社会统计学：概率p的假设检验成果

【引例】　【招聘测试问题】某大型知名软件公司在进行某专业领域的工程师人力资源的招聘工作，负责本次招聘的该公司人力资源部需要对应聘者进行专业测试。 人力资源部门给出了10 道选择题，每个选择题有4 个备选答案，其中只有一个是正确的。 或者说，正确的比率只有0.25。 问至少应答对几道，才能考虑录取？

分析：在该背景下，不再有总体为正态分布的实际情况，因此不能再按照以前总体服从正态分布的假设检验进行统计推断。

仔细分析的话，该总体实际上是二项分布，即总体是B（1，p）分布。

应聘者都答对了，X 取值为1（相当于投不均匀的硬币，正面朝上），答错了，X 取值为0。 B（1，p）分布性质：E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）。

在该题中，一个完全瞎猜的应聘者，答对的概率是0.25，即p ＝0.25。 对任意一个应聘者，我们不知道，他是否是瞎猜的（不知道他的p 值是多少），不妨先假设：（H0）：p ＝0.25，备择假设（H1）： p＞0.25。

如何确定检验的统计量呢？

思路：应聘者答10 道题，相当于得到10 个样本：X1，X2，…，X10。 不能用统计量做检验，因为不知道分布形式（仅仅知道其均值与方差）。 但是完全知道统计量Y ＝X1＋X2＋…＋X10的分布，即二项分布B（1，p），并且可以计算出统计量Y 的值。

因此，可以用Y 来做假设检验。

【例8.12】　一个灯泡厂生产的灯泡在通常情况下次品率为5%。 某天从生产的一批灯泡中随机抽取100 个，测得次品为8 个，问在显著性水平α ＝0.05 的情况下，能否认为该天生产的灯泡的次品率仍然为5%？

分析：本题目要求对该天生产的灯泡的次品率仍然为5%进行假设检验。 于是，作假设：

H0：p ＝0.05，H1：p ≠0.05

这是对其次品发生的概率p 的假设检验。

该问题的数学模型为：设总体X 服从两点分布，即(www.xing528.com)

P｛X ＝k｝ ＝pk（1 － p）1－k，（k ＝0，1）

作假设

H0：p ＝p0，H1：p ≠p0

而上述假设为双侧检验，对于显著性水平α，拒绝域为：

同理可得，当假设为H0：p≤p0，H1：p＞p0 时，其拒绝域为：｛U＞zα｝。

当假设为H0：p≥p0，H1：p＜p0 时，其拒绝域为：｛U＜－zα｝。

于是，给出概率p 检验法的步骤为：首先，根据题意做出假设；其次，根据抽样计算事件发生的频率 ，并求出统计量U 的值；再次，根据给定的显著性水平α，查表得到相应的值；最后，判断检验统计量的值是否落入拒绝域，并给出结论。

而α＝0.05 时，z0.05／2 ＝1.96，于是｜U ｜≈1.376＜zα／2 ＝1.96，所以接受原假设H0，即认为当天生产灯泡的次品率仍为5%。

【例8.13】　根据以往长期统计，某门课程期末考试成绩的补考率不小于5%，由于信息技术的引入，许多教师改进了教学方法与手段后，从本学期该门课程的期末考试中随机抽取500 份考试成绩，发现有15 份为不及格。 问能否认为通过改进教学方法和手段，该门课程期末考试的补考率降低了？ （α＝0.05）

解　由题意，作假设：H0：p≥p0 ＝0.05，H1：p＜＝0.05

当α＝0.05 时，z0.05 ＝1.645，因为U≈－2.062＜－z0.05 ＝－1.645，

所以拒绝原假设H0，即认为通过改进教学后，该课程期末考试成绩的补考率降至5%以下。