯智力的领域降低到了物质的、实用的领域，到了需要有大量体力劳动介入的地步，这就使得几何学蜕变成了奴隶们从事的对象。由此而得出“在柏拉图的影响下，古希腊的哲学家们善于滔滔雄辩，推崇理性思辨的结果，却很少亲自动手制作仪器工具、亲自观察自然现象，对各类手工作业更不愿问及，这使得希腊科学缺少实验精神，也缺少与实际相联系的传统”^[13]的结论，我以为是不确切的，滔滔雄辩的风气是苏格拉底时代的“智者”们的特征^[14]，当然不能把这种风气归咎于柏拉图。无论是欧多克斯还是亚里士多德都是柏拉图学园的学生，他们显然并没有因为柏拉图的主张而受到限制，而再后来的阿基米德更是实践强人。

亚里士多德(公元前384年—前322年)是在立足于实践的基础之上，成为一位百科全书式的人物。

据说他受父亲的影响从小对生物学和实践科学有浓厚兴趣，还曾经在雅典学过医，但18—38岁这段最主要的求学经历都是在柏拉图学园度过的。在雅典的柏拉图学园中，亚里士多德表现得很出色，柏拉图称他是“学园之灵”。然而柏拉图去世时并没有安排亚里士多德接管柏拉图学园，而是交给了自己的侄子，两年后亚里士多德离开柏拉图学园，开始他的游历生活。最传奇的经历是42岁的亚里士多德被聘为13岁的亚历山大王子的老师，而他的这个学生20岁时成为叱咤风云的亚历山大大帝。此时亚里士多德回到雅典创办自己的学园——吕克昂学园，并创立了自己的学派“逍遥派”，在学园里，有当时第一流的图书馆和动植物园等。

亚里士多德63岁去世，他的作品包括：①逻辑学，有《范畴篇》《解释篇》《前分析篇》《后分析篇》《论题篇》《辩谬篇》，以上6篇逻辑学著作总称《工具论》；②形而上学，有《形而上学》；③自然哲学，有《物理学》《气象学》《论天》《论生灭》；④论动物，有《动物志》《动物之构造》《动物之运动》《动物之行进》《动物之生殖》《158城邦制》；⑤论人，有《论灵魂》《论感觉和被感觉的》《论记忆》《论睡眠》《论梦》《论睡眠中的预兆》《论生命的长短》《论青年、老年及死亡》《论呼吸》《论气息》；⑥伦理学和政治学，有《尼各马可伦理学》《优台谟伦理学》《政治学》《雅典政制》《大伦理学》《欧代米亚伦理学》《论美德和邪恶》《经济学》；⑦美学著作，有《修辞学》《诗学》《亚历山大修辞学》。如此丰硕的成果，如此广泛的涉猎，我们不得不为之而震惊。亚里士多德把各个方面的知识进行了梳理和分类，很多学科的名称都是他首创的。如此广泛的领域，当然难免会存在诸多偏颇，特别是过了上千年之后。可是在2000多年前的那一刻，这实在是了不起的宏伟工程。亚里士多德显示了希腊科学的一个转折点。在他以前，科学家和哲学家都力求提出一个完整的世界体系，来解释自然现象。他是最后一个提出完整世界体系的人。在他以后，许多科学家放弃提出完整体系的企图，转入研究具体问题。

亚里士多德研究过数学，但没有留下专门的数学著作；他对数学进行哲学反思，批判毕达哥拉斯学派数是万物本原的学说，批判柏拉图的理念数论。他研究了数学在科学分类中的地位，数学的研究对象，数学对象的存在方式，数是不是事物的本体等问题。他在数学哲学研究中所得到的一些观点和思想，无论是对数学的发展，还是对哲学的发展都产生了重要影响。^[15]

13世纪，亚里士多德诸多学科的理论一度成为金科玉律，成为常识。而从文艺复兴到科技的兴起，人们所做的事情无非是“重回柏拉图”(也有学者认为是“重回毕达哥拉斯”)，从天文、物理、人体与医学、动物学、博物学、哲学等各个方面向亚里士多德的传统发起挑战，用数学工具引领各个学科大踏步地前进。

欧几里得(前330年—前260年)恰好做了亚里士多德没做的事：完成数学学科的系统梳理。若说柏拉图学园确实有人走向理性极端，那应该是欧几里得了。他著成了世界数学史上第一部数学公理体系著作《几何原本》，这本书成为二千年来西方数学的教科书，成为除《圣经》外阅读最广泛的书，被誉为“数学圣经”，也成为中国“西方数学启蒙”的第一书，其影响可谓深远。罗素(1872—1970年)称这部书是“古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一”。之所以说“欧几里得走向极端”，是因为这本完全摒弃了实践数学的传统，将之前的数学知识整理搭建在一个抽象的、结构严谨的框架公理化框架之下，完全依赖逻辑推理与论证建构其体系。而逻辑学恰是亚里士多德的首创。尽管欧几里得出生时柏拉图、欧多克斯都已经离世，亚里士多德也早已离开雅典，但他们在柏拉图学园留下的足迹为欧几里得提供了丰富的资源。