方差与标准差在社会统计学中的应用

虽然极差和四分位差能够在一定程度上表明数据的离散趋势，但是它们只给出了数据的分布范围，只利用了数据的部分信息。 两组极差和四分位差都相等的数据分布情况可能差异很大。 因此，对于尺度变量，概括其离散程度最好的特征值是方差和标准差。

【案例】

鳗鱼的公共繁殖场所

20 世纪早期，哥本哈根卡尔堡实验室的施密特（J.Schmidt）发现不同地区所捕获的同种鱼类的脊椎骨和腮腺的数量有很大不同，甚至在同一海湾内不同地点所捕获的同种鱼类也是这样。 然而，鳗鱼的脊椎骨的数量却变化不大。 施密特在从冰岛、亚速尔群岛和尼罗河等几乎分离的海域里所捕获的鳗鱼的样本中，通过计算发现了几乎一样的均值和标准差。

施密特由此推断：各个不同海域内的鳗鱼是由海洋中某公共场所繁殖的。 后来名为“戴纳”（Dana）的科学考察船在一次远征中发现了这个场所。

（1）离差和平均差

离差是变量的某个观察值xi 与变量平均值之间的差，它反映的是个体相对于平均值的离散情况。 若用d 表示离差，则：

平均差则是离差绝对值的平均值，也称平均离差，用D 表示。 如果变量有n 个观察值，则平均差的计算公式为：

平均差虽然能够很好地反映数据的离散情况，但因其中包含绝对值，所以在理论推导中的应用受到限制。

（2）方差和标准差

方差和标准差是用平方的方法消除了离差中的绝对值后形成的统计特征值。 方差是离差平方的平均值，标准差是方差的平方根。 方差和标准差的计算公式为：

其中，xi 为第i 个观察值，表示平均值，n 为变量的总个数。

1）用原始数据计算方差、标准差

在利用原始数据计算方差和标准差时，可直接根据式（3.15）和式（3.16）得到结果。

【例3.9】　5 名学生的身高分别为1.67 米、1.71 米、1.74 米、1.60 米、1.58 米，请计算这5 名学生身高分布的方差和标准差。

即5 名学生身高分布的方差为0.002 64，标准差为0.051 38。(www.xing528.com)

2）用频次分布数据计算方差、标准差

如果原始数据已经整理为频次分布表，可以直接利用频次分布表的数据计算方差和标准差。 设变量有k 个取值，每个取值出现的频次为ni，则计算方差和标准差的公式分别为：

其中，xi 为第i 个观察值， 表示平均值。

【例3.10】　请根据表3.11 的数据计算该年级成绩分布的方差和标准差。

解　由表3.11 可知，k ＝6， ＝69.9。

即该年级成绩分布的方差为27.30，标准差为5.22。

3）用分组数据计算方差、标准差

由于分组表中已经没有了原始数据，可以用每一组的组中值代替该组的变量计算方差和标准差。 因此，用分组数据计算方差和标准差的公式分别为：

其中，bi 为第i 组的组中值，为平均值，ni 是第i 组的频次，k 为组数。

【例3.11】　请根据表3.9 的数据计算居民住房面积分布的方差和标准差。

解　根据表3.9 的数据可知， ＝58.47，其他计算结果见表3.12 所示。

表3.12　居民住房面积分布方差和标准差计算

续表

即居民住房面积分布的方差为494.49，标准差为22.24。