《九章算术》中的中华算术详解

两年前，听HPM(数学史与数学教育)团队来自浦东的青年教师张翼翔老师介绍他对《二元一次方程组》这节课的思考，我感受到他对《九章算术》有着深入的思考，而我此前并没有系统地研究过这本经典。加之汪晓勤教授也倡导我们去读第一手的文献，于是我网购到《九章算术》这本书，利用暑假领了几个六年级的学生一起读起来。

《九章算术》是我国古算术书之一，现传本成书年代大约是在公元1世纪的下半叶：《汉书艺文志》(班固据刘歆《七略》作)中记录的数学书仅有《许商算术》《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见它的出现要晚于《七略》；《后汉书马援传》载其侄孙马续(公元1世纪下半叶)“博览群书，善《九章算术》”；再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等可推知其年代。

后世的数学家大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成，是古中国“算法数学”的典范。它承先秦数学发展的源流，后又经许多学者的删补才最后成书。《九章算术》在隋唐时期传入朝鲜、日本。唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书，北宋由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。

与西方数学不同的是：《九章算术》更重实用，全书采用问题集的形式，共收有246个数学问题，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，涵盖了测量、赋税计算等社会生活的各个方面。讲究算法化，不重证明。

《九章算术》对于中国数学的主要贡献表现为以下几个方面。

(一)分数运算

分数计算中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算、通分、约分、化带分数为假分数(古称“通分内(nà)子”)等，其中“约分术”给出了求分子、分母最大公因数(古称“等数”)的“更相减损”法，与欧几里得的《几何原本》中辗转相除法一致。

如：求2018和1995的最大公因数。

分析：目测2018与1995没有常见的公有素因数2、3、5、11等，而要找出它们的其他素因数要找到大约30～40的范围，计算量有点大。

在《九章算术》之卷一《方田》一章中，有求分子、分母最大公因数的方法：“可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

我们以此方法求2018和1995的最大公因数，先“以少减多”，2018-1995=23，再“更相减损”，1995÷23=86……17(用1995减23共减86次，余17)，显然23与17互素，故二者的最大公因数为1。

再如：用辗转相除法求85和51的最大公因数。

解：85-51=34(以少减多)，51-34=17，34-17=17(更相减损，求其等也，以等数约之)

故85和51的最大公因数为17。

(二)正负加减

引进负数是数系扩充的一个重大进展，并给出了对正、负数进行加减运算的正确法则。

中国人使用负数在世界上是首创。在古代商业活动中，收支、盈亏、增减均可用正负表示。在“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法。魏晋时期的学者刘徽(公元225年—295年)在其著作《九章算术注》中首先给出了正负数的定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”他还给出了正负区分正负数的方法：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异。”元代朱世杰还给出了关于正负数的乘除法则。

与中国古代数学家不同，印度和西方数学家更多的是研究负数存在的合理性。印度数学家于公元628年才认识到负数可以是方程的根。在欧洲直到17世纪才首先认识和使用负数解决几何问题。虽然如此，16、17世纪欧洲大多数数学家不承认负数是数。帕斯卡(公元1623年—1662年)认为从0减去4是纯粹的胡说。阿润德提出一个有趣的说法来反对负数，他说(-1)∶1=1∶(-1)，那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢？英国数学家瓦里士于1655年承认负数，同时认为负数小于零而大于无穷大。英国数学家德·摩根1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲年龄将是儿子的二倍？”他列方程56+x=2(29+x)，并解得x=-2。他称此解是荒唐的。

到18世纪，欧洲排斥负数的人渐少，随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立。

(三)开方(www.xing528.com)

开方中讲到开平方、开立方的方法，计算步骤和现在的基本一样。本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。开方术中包含了二次方程x2+bx=c的数值求解程序。特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可工”，并给这种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。

(四)比例算法

《九章算术》的卷二、卷三、卷六等章，广泛地使用了各种比例解应用问题，刘徽用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词。另一个常用的比例算法是“衰分术”，所谓“衰分”就是差分，即比例分配的意思，是古代处理分配问题的一种方法，另外还有“均输”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配。卷二《粟米》中有“今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何”，其中比例为“粟五十粺米二十七”。

