正态总体均值与方差检验在社会统计学中的应用

①H0：μ1 ＝μ2，H1：μ1≠μ2 时，取统计量

同理可知：

②H0：μ1≤μ2，H1：μ1＞μ2。 其拒绝域为：

当H0 成立时，t～t（n1＋n2－2），对于给定的α∈（0，1），有：

②H0：μ1－μ2≤δ，H1：μ1－μ2＞δ，取统计量

当H0 成立时，t～t（n1＋n2－2），对于给定的α∈（0，1），有P｛t＞tα（n1＋n2－2）｝＝α，拒绝域为：

【例8.8】　学习成绩基本一样的甲乙两个同学参加了这次5 门课程的综合考评，其成绩分别为：（单位：分）

甲：88　87　92　90　91

乙：89　89　90　84　88

假设他们的成绩均服从正态分布，且有相同的方差。 在显著性水平为α ＝0.05 的情况下，能否判断乙比甲的成绩要差？

解　①提出原假设H0 及备择假设H1。

要判断甲乙两个同学成绩的好坏，即需要对两个同学的平均成绩进行比较。 因甲乙两个同学的成绩都服从正态分布，设甲成绩为X ～N（μ1，σ2），乙成绩为X ～N（μ2，σ2）。

由题意得：

要判断“乙的成绩是否比甲的要差”这个命题。 假设“乙不比甲的成绩差”，则其对立命题就是“乙比甲的成绩要差”。 即做假设：H0：μ1－μ2≤0，H1：μ1－μ2＞0。

②选择统计量（样本容量）。

其中n1 ＝n2 ＝5。 经过计算得：

③求出在假设H0 成立的条件下，该统计量服从的概率分布。(www.xing528.com)

④选择显著性水平α，确定拒绝域。

由题意知，显著性水平α＝0.05，有：

P｛t ＞tα（n1 ＋n2 － 2）｝ ＝α

则统计量的拒绝域为：

t ＞tα（n1 ＋n2 － 2）

查表得α＝0.05，t0.05（8）＝1.859 5。 因此，当一次抽样的统计量计算结果落入（1.859 5，＋∞）时，就有理由拒绝原假设；否则，接受原假设。

⑤根据样本值计算统计量的观察值，看观察值是否落入拒绝域内，作出拒绝或接受H0 的结论。 分别将由样本计算得出的数值代入t 统计量得：

t 统计量的计算值没有落入拒绝域（1.859 5，＋∞）内，所以接受原假设H0，即没有理由认为乙的成绩比甲的成绩差。

即根据甲乙两个同学参加了这次的学期5 门课程的综合考评，不能得出“乙的成绩比甲的成绩差”这一结论。

（3）两个正态总体方差的检验

从而拒绝域为：

称为F 检验法。 同理可得：

【例8.9】　设甲乙两个工厂生产统一品牌的灯泡，其寿命均服从正态分布，在甲厂抽取容量为10 的样本，测得样本方差为＝4.38；在乙厂抽取容量为12 的样本，测得样本方差为＝1.56。 在显著性水平为α＝0.05 的情况下，判断两个工厂产品寿命的方差大小。

当α＝0.05 时，查表得：F0.05（9，11）＝2.90，因为：

F ＝2.808 ＜F0.05（9，11）＝2.90

所以接受原假设H0，即认为二者没有多大区别。