社会统计学：多元回归模型与回归方程

多元回归模型在设立时，往往假设因变量为y，k 个自变量分别为x1，x2，x3，…，xk。描述因变量y 和k 个自变量x1，x2，x3，…，xk 以及误差项ε 之间关系的方程称为多元回归模型（multiple regression mode）。 多元回归模型的形式一般如下：

式（10.1）中，βi（i＝1，2，…，k）是模型的参数；ε 为误差项。

式（10.1）表明：y 是变量x1，x2，x3，…，xk 的线性函数（β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βkxk 部分）与误差项ε 的和。

误差项ε 反映了除x1，x2，x3，…，xk 与y 的线性关系之外的随机因素对y 的影响，是不能由x1，x2，x3，…，xk 与y 之间的线性关系所解释的部分。

与一元线性回归类似，在多元线性回归模型中，对误差项ε 同样有3 个基本假定：

①误差项ε 是一个期望值为0 的随机变量，即E（ε）＝0。 这意味着对于给定x1，x2，x3，…，xk 的值，y 的期望值为E（y） ＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βkxk。(www.xing528.com)

②对于自变量x1，x2，x3，…，xk 的所有值，ε 具有相同的方差σ2。

③误差项ε 是一个服从正态分布的随机变量；εi 相互独立，即意味着自变量x1，x2，x3，…，xk 的一组特定值所对应的与x1，x2，x3，…，xk 任意一组其他值所对应的ε 不相关。ε 是一个服从正态分布的随机变量，意味着对于给定的x1，x2，x3，…，xk 的值，因变量y 是一个服从正态分布的随机变量。

根据回归模型的上述假定及回归模型的形式，有：

式（10.2）称为多元回归方程（multiple regression equation），它描述了因变量y 的期望值与自变量x1，x2，x3，…，xk 之间的关系。

不同于一元回归方程是二维空间中直观的回归直线，多元回归是一个多维空间中的图形（比如三维空间中的平面等）。 为了对式（10.2） 的回归方程有更全面的了解，可考虑含有两个自变量的多元回归方程，其一般形式为：