基于形数思维的数学学习研究

从毕达哥拉斯开始，数学走上了抽象化的极端(脱离开实际的应用，成为一种数字游戏)。同时，他们又给数以形状，使得数字规律更直观。

在毕达哥拉斯时代，记数还是很烦琐的事，这却也促进了形数的发展。

希腊人在沙滩摆弄石子来记录数字，赋予数字以形状，丰富的想象传承出数学无限的发展空间。

毕达哥拉斯学派根据石子的形状对数进行分类。

(一)三角形数

一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数(图3-2-2)。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数。

图3-2-2　三角形数

每边石子数为2的三角形数，组成图形的石子总数为1+2；每边为3的三角形数，组成图形的石子总数为1+2+3；每边为4的三角形数，组成图形的石子总数为1+2+3+4；每边为n的三角形数，组成图形的石子总数为1+2+…+n。

可是1+2+…+n的结果是多少呢？据说德国数学家高斯读小学的时候就发现了这个规律，然而也有专家认为，这一求和公式早在毕达哥拉斯时期已经借助三角形数解决了。你知道他们是怎样解决的吗？我们只需要把三角形转化为四边形，就可以把每行不等的量变成为等量，从而把加法变成乘法了，大家可以试试看。

(二)正方形数

正方形数(平方数或四边形数)是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。如9=3×3，9是一个平方数。如图3-2-3，1，4，9，16等构成平方数。

图3-2-3　正方形数

　 图3-2-4　25=1+3+5+7+9

非常神奇的是：一个正方形数n2，可以看作起始n个奇数的和，如图3-2-4，顺着连线，我们可以把25这个数分成为1，3，5，7，9这样几个部分，即25=1+3+5+7+9，同样的，任意n2=1+3+5+…+(2n-1)。这是不是非常神奇的结论？神奇，却并不高深，显而易见，一目了然！还有比这更美妙的数字和图形的有关系吗？

　图3-2-5　平方数是
　两个相邻三角形数之和

此外平方数是两个相邻三角形数之和。如图3-2-5，还是25这个正方形数，左上的三角形数是1+2+3+4，右下的三角形数是1+2+3+4+5；显然对于任意的正方形数n2，可以写成1+2+…+(n-1)和1+2+…+n两个三角形数的和，由此可知任意三角形数的和1+2+…+n是n2加上一个n的和再除以2。

(三)线性数与长方形数

2018年暑假我带了几个六年级的学生一起研读数学史。读到正方形数，我突然想到合数是不是也会被古希腊人命名为长方形数呢？学生也纷纷应和，他们觉得素数应该是只能排成一条线段的数。后来，我们的想法在汪晓勤教授那里得到了证实：虽然历史上并没有见到“长方形数”这个概念，但是西马里达斯(Thymaridas，公元前4世纪上半叶，毕达哥拉斯学派早期成员)称素数为 “直线的”，塞翁(Theon)也以“线性的”作为素数替代性术语。

图3-2-6　刻有“素数”
刻痕的骨头

我的伙伴建平远翔学校的贾彬老师在她的课堂中也运用了这一史料，后来和孙丹丹博士共同发表了文章《HPM 视角下 “素数与合数”的教学》中提到，塞翁也以“线性的”代替素数，这是从形的角度看素数，是毕达哥拉斯形数理论的延续，当用石块或筹码来表示数字、度量数字时，素数是 “线性的”便显而易见。

这篇文章中还提到一个故事：有人推测人类很早以前就知道素数了。现藏于比利时皇家自然历史博物馆的两块骨头，引起了考古学家的极大兴趣。它们是从非洲刚果民主共和国爱德华湖畔一个叫伊珊郭的渔村发掘出来的，经现代科学方法鉴定，这两块骨头是公元前9000年到公元前 6500年之间非洲人使用的骨具。考古学家推测这是古代居民用来雕刻或书写的工具。两块骨头上出现了 5，7，11，13，17，19 一组顺序的刻痕(图3-2-6)。最初，古人就是这样用“形”来表示这些“素数”的。

公元前9000年至公元前 6500年的人们，是如何对这类数产生兴趣的？真是神奇啊。

数千年来，人们关于素数的热情永不消退。20世纪，陈景润让哥德巴赫猜想这样一个谜团进入中国青年的视野，激励着一群如少年蔡天新这样一代代的新人进入数论的世界。而说起哥德巴赫猜想，也不过是“任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和”这样一个看似极为浅显的结论。

而21世纪，又一个华人在数论界有惊世之作，2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面取得了突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式：发现存在无穷多差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步。

无论是陈景润还是张益唐，都告诉我们：数学研究需要有对数学的执着热爱，因之而可以耐得住寂寞、孤独。在这条路上，有人成功了；然而更多的人终其一生默默无闻却可以一生无悔，因为热爱！激情，是人类创造力最宝贵的源泉。数学，不只是理性之冰，更是一首“冰与火之歌”！

