儿童数学能力发展差异探析

不同的个体其数学能力是有差异的，而这种差异有的有能力层次之分，但更多的却表现出因其策略和方法不同而引起的个性化的非能力层次差异。同时，对每一个个体而言，其数学能力结构又往往是多元的，即在不同的学习领域，显现出的能力也可能有一定的差异性。

（一）儿童数学能力的层次性差异

如果从儿童的数学能力的不同层次上看，大致可以做如下的划分：

1.完善型

主要表现为各种数学能力以及能力品质的某种完善的结合。这种类型的学生在认知学习或问题解决的观察当中，常表现出如下一些特点：

（1）感知数学材料时定向敏捷，能抓住本质，表现出对材料的快速的形式化，即能以很快的速度识别课题的类型，发现问题解决的线索，确定解决的方向。

（2）逻辑推理时表现出敏捷、严密和清晰的特点，并表现出思维的简化的倾向，常表现出思维的直觉性以及顿悟的特点。

（3）抽象活动中对材料的本质把握地较准确，能从多方面或多水平去理解和认识，而概括较迅速和全面，不仅仅是课题本身的数量或形态的特征，还包括问题解决探索的方法与原则等这一级水平。

（4）思维灵活，能不受一些陈腐的观念以及已经形成的、一般的解题方法的限制，常常表现出独特性、新颖性和多样性，在问题解决的过程中，能迅速转换思维序列，能较快地从一种方法延伸到另一种方法。

（5）数学记忆力较强，尤其表现出对符号、关系和位置感的敏感性，能在表征问题情境或分析—综合的思考过程中，很快地并自觉地再现这些本质性的信息。

（6）对数学有兴趣，愿意去钻研和探索，对自己的数学学习能力有信心，能从数学问题解决的过程或结果中获得积极的体验，还表现出常常将数学的知识和方法运用到生活或其他学习中去。

2.一般型

主要表现为其数学的能力在各方面都能体现，但却并不显现出一定的特征。同时，能力水平的各方面成分具有一定的平衡性。这种类型的学生在认知学习或问题解决的观察当中，常表现出如下一些特点：

（1）感知数学材料时，需要用一定的时间，中间可能还会绕一些弯子，但最终往往能独立地或在他人指点下，将对象（关系、特征等）从情境中抽象出来。

（2）逻辑推理基本上能做到按部就班，在他人的帮助下能清晰、严密地完成一个推理过程，但直觉性和独创性稍差。

（3）能从具体的材料中概括出抽象的数量关系，但这种概括还主要停留在对象本身的性质、特征、关系等方面，不能同时概括“抽象过程”的方法、原则或策略等。

（4）能进行有序的思维，但常常表现出不够灵活，在思考过程中，常常会因为其思维的受阻而中断问题解决的过程，即表现出不能很快地从一个思维序列转向另一个思维序列或从一种方法延伸到另一种方法。

（5）能较熟地识记那些由符号语言或文字语言所构成的命题、性质、公式、法则等，但在表征问题情境的过程中，检索出来的信息常常是本质性的与非本质性的交织在一起，说明信息在贮存前的加工不够精细。

（6）如果有外在要求，能在相当一段时间内连续从事数学活动，但并不表现出兴趣和主动性，在问题解决的过程中或结果中，可能会有某种积极的体验，但这种体验往往不能成为进一步主动学习的动力。

3.缺陷型

所谓缺陷型，也称最不完善型。主要表现出数学能力在构成成分上缺乏明显的特征，或在数学学习中呈现出一般智力活动的能力受阻。这种类型的学生在认知学习或问题解决的过程中，常表现出如下一些特点：

（1）观察能力较差，感知较为迟钝，因而常常不能有效地发现并抓住知觉对象的本质特征，即便是在他人的指导和帮助下，也常常不能将对象的本质从情境中分离出来。

（2）较难独立地完成一个逻辑推理，即便是在他人的指导或帮助下，也难以完成一个有序的和清晰的推理过程，因此常常造成判断的错误，表现在概念学习中不能理解，而问题解决过程中无法有效地表征问题情境，在运算中又常常造成许多理解性的错误。

（3）往往在他人的帮助下，也无法从具体的材料中概括出抽象的本质特征，观察、思考和问题解决较多的还是停留在材料的非本质的、外显的特征上面，因而在学习的掌握方面，仅表现出形式上的掌握这样一个特征。

