《易经》与二进制、八进制的关联

许多文献根据对一些现存原始部落的观察分析，认为二进制数、三进制数可能是人类最早使用的进位制，甚至那时还没有文字符号来记录数字。

然而二进制作为电脑中普遍使用的一种机器语言，却是由莱布尼兹(1646—1716年)发明的，以通路表示1，断路表示0。0和1组成的数，比如101101这个二进制数，从右到左各个数位分别表示20、21、22、23、24、25，即二进制101101化十进制步骤为1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45。这样6条电路就可以表示45这个数字以及64以内的任何数字。在此基础上我们规定加减乘除的运算法则，使之与对应的十进制运算相洽。

特别需要指出的是，这里的二进制不只是规定了记数方法，还需要规定其运算，比如它的加法是满二进一，即1+1=10，101+111=1100。

八进制数与二进制相类似，简单说就是只用8个符号来记数，逢八进一。因其与二进制数转换方便并且记录更简洁，也会应用于电脑技术中。

我国中科院院士张景中在他的数学科普专辑《从数学教育到教育数学》^[6]一书中，提出十进制数不如八进制数的说法，原因是在计算机时代，电脑使用的都是二进制数，而十进制数与二进制数的转换远不及八进制数与二进制数的转换方便，会占用更多的内存与空间。当然，这部首版于2004年的作品一定没有预计到这十余年来计算机硬件的迅猛发展，这种优势似乎也就显得不那么重要了，更何况还有BCD数这种直接使用二进制来表示十进制数的形式，并能轻松与二进制数转换。

类似的还有十六进制，“半斤八两”的成语便是出于我国重量的十六进制计量制。

图1-3-1　《易经》八卦图(www.xing528.com)

图1-3-1所示为《易经》八卦图，据传易经起源于开天辟地之时，后周文王所著《周易》为易经三大分支之一，也是流传最广的一支。八卦(见左图)是其基本符号，八卦中有长横“—”和间断的短横“--”两种符号，如果把这两种符号分别记作“0”和“1”，那么一组八卦就是8个3位数的二进制数字，两组八卦可以组合出八八六十四卦(见右图)，六十四卦可以看作是64个6位数的二进制数；同样的，我们也可以用0～7这八个数字分别记录8卦中的八种符号，那么2个八卦数字的组合也可以表示为64个两位数的八进制数。

八卦更多地被当作是中国古代哲学的基本概念，所谓“无极生有极，有极生太极，太极生两仪(即阴阳)，两仪生四象(即少阳、太阳、少阴、太阴)，四象生八卦”，此为伏羲八卦，也叫先天八卦。从表面上看，这句话确实包括了从20、21、22、23、26这样几个数。

最有意思的应该是《周易》中的八卦图与二进制的一段渊源：清朝时一位外国传教士寄了一本《周易》给当时的大数学家莱布尼兹，《易经》八卦让莱布尼兹大吃一惊，因为他正在研究二进制数，莱布尼兹赞叹中国几千年前的记载中就已经出现的二进制思想，据说他还曾经给康熙皇帝写过信，建议建立中国科学院之类云云。

对此，我觉得我们也不必为数学家的赞誉而太过激动，我们也不能据此而称莱布尼兹的二进制思想是在中国八卦的启发下诞生的。首先，更多记录显示是先有了莱布尼兹的二进制思想(1679年)，然后他才发现了中国的《易经》八卦与之有一点点契合(1689年)^[7]；其次，我觉得这一事件更应该看作是政治家兼外交家的莱布尼兹尝试建立与中国的关系的一种手段，而不是出于对中国数学成就的仰慕。清朝外国人对中国文化的态度也有学者分为两个时期(夸赞表扬期和抨击嘲讽期)^[8]，莱布尼兹所生活的那个时期还在夸赞表扬期，两种文明最初接触总是有很多的好奇。

当然，“周易八卦”相对人们在原始部落发现的原始二进制萌芽要进步许多，但它并不是完整的记数系统，也没有计算系统，只是用不同的符号来表示不同的意义，而根本没出现用这些图表示一个数的明确形式，如65如何表示；它还没有规定计算的方法，如7×4如何计算，甚至连意义都没有规定。很多人把《周易》当作最早的算卦的书，似乎用之可以预测未来。也有《周易》专家认为此书并不可以用来预测未来，只是一本哲学书。不过似乎可以确认，这并不是一本数学书。即便是因为有了八卦才激发出莱布尼兹的二进制思想，我们也没有理由为此而沾沾自喜：对于一个伟大的民族，它的目光应该是向前看的，而不是躺在前人的辉煌中妄自尊大。