(四)五角形数与六角形数

由正方形数再进一步，还有五角形数与六角形数。

五角形(五边形)数：能构成正五边形的数，如1,5,12,22，…。六角形(六边形)数：能构成正六边形的数，如1,6,15,28，…(图3-2-7)。

图3-2-7　五边形数与六边形数

从表3-1中你能发现什么新的规律吗？你能在图中验证这些规律吗？(www.xing528.com)

表3-1　从三角形数到六角形数

由此我们不得不感慨：数与形的规律如此丰富！

(五)半亲和数与亲和数

除了形数，毕达哥拉斯学派还研究两个数因数之间的特殊关系，如半亲和数与亲和数。

半亲和数：1是每个整数的因数，除1和它本身外整数48可以被2、3、4、6、8、12、16、24整除，这8个数都是48的因数，这些因数的和是75；奇妙的是75的因数除了1和它本身还有3、5、15、25，而它们的和又恰好是48。48与75这一对数叫作“半亲和数”。不难验算出140与195也是一对半亲和数。

亲和数：把除去整数本身之外的所有因数叫作这个数的“真因子”。如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数就构成一对“亲和数”(或叫相亲数)。220与284是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数，同时也是最小的一对亲和数。因为220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，而它们的和是284。284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。

这种“你中有我，我中有你”的特性，表明了两者之间的亲密关系，也激发人们对这类数的兴趣，并赋予种种神秘色彩。此后2000年间，220和284是唯一一对亲和数，纪元前的一些人类部落把220和284两个数字奉若神明。男女青年择偶时，往往先把这两个数分别写在不同的木签上，他们若分别抽到220和284，便被确定结为终身伴侣。《圣经·创世纪》说，雅各送给哥哥以扫200只母山羊、20只公山羊和200只母绵羊、20只公绵羊。据说山羊、绵羊数之所以各是220，是因为隐含着它的亲和数284，以体现送礼人的寓意和与受礼人的亲密关系。

还有人曾经把亲和数用于魔术、法术、占星学和占卦上，使它带有迷信和神秘的色彩。如认为若两个人都佩戴上分别写着这两个数的护符，就一定保持良好的友谊。有趣的是，后来人们总保持着对亲和数研究的兴趣。

直到公元1636年法国费马发现了第二对亲和数：17296，18146。两年后“解析几何之父”的笛卡尔又发现第三对亲和数：9437056，9363584。时间又匆匆地过了100余年，1747年，欧拉一口气找到了30对亲和数，后来又扩展到60对！非常有趣的是，1866年意大利16岁少年帕格尼尼发现了被人们长期忽视的、比较小的一对亲和数：1184，1210。有了计算机后，人们用计算机继续寻找相亲数，目前人们已找到1200对以上的亲和数，如1974年，H.J.莱尔找到当时所知道的一对最大的两个152位的相亲数。

关于亲和数，还有许多未解之谜，如：

1. 是否存在无限多对亲和数？它有公式吗？

2. 目前所找到的亲和数中，或者两者都是偶数，或者两者都是奇数。那么是否存在一奇一偶的亲和数呢？这个问题是欧拉提出来的，200多年过去了，至今尚未解决。

3. 目前找到的奇亲和数都是3的倍数，这是偶然性还是必然规律？

(六)完全数

公元前6世纪，毕达哥拉斯首先发现，6的真因子的和等于自身，即1+2+3=6；28的真因子的和也等于自身，即1+2+4+7+14=28。人们把具有上述性质的数叫作完全数(也称完美数)。完全数的真因子之和是它自己，即自己和自己是亲和数。毕达哥拉斯的信徒们认为，数具有象征性的含义，而8不是完全数，它大于它的真因子和：1+2+4=7，像这样的数叫作亏数，相反凡小于其因子和的整数叫作盈数。公元1世纪，希腊数学家尼科马霍斯正确地给出了6、28、496、8124共4个完全数。 后经过数学家的探寻，又找到第5个完全数：33550336。直到1952年人们才发现12个完全数。

数学家们发现完全数有许多奇妙的性质：

1. 每一个完全数的所有约数(包括自身)的倒数之和等于2；

2. 完全数是2的连续(指数相继)方幂和；

3. 除6之外，它们是相继奇数的立方和。

哇，我真的为之而惊叹了！我如同进入一个藏满宝藏的洞穴，那处处闪现的耀眼的光芒让人目瞪口呆。早在2000多年前，数论研究就已经如此丰富多彩！

是否还有其他的完全数？即有没有奇完全数？至今没有人能回答这个问题。

毕达哥拉斯学派对以上这些数的研究，有着如此丰富的生长点，为现代数论的发展奠定了良好的开端，激励着无数的数学爱好者世世代代乐此不疲。