小学数学课程与教学：数学问题及其基本结构

（一）问题

1.什么是问题

这里所说的“问题”，并不是一般意义下的那种“提问题”的“问题”（question），而是指那种“难题”或者是“任务”的“问题”（problem）。即问题就是个体力图弄清楚或说明的困惑，也是个体力图解决的疑难。或者说，问题就是个体面临的一个不易达到目标的情境。

当代美国著名数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）曾说：问题是数学的心脏。美籍匈牙利著名数学教育家波利亚（G.Polya）也曾给“问题”下了个定义：问题就意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不可立即可及的目标。而《牛津大词典》对“问题”的解释是：指那些并非可以立即求解或较困难的问题（problem），那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。

2.“好”问题的标准

从数学教育的角度看，问题有“好”与“坏”之分。究竟什么是一个“好”的问题，它的标准该是什么？一般来说，一个“好”问题的标准应体现在以下三个方面：

（1）一个“好”问题应该具有较强的探究性。这就是说，好问题能启迪思维，激发和调动探究意识，展现思维过程。

（2）一个“好”问题应该具有一定的启发性和发展空间。启发性是指它或者能启发学生寻找能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用能很快地找到解决问题的途径。此外，还要有利于学生掌握有关的数学知识和数学思想方法。而可发展空间是指问题的本身具有一定的“反思性”。如问题的条件和结论可以作一定的变化，由此可以引出新的问题；或把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形。

（3）一个“好”问题应该具有一定的“开放性”。它首先表现在问题来源的“开放”。问题应具有一定的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接的联系，从而可以使学生体会到数学是有意义的活动，即逐步认识数学的价值。同时，它还包括问题具有多种不同的解法，或多种可能的解答，打破“每一个问题都有唯一的标准解答”和“问题中所给的信息都有用”的传统观念。

（二）数学问题

1.什么是数学问题(www.xing528.com)

数学问题是指人们在数学活动中所面临的、不能用现成的数学经验和方法解决的一种情境状态。数学问题不同于一般的练习题，它是一种情境，它可能有一解或多解，它具有足够的复杂性，能对学生形成一定的挑战。

例如，学生学习了圆面积以后，面临以下问题：图中正方形的面积是8平方厘米，求阴影部分的面积。

由于无法直接用圆面积公式进行解答，对于小学六年级刚学过圆面积的学生来说就构成了一个数学问题。

数学问题具有三个显著特征：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，问题必须能对学生构成挑战或认识上的障碍；二是探究性，即问题的解决常常不能按常规思路去套，迫使学生去探究新的解决方法；三是可接受性，即它能激起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。

图14-1

2.数学问题的基本结构

数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息系统，它主要由以下三种成分构成。

（1）条件信息　条件信息是指问题已知的和给定的东西，它可以是一些数据、一种关系或者某种状态。如计算题中给定的数据和运算符号、应用题中的已知数量和其相互之间的关系等都是数学问题给定的条件信息。

（2）目标信息　目标信息源自于数学问题的本身以及问题解决者的内部经验，因为不仅数学问题本身包含了“求什么”的信息，同时，也可能需要解题者根据问题提供的信息去发现并提出问题。从问题解决过程来看，解题者如果只知道改变问题的初始状态，而对目标状态不够清楚或不了解，就很难通过自己的一系列运算操作去逼近直至达到问题的目标状态。

（3）运算信息　运算在这里是指允许对条件所采取的行动，即可以采取哪些方式把数学问题由问题状态转化成目标状态，它是问题求解的依据。