（4）不能独立地进行有序的思维，缺乏系统性、严密性和清晰性，由于理解力和判断力较差，在思维中还常受到对象的无关因素的影响而中断或误入歧途。

（5）即便是在他人的直接指点下，也难以从一个思考过程转向另一个思考过程；

（6）数学记忆较差，尤其是对于由符号语言所构成的那些抽象的概念、性质、规则以及一些策略性知识的识记就更差。

（7）即便是有外在的要求，都不能较长时间从事数学活动，有较明显的思维惰性，对数学没有兴趣，对自己的学习缺乏信心，不能在数学的问题解决过程中或结果上获得积极的情感体验。

（二）儿童的数学能力的非层次性差异

儿童的数学能力更多地表现为能力特长和能力结构以及学习风格等方面的非层次性差异。

1.具有个性特征的数学能力类别^[16]具有个性特征的数学能力的差异性，还可以从不同的角度进行区分。

从数学思维的直觉性看，具有不同个性的数学能力大致可以分为：

（1）分析—逻辑型。学习中表现出逻辑性相对较强，但立体几何的直觉相对较差。

（2）几何—直觉型。学习中表现出逻辑性相对较差，但是有非常鲜明的几何直觉。

从问题解决的对象看，具有不同个性的数学能力大致可以分为：

（1）具体型。学习中喜欢解答各种题目，表现出对各种难题的兴趣，解决方式有特点。

（2）抽象型。学习中喜欢做一些推理型的题目，而且表现出在这方面思考的严密性。

从知觉的方式看，具有不同个性的数学能力大致可以分为：

（1）分析—批判型。学习中表现出对材料的知觉有较强的分析能力，能知觉细节，但缺乏整体性；

（2）综合—概括型。学习中表现出对材料有整体性的知觉能力，但常常会在分析中忽视细节。

2.在结构类型中所表现出的差异^[17]

数学能力的差异性往往还表现在其能力结构的差异性上面。有学者曾对这种能力结构的差异做过如下的区分：

表4-3

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3.在数学学习风格中的所表现出的差异

一般认为，所谓学习风格，是指学习者持续一贯的带有个性特征的学习方式，是学习策略与学习倾向的总和。因此，它不仅包含学习方法，还包含学习情绪与态度以及对学习环境和内容的偏爱等。

关于学习风格的构成要素，许多研究者都提出了自己不同的见解^[18]，如有的人将学习风格的构成要素分解为环境、情绪、社会、生理和心理五大类。有研究者则简单地将其分解为生理、心理和社会三大要素。

所谓生理要素主要指个体对外界环境的一种特殊的适应性。如有的人对某些刺激比较敏感，而有的人则对另外一些刺激比较敏感；而所谓心理要素主要指学习者的认知、情感和意动三个方面。如，有的学习者在认知过程中场依赖性较强，而有的学习者则在认知过程中表现出场独立性较强。所谓社会要素，主要是指学习者与同伴学习过程中所表现出来的差异性。如，有的人喜欢小组合作的学习，而有的人则喜欢独立学习等。

有人将在数学活动中所表现出来的数学风格，按照不同的个性组合，提出了数学学习活动中的四个纬度的八个不同的个性特征，并由这些特征的不同组合就可以构成不同的数学学习风格的差异性^[19]。

例如，有的人属于内向的，但是常喜欢尝试用新方法解决问题，而且对材料的外在特征感兴趣，并喜欢先行动；有的人表现为外向的，却喜欢通过思考获得新信息，感知常从细节入手，通过逻辑分析得出结论；有的人表现为内向的，但却喜欢小组式的口头交流，感知常从整体入手，通过感觉判断得出结论，常觉察不到需要哪些新对象；等等。

（三）儿童数学能力发展差异性与小学数学教学

从对儿童数学能力发展的层次性差异、非层次性差异以及学习风格差异的分析，以及构建有效的小学数学教学策略来看，可以获得这样一些启示：

1.教学的因人分层

因为不同的个体其数学能力的发展在结构上有差异，所以，因人而异、分层教学是一种非常有效的策略。例如，在设计和实施教学活动的时候，针对不同的内容和要求，就可以采用不同层次、不同类型和不同风格的学生同组学习，使其在能力上获得某些互助和互补。又如，在设计和布置各种数学任务（像课堂练习、回家作业等）时，就可以采用水平分级的方式，即给出多套不同水平的任务，以供不同层次或不同类型的学生选用。

