双因素方差分析从社会统计学书中学习

单因素方差分析只是考虑单个分类型自变量对数值型因变量的影响。 在对实际问题的研究中，有时需要考虑几个因素对试验结果的影响。

当方差分析中涉及两个分类型自变量时，称为双因素方差分析（也称二元方差分析，two⁃way analysis of variance） 。 二元方差分析，由于自变量已经增加到两个，因此在讨论自变量对因变量的影响时，可以有两种数学模型。 第一种是只讨论自变量A 和B 独立地对因变量的影响：这里A 和B 是要研究的自变量，ε 是未知的和未被控制的外界干扰，又称误差。 这种模型被称为无交互作用的方差分析，或线性可加性模型、独立模型，因为变量A 和变量B 对因变量的影响是独立作用的。

另一种情况是不仅要研究自变量A 和自变量B 独立的影响，同时还要考虑两个变量的交互作用，即变量A 和变量B 共同作用于因变量，称作自变量间的交互作用。 这在社会现象的研究中也是常见的。 这时对于y 的影响，除自变量A 和B 的独自作用外，还要考虑A 和B 的交互作用。 这种模型称作具有交互作用的模型。

这两种模型由于要研究的内容不尽相同，因此要求观测值的数目也不相同。 例如对于具有交互作用的模型，由于不仅要研究变量的独立作用，而且还要研究变量的交互作用，因此它要求测量值的数目就要比独立模型多。

类似于单因素方差的检验步骤，双因素方差分析的检验步骤如下：

（1）提出假设

为检验两个因素的影响，需对两个因素提出假设。 对因素A（行因素）的假设为：

HA0：μ1 ＝μ2 ＝… ＝μi ＝… ＝μk

HA0表示因素A（或称行因素）对因变量的原假设，即：因素A 对因变量没有显著影响。μi 表示因素A 的第i 个水平的均值。

备择假设：HA1：μi（i＝1，2，3，…，k）不全相等。(www.xing528.com)

因素B（列因素）的假设为：

HB0：μ1 ＝μ2 ＝… ＝μi ＝… ＝μk

HB0 表示因素B（或称列因素）对因变量的原假设，即：因素B 对因变量没有显著影响。

备择假设：HB1：μj（j＝1，2，3，…，r）不全相等。

μj 表示因素B 的第j 个水平的均值。

（2）构造统计量

SST＝SSR＋SSC＋SSE，SST 的自由度为kr－1；SSR 的自由度为k－1；SSC 的自由度为r－1；SSE 的自由度为（k－1）（r－1）。

（3）做出统计意义的判断

双因素方差分析模型具体分为：无交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。两种模型的具体检验步骤参见9.2.2 和9.2.3。