通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系，并对变量间的关系形态作出大致的描述，但散点图不能准确反映变量之间的关系强度。 因此，为准确度量两个变量之间的关系强度，需要计算相关系数。 对于非线性的相关关系，由于比较复杂，因此从略，这里仅介绍线性的相关关系。 线性相关关系的强度是通过线性相关系数来度量的，简称相关系数r。
（1）协方差
图5.2 表示了变量x 和变量y 之间存在相关关系的散点图，它共有n 对数据：
（x1，y1）
（x2，y2）
︙
（xn，yn）
图5.2 x 和y 的散点图
x 和y 的均值为：
把坐标轴移到
和
，于是对于新的坐标，其观测值为：
现在来研究x 和y 每对数据的乘积：
反之，如果观测值落在新坐标的第二或第四象限，则乘积
可以想象，如果变量x 和y 之间存在线性相关关系的话，则其观测点不会平均地分散在四个象限，而只会集中在一三象限或二四象限。 线性相关程度愈强，其集中的程度愈明显。 从数量上来考虑，则上述乘积的总和可以作为线性相关程度的标志。
实际上，协方差的概念是不难理解的。 变量的方差公式为：
它表示变量观测值相对其均值的平均偏差，因此协方差则表示变量x 和y 的观测值相对其各自均值所造成的共同平均偏差。
（2）相关系数r
协方差的数量可以作为变量线性相关程度的度量，但由于它的数值与单位有关，因此不同单位的变量还无法进行比较。 为此，将变量标准化，然后再求其乘积的平均。
取平均有：
这就是样本数据的相关系数r。 对于总体数据而言，相关系数r 为：(www.xing528.com)
但无论是样本数据还是总体数据，相关系数r 都可写作：
可见，相关系数就是标准化了的协方差。 数值上，它等于协方差除以各自标准差的乘积。 相关系数，正如协方差一样，都是度量变量间的线性相关程度的。
将式（5.2）整理后可以得到一个相关系数常用的导出公式：
用式（5.3）计算相关系数r 比用式（5.2）相对简单一些。
为解释相关系数各数值的含义，需要对相关系数的性质有所了解。 相关系数的性质可总结如下：
第一，相关系数r 的取值范围为［－1，1］，即－1≤r≤1。 若0＜r≤1，表明x 和y 之间存在正线性相关关系；若－1≤r＜0，表明x 和y 之间存在负线性相关关系；若r ＝1，表明x 和y 之间为完全正线性相关关系；若r＝－1，表明x 和y 之间为完全负线性相关关系；当r ＝0时，y 的取值与x 无关，二者之间不存在线性相关关系。
第二，相关系数r 具有对称性。 x 与y 之间的相关系数rxy和y 与x 之间的相关系数ryx相等，即rxy ＝ryx。
第三，相关系数r 仅仅是x 与y 之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。 这意味着，r＝0 只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系，它们之间可能存在非线性相关关系。 变量之间的非线性相关程度较大时，可能会导致r＝0。 因此，当r＝0 或很小时，不能轻易得出两个变量之间不存在相关关系的结论，而应结合散点图作出合理的解释。
第四，相关系数r 虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不意味着x 与y 一定有因果关系。
【例5.1】 请计算表4.13 中这10 名学生语文成绩和数学成绩的相关系数r。
表5.2 10 名学生的语文成绩和数学成绩统计表
解 根据表4.13 中10 名学生的语文成绩和数学成绩可得：
根据式（5.2）得：
计算结果表明，这10 名学生的语文成绩和数学成绩间有很强的正相关关系，相关系数为0.913。
【例5.2】 表5.3 列出了10 个家庭的月收入与住房面积数据，请计算月收入与住房面积的相关系数r。
表5.3 月收入与住房面积统计表
续表
根据式（5.3）得：
计算结果表明，这10 个家庭的月收入和住房面积间有很强的正相关关系，相关系数为0.921。
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