观察地砖结论：初中数学再创造探究

图3-2-10　地砖与毕达哥拉斯定理

据传说有一次毕达哥拉斯应邀参加餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺的是正方形美丽的大理石地砖，这位善于观察和理解的数学家凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，想到它们和“数”之间的关系，选一块瓷砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和(图3-2-10)。他很好奇，于是换一个形状，再以两块瓷砖拼成的矩形对角线作另一个正方形，他发现这个正方形面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两直角边为边作正方形面积之和。至此他大胆地假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。

　图3-2-11　勾股定理
证明的“风车”模型

我读初中时学的是图3-2-11所示这个经典的希腊证明，被人们亲切地称为“风车”，它用了经典的希腊演绎推理。借助于现代的动画技术，原本较为烦琐的几何证明过程可以变得直观而神奇，成为勾股定理的代表。图3-2-11在后面的推广中还有非常重要的意义，这里先不展开。

作为世界上证明方法最多的定理，全世界已发现的它的证明方法有500种以上。1940年卢米斯的《毕达哥拉斯定理》第二版收录367种方法。

很多资料传说毕达哥拉斯证明了这一定理后破例杀了百头牛举行“百牛祭”，邀全城人庆祝。不过，有史学家分析“杀牛”之举不符合毕氏学派“不杀生”的教义^[8]。但总之，毕达哥拉斯学派对这一定理证明的狂热追求影响着后世，延续数千年。

　图3-2-12　美国总统的
勾股定理证明

1876年4月，加菲尔德在波士顿周刊《新英格兰教育杂志》上发表了一个关于勾股定理的别开生面的证法(图3-2-12)。1881年他当选为美国第二十届总统，于是他的证明成为人们津津乐道的一段逸事。看到图3-2-11，是否让我们想到一个非常经典的图形“一线三等角”？

毕达哥拉斯数即满足方程x2+y2=z2的正整数解(勾股数组)。《几何原本》中给出了找到所有毕达哥拉斯数的方法：设z = (p2+ q2)r，x = (p2- q2)r，y = 2pqr，只要令p，q，r取遍所有正整数，即可得到所有的毕达哥拉斯数。

有趣的是，当n>2时，xn+yn=zn 没有正整数解，这就是著名的费马大定理。这个定理在17世纪由费马提出但没有给出证明。这个看似非常简单的定理，它激起了很多数学家的兴趣，在证明过程中有很多新的理论被提出，极大推动了数论的发展。但这个猜想一直到358年之后的1995年才被剑桥大学的英国数学家安德鲁·怀尔斯证明，所用到的数论知识已经远超出了费马时代。

　图3-2-13　毕达哥拉斯树

　图3-2-14　立体勾股定理

毕达哥拉斯树是据毕达哥拉斯定理画出来的一个可以无限重复的图形(图3-2-13)。因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。因为直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方，所以图中每一组相邻的3个正方形中，2个小正方形面积的和等于大正方形的面积。以最大的一个正方形为第一层，上面2个为第二层，再上面的4个为第三层，依次类推，而同一层上的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积。利用不等式a2+b2≥2ab，3个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的1/4，大于等于最小正方形面积的1/2。根据所作的三角形形状不同，重复作这种三角形的毕达哥拉斯树的“枝干”茂密程度就不同。在几何画板的演绎下，动态的毕达哥拉斯树更是显示出勃勃生机。这种由几何图形迭代变换生成各种图形，成为一个新的数学分支：分形。

毕达哥拉斯定理的推广异常丰富，由直角三角形一般化得到余弦定理，从平面到立体可以得到立体勾股定理(图3-2-14)。

从“风车”证明的图形中，把向外的正方形改成任意相似的图形，如图3-2-15所示。

　图3-2-15　“风车”模型的变式

　图3-2-16　月牙定理(www.xing528.com)

将向外的正方形变成半圆翻折(图3-2-16)，可以得到著名的月牙定理，让古希腊数学家们对“画圆为方”的问题的解决看到了希望^[9]。

让我们再来回顾一下毕达哥拉斯学派的发现之旅：从铺地砖的问题，不只发现了毕达哥拉斯定理、毕达哥拉斯数、毕达哥拉斯树，甚至发现了无理数导致了第一次数学危机的产生。他还发现了可密铺的各种图形的可能，我们无法考证其他的发现是否由此生长而出，但显然，从简单的事实出发深入地、反复地、持久地思考，是他的团队不断突破的法宝。即便是最终给他以痛击的无理数的发现，仍然没有跳出“地砖”这一简单事实。其实我们的身边并不是缺少与数学相关的元素，只是我们还缺少这样的深入而持久的关注。

毕达哥拉斯学派继承了泰勒斯的演绎传统，坚持数学论证必须从“假设”出发，开创了演绎逻辑思想，对数学发展影响很大。在几何学方面，他们证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角形、正四边形、正六边形三种正多边形砖才能刚好将地铺满；研究了黄金分割；发现了正五角形的几何作图法；正五角形据传是毕达哥拉斯学派的徽章。

以上多数信息来自黄家礼老师编著的《几何明珠》，这是一本具有丰富史实的几何作品，更给出了此定理更多不同方向的拓展，正是通过这本书让我对勾股定理有了较全面的理解。

毕达哥拉斯定理在世界数学史具有极为重要的意义。

图3-2-17　毕达哥拉斯与“数形结合”

数形结合是初中数学学习过程中重要的数学思想方法之一。毕达哥拉斯大约是“数形结合”思想最早的集大成者(图3-2-17)。上讲提到的三角形数、正方形数等是他“以形来解释数”的典范，此外他还精通用“数”来解释“形”乃至解释“万物”。

然而，矛盾的是：正是毕达哥拉斯学派首先提出了“数学”一词，并把数学分为算术、音乐、几何学和天文学4个分支。故称“数学”为“四艺”。这一分类方法一直延续到文艺复兴时期。毕达哥拉斯学派对“数学”的4个分支分别进行了概念界定。即：算术，研究绝对不连续的、具有多少的量；音乐，研究相对不连续的量；几何学，研究静止的、连续的、具有大小的量；天文学，研究运动的、连续的量。是否正是这种划分形成了后来数学发展过程中方法的割裂性呢？我们不得而知，但总体说来，是毕达哥拉斯引领了世界数学的发展，他在数学史上的地位无法超越，其贡献更不容轻视。