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经典蒙特卡洛模拟法及其应用

时间:2023-08-05 理论教育 版权反馈
【摘要】:Black-Sholes模型的优点是推导出了欧式期权的解析解,计算效率较高,在现在的科技条件下,可以快速实现其定价,因此也多被广大投资者使用。该模型的缺点在于只能对最简单的欧式期权进行定价,而对其他复杂的奇异期权的定价无能为力。(三)蒙特卡洛模拟法目前在期权市场上应用最有效且最广泛的定价方法莫过于蒙特卡洛模拟法,它本质上是一种随机模拟的方法,并不是单纯的衍生品定价的方法。

经典蒙特卡洛模拟法及其应用

结构化产品的另一个主要组成部分是期权合约,期权合约的定价方法可分为两大类:解析方法和数值方法。解析方法是在严格的假设前提下的纯理论推导,例如Black-Scholes模型;数值方法是指当现实条件无法满足严苛的假设前提而无法得到解析解的情况下,也可得到类似结果的方法,例如二叉树定价法和蒙特卡洛模拟法。

(一)Black-Scholes模型

在期权合约定价的解析方法的研究领域中,Black-Scholes期权合约定价理论的发现具有划时代的意义,为之后其他定价方法的推导奠定了基础。其标准形式有如下的前提假设。

(1)选取股票作为期权合约的挂钩资产,且股票价格S符合几何布朗运动,即

其中,S为股票的价格;dS为极短时间内股票价格的变化量;dt为极短时间变动值;dz是均值为0、方差为dt的无穷小的随机变化量;μ为股票价格在单位时间内以连续复利表示的期望收益率;σ是股票价格在单位时间内的标准差,也称波动率,其中μ和σ已知。

设Δt为无限小的时间间隔,Δz为z在Δt时间内的变化值。如果Δt和Δz满足:Δz=,其中ε服从标准正态分布;任何不同时间间隔的Δt和Δz值是相互独立的,则随机变量z的运动遵循维纳过程或者标准布朗运动

(2)在期权合约的有效期内,忽略标的资产的交易成本等成本,并假设期间不分红。市场上标的资产可以分割成无穷多份且允许自由买卖。金融市场是完备市场,可以按照自己的需求以无风险利率r任意借款或者贷款,并且不存在无风险套利的机会。

无风险套利是指在没有风险的情况下,任何人都不可攫取超额利润。在有效的金融市场中,如果出现无套利机会,投资者将立刻买低卖高,即购入理论价格高于市场价格的金融资产,出售理论价格低于市场价格的资产,从而导致这种无风险套利机会的不复存在。在无套利原则假设的前提下,很多结构化产品的定价问题将变得更容易解决。

根据上述约定的假设条件,利用伊藤过程,经过严密的推导,Fisher Black和Myron Scholes得到了如下微分方程

其中,f为期权合约的价格。Black和Scholes对这个微分方程求解,得到了标准欧式看涨期权的定价公式,即著名的Black-Sholes公式:

其中,,C为欧式看涨期权合约的价格;N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数,X为执行价格,T为到期时刻,t为当前时刻。

Black-Sholes模型的优点是推导出了欧式期权的解析解,计算效率较高,在现在的科技条件下,可以快速实现其定价,因此也多被广大投资者使用。该模型的缺点在于只能对最简单的欧式期权进行定价,而对其他复杂的奇异期权的定价无能为力。其次,该模型是在严苛的假设条件下才可以得到,这并不符合实际情况,因为在现实的股票市场上,无风险利率并不是恒定不变的,并且股价一般不服从对数正态分布,从而在股票的理论价格与实际价格间造成很大的偏差。

(二)二叉树模型(www.xing528.com)

Black-Sholes模型是基于严格的前提假设下才可以推导出期权合约的解析解,在现实应用中有很大的局限性,因此为了弥补解析法的不足,期权的数值方法便应运而生,二叉树模型就是其中的一种。

1979年,Cox、Ross和Rubinstein提出了二叉树模型。它假设金融资产在每个时点的价格要么上升,要么下降,并且上升和下降的概率和波动率是一定的,金融资产的价格服从二项分布,并遵循随机过程,市场中不存在无风险套利的机会。二叉树模型运用离散计算的方法,将金融资产价格的变动分割成多期离散时点的组合,模拟出价格变动的路径,根据相应的期权的回报函数计算出每个离散时间点的期权的回报,最后选取适当的折现率对其进行折现,即可得到期权的理论价格。

以股票的看涨期权为例,设定期初股票价格为S,期权合约的执行价格为X,到期时间为一年。利用股票在最后一个节点的价值,计算出此时对应的期权合约的价值,再往回倒算,可以求得上一期的期权价值,以这种方式进行类推,即可得到期权合约的期初价格。当时间间隔较大的时候,最终所得到的期权合约的价格误差也较大。要想提高计算的精确度,就需要缩小时间间隔,当时间间隔无限小的时候,可以得到精确的结果。

二叉树模型的优点是简单易懂,假设条件没有Black-Sholes模型那么严格,更贴近实际,并且可以处理美式期权或者其他奇异期权,利用计算机软件即可得出其定价。其主要缺点是,假设金融资产的价格要么上升要么下降,以及金融资产的历史波动率固定不变,这些假设前提依然是很难满足的。

(三)蒙特卡洛模拟法

目前在期权市场上应用最有效且最广泛的定价方法莫过于蒙特卡洛模拟法,它本质上是一种随机模拟的方法,并不是单纯的衍生品定价的方法。1977年,P.Boyle将此方法运用到欧式期权合约的定价,取得了与Black-Sholes定价模型相近的结果。M.Broadie和P.Glasserman在1996年选取市场上典型的亚式期权,采用蒙特卡洛模拟法对其进行了定价。

蒙特卡洛模拟的主要精髓在于对已知的标的资产价格分布函数对成千上万种可能性的价格路径进行模拟,它是建立在风险中性的前提下的,一般采用计算机程序来完成这一复杂的过程,最后利用风险中性利率对结构化产品的收益进行折现计算出期权合约的期初价值。具体模型如下:

假设在无风险利率固定的情况下,第i次模拟下期权价格为

已知股价的变动过程和概率分布后,就可以通过计算机模拟,产生几千次甚至几万次资产价格的路径,计算期权的到期价值,再假设每一种路径发生概率相等,将所有模拟得到的价值加以平均,便可以得到到期期权的期望值,再以无风险利率折现,便可以得到期权价值。模拟的次数越多,越能涵盖所有未来可能的价格路径,所得到的预期价格越精确。假设模拟次数为N次,则期权价格为

蒙特卡罗模拟法最大的优点在于,灵活多变,应用范围广泛,可对Black-Sholes模型和二叉树模型不能定价的期权合约进行定价,在计算机科技飞速发展的今天,使看上去繁杂的工作量大大减小。它的缺点是,对于有些结构复杂的衍生证券,只有增加模拟次数,定价才能达到较高的准确度,尽量地减小误差。

通过以上对三种主流的期权定价方法的介绍可知:对于简单的欧式期权,或者可以将其拆分为欧式期权的奇异期权进行定价时,可以采用Black-Sholes定价模型;对于附有提前赎回条款的美式期权,最合适的方法是二叉树定价模型,并且计算效率也很高;对于无法通过金融工程方法将其拆分为简单期权的奇异期权,尤其是收益函数复杂的结构,蒙特卡洛模拟法是最理想的定价方式,随着信息科技的发展,其计算速度也大大提高。

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