2.评价的因人分层

因为不同的个体其数学能力的发展在类型上有差异，因而在学习中，有的学生表现为语言-逻辑成分占优势，而有的学生表现为视觉-形象成分占优势，故要针对不同的学生运用不同的学习要求和评价标准。例如，学习长、正方形面积计算公式时，有教师曾出示下图：

显然，教师的本意是让学生通过对这四个图形数单位面积的方式来观察其面积计算方式与数单位面积之间的关系。

学生甲：“我先用尺将这些缺的线补上（边说边用尺在补），然后来数，我发现每一排有5个（边用手指着第一排，边出声地数了一遍），有3排（边用手指比划着），因此一共有15个小正方形，也就是有15平方厘米，（接着，在教师的引导下将话说完整）因为每个小正方形是一平方厘米，所以……”。

学生乙：“这里每一排有5个小正方形……”教师打断她的话：“你怎么知道是5个？”（学生毫不犹豫并抬头看着教师）“我数出来的（而实际上并没能看到她数的过程），有这样的3排（手指并没有做任何的比划），所以，共有‘三五十五’个小正方形，也就有15平方厘米。”

首先，对学生甲来说，可能较多的是属于几何—直觉型或称具体型抑或分析—批判型，其结构类型可能较多地是属于几何型，至少是属于形象—调和型的；对于学生乙来说，可能较多的是属于分析—逻辑型或称抽象型抑或综合—概括型，其结构类型可能较多的是属于分析型，至少是属于抽象—调和型的。

其次，无论学生甲抑或学生乙，他们的学习风格是不同的，认知的方式上是有差异的，但是，至少从本案例看，他们之间没有明显的层次之分，即无法评定哪一种学习风格或认知方式的层次要高一些。因此，教师并不能从他们不同的学习方式去简单地判断谁更聪明些。

理解·反思·探究

1.小学数学知识以及与之相应的学习可以进行怎样的分类？

2.对小学数学学习按不同的水平层次可以进行怎样的分类？这些分类对实现课程价值有哪些意义？

3.儿童数学认知学习有哪些基本的特点？儿童数学认知发展的基本规律又有哪些？认识这些基本特点和基本规律，对实现小学数学课程价值有哪些意义？

4.通过临床观察的方法，尝试对儿童数学认知能力的非水平差异设计一些有价值的案例并进行案例分析。

【注释】

[1]GagneED.教学心理学：学习的认知基础.岳修平译.台北：远流出版社，1998.483～484

[2]简明国际教育百科全书.课程.北京：教育科学出版社，1997.321

[3]孔企平.小学数学教学的理论与方法.上海：华东师范大学出版社，2002.72

[4]孔企平.小学数学教学的理论与方法.上海：华东师范大学出版社，2002.70，75

[5]孔企平.小学数学教学的理论与方法.上海：华东师范大学出版社，2002.70，75

[6]弗赖登塔尔.数学教育再探.上海：上海教育出版社，1999.134

[7]弗利德曼.中小学数学教学心理学原理.北京：北京师范大学出版社，1987.50

[8]孔企平.小学数学教学的理论与方法.上海：华东师范大学出版社，2002.65

[9]弗利德曼.中小学数学教学心理学原理.北京：北京师范大学出版社，1987.194

[10]刘京莉.数学实践.北京：人民教育出版社，2003.74

[11]梁镜清.小学数学教育学.杭州：浙江教育出版社，1992.61

[12]R.J.斯腾伯格.超越IQ——人类智力的三元理论.上海：华东师范大学出版社，2000.9

[13]克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学.上海：上海教育出版社，1988.29

[14]克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学.上海：上海教育出版社，1988.112

[15]李境流.教育心理学新论.北京：光明日报出版社，1987.221

[16]克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学.上海：上海教育出版社，1988.229

[17]克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学.上海：上海教育出版社，1988.389

[18]邵瑞珍.教育心理学.上海：上海教育出版社，1997.261

[19]邵瑞珍.教育心理学.上海：上海教育出版社，1997.268