(五)盈不足术

即以盈亏类问题为原型，通过再次假设来求繁难算术问题解的方法。一些其他的算术问题也可以通过两次假设未知量的值转换为盈不足问题。《九章算术》就用这种方法解决了许多不属于盈不足的问题。后来传到阿拉伯国家，称为“契丹算法”，中世纪传到欧洲，称为“双设法”。如：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”

(六)方程

“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。行之左右无所同存，且为有所据而言耳。此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之。又列中、左行如右行也。”如：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”

“方程”一章主要讲多元一次联立方程组及其解法，其解法实质上就是“高斯消元法”，欧洲到17世纪才出现；而其算筹的表达方式，却更类似于线性代数的矩阵法。“五家共井”问题则得到一个含5个方程、6个未知数的方程组，这是世界上最早的不定方程组。

(七)几何方面

《九章算术》中包含大量的几何知识，“方田”章讲面积计算，“商功”章讲体积计算，“勾股”章讲勾股定理的应用。其中的几何问题具有很明显的实际背景，各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有：“方田(正方形)”“直田(矩形)”等。“圆田术”中圆面积公式以3为圆周率。

与欧几里得《几何原本》中将代数问题几何化的做法相反，《九章算术》将几何问题算术化和代数化。从《九章算术》的算法安排的顺序来看，把正整数和正分数的四则运算，结合面积的计算，放在开头，作为全书理论的基础；接着是正比例、分配比例、混合比例、开方、体积计算等算术运算和几何计算方法；其后是二元一次方程组(双假设法)多元一次方程组的矩阵变换解法，并引入负数及其加减运算法则；最后是勾股测量术。算法从低级到高级，由简单到复杂，前面的算法是后面的算法的基础，后面的算法则是前面算法的发展和推广，层次清楚，联系紧密，形成一个比较完整的理论体系。从一章中问题的安排来看，也是由简到繁，彼此相关，符合逻辑。因此，便于人们学习和应用。

与《几何原本》不同之处，除了论证思想不足、公理化不明显之外，其实用性较强但多以“方”“圆”为研究对象，对三角形的研究较少。四川特级教师赖虎强老师《妙用面积学数学》^[19]，立意在于“从《九章算术》寻找教学智慧”，深刻挖掘了《九章算术》中的面积法验证分数的运算、开方、式的乘法、因式分解与解方程等，力求实现一线贯通的公理化，取得了不错的成果。

《九章算术》从具体的东西开始研究，是一个归纳的体系——从个别的问题到一般的算法。其中“术”即现代“算法”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案。算法化内容与算筹的发明和应用密不可分。从方法论的角度来看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法，把现实原型通过“术”转化成数学模型，如“勾股”“方程”“衰分”“少广”等。模型法的各个模型之间当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模型。

杨蕾、魏德胜^[20]分析了年代在《九章算术》之前的3份出土数学古籍的相关文献，它指出岳麓书院藏秦简“是目前发现的最早的数学文献材料”，其内容“与当时的社会生活紧密相关，体现出中国传统数学以社会实用性为宗旨的基本特点”。

“与岳麓书院藏秦简《数》关系较密切的是书写时代仅次于《数》的湖北张家山汉墓竹简《算数书》。其简文内容以习题集的形式汇集了分数、整数的四则运算和不同几何形体的体积计算，并以术文的形式抽象出不同类型题目的计算方法，为我们进一步了解古代数学水平、数学思想理念以及当时的社会经济发展状况提供了契机。”

北大秦简《算数书》“是北大获赠秦简牍中数量最多的一类……作为当时供人们学习田亩、租税计算的一种特殊算术教材或参考书。不仅列举了田亩、赋税、粮食兑换等一系列与实际问题相关的演算方法和算题，还以‘鲁久次’与‘陈起’两位古人问答的形式，讨论了古代数学的起源和意义”。

蔡丹、谭竞男^[21]还提到“云梦睡虎地 77 号汉墓简牍中，有一卷题名为《算术》的简册”，“是目前所见保存状况最为完好的科学考古发掘的算术文献，对认识汉初以至秦汉时期的算术文本有重要作用。”

此外，还有《周髀算经》是此前广为流传的著作，不过人们更多地把这本书当作中国古代天文著作，事实上，《周髀算经》中广泛使用了勾股定理与比例等，对三角形的研究称之为“算经”也是名正言顺的了。

我们期待这些古籍中的信息早日破译，让我们更好地理解古人对数学的创造。