单个总体均值与方差的检验

（1）σ2 已知，关于μ 的检验（μ 检验）

称为μ 检验法。

②当原假设为：H0：μ≤μ0，备择假设为：H1：μ＞μ0 时，由例8.2，拒绝域为

从而，取拒绝域为：

故拒绝H0，即处理后的废水合格。

【例8.4】　（左侧检验情形）某批发商欲从某厂家购进一批灯泡，根据合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于1 000 小时。 已知灯泡燃烧寿命服从正态分布，标准差为200小时。 在总体中随机抽取了100 个灯泡，得知样本均值为960 小时，批发商是否应该购买这批灯泡？

解　这是一个单侧检验问题。 显然，如果灯泡的燃烧寿命超过了1 000 小时，批发商是欢迎的，因为他用已定的价格（灯泡寿命为1 000 小时的价格）购进了更高质量的产品。 因此，如果样本均值超过1 000 小时，他会购进这批灯泡。 问题在于样本均值为960小时他是否应当购进。 因为即便总体均值为1 000 小时，由于抽样的随机性，样本均值略小于1 000 小时的情况也会经常出现。 在这种场合下，批发商更关注可以容忍的下限，即当灯泡寿命低于什么水平时拒绝。 于是检验的形式为： H0：μ≥1 000；H1：μ＜1 000。

【例8.5】　（右侧检验情形）某食品生产商大量生产某种袋装食品。 按照合同约定，该批袋装食品的重量，每袋不少于500 克，重量不合格率不能超过1%。 现在总体中随机抽取了200 个袋，其中有1 袋低于500 克。 问该批食品是否符合合同要求？

解　这是一个右侧检验问题。 显然，重量不合格率越低越好。 在这个产品质量检验的问题中，比较关心次品率的上限，即不合标准的比例达到多少就要拒绝。 由于采用的是产品质量抽查，即使总体不合标准的比例没有超过1%，属于合格范围，但由于抽样的随机性，样本中不合标准的比例略大于1%的情况也会经常发生。 于是检验的形式为：

H0：μ≤1%；H1：μ＞1%。

（2）σ2 未知，检验μ（t 检验）

根据对μ 的检验具体情况，又可以细分为如下3 种情形。

称为t 检验法。

②H0：μ≤μ0，H1：μ＞μ0，拒绝域为：

③H0：μ≥μ0，H1：μ＜μ0，拒绝域为：

【例8.6】　用一仪器间接测量温度5 次：1 250，1 265，1 245，1 260，1 275。 而用另一种精密仪器测得该温度为1 277（可看作真值）。 问此仪器测温度有无系统误差（测量的温度服从正态分布）（α＝0.05）？(www.xing528.com)

解　①　提出原假设H0 及备择假设H1；

H0：μ ＝μ0 ＝1 277，H1：μ ≠μ0 ＝1 277

②选择统计量及样本容量；

⑤根据样本值计算统计量的观察值，看观察值是否落入拒绝域内，作出拒绝或接受H0 的结论。

由一次抽样的样本值，计算可知，t 落在拒绝域内，因此要拒绝原假设H0。 即拒绝接受该仪器没有系统误差的假设；接受备择假设H1，即可以认为该仪器存在系统误差。

（3）单个正态总体方差的检验

设总体X～N（μ，σ2），μ，σ2 均未知，X1，X2，…，Xn 来自X。

从而其拒绝域为：

称为χ2 检验法。

【例8.7】　用老的铸造法铸造的零件的强度的平均值为52.8 g／mm2，标准差为1.6 g／mm2。 为了降低成本，改变了铸造方法，抽取了9 个样品，测得其强度为：51.9，53.0，52.7，54.1，53.2，52.3，52.5，51.1，54.1。 假设强度服从正态分布。 试判断新方法是否改变了强度的均值和标准差？ （α＝0.05）

解　先判断σ2 ＝1.62 是否成立，再判断μ＝52.8 是否成立。

①H0：σ2 ＝1.62，H1：σ2≠1.62，对于给定的（α＝0.05），则统计量

当H0 成立时，其拒绝域为：χ2＜2.18，或χ2＞17.54。χ2 未落入拒绝域，故接受H0，认为σ2 ＝1.62。

②由前面判断σ2 ＝1.62，可认为σ2 已知。

未落入拒绝域内，故接受H′0，即认为μ＝52.8。