小学数学课程与教学：数学性质及其重要性

要回答数学的性质属性，需要从数学的产生与发展，以及数学所刻画的对象特征来进行考察。

（一）数学是如何产生的

假如我们简单的去考察一下数学的历史，就可以看到它的发展存在着两个起点。

1.以实际问题为起点

首先，数学的产生是以实际问题为起点的，即为了适应人类了解客观存在的内部性质并用以解决实践上的问题的需要。例如，人类在生产与生活中，需要对一些事物进行量的刻画和描述，于是，“数”就产生了；又如，人类在生产与生活中，需要对一些对象进行集合意义上的合并与分解，于是，四则运算就产生了；再如，人类在实践中要研究某些抛物体的运动轨迹，需要用图形来描述从而帮助分析，但如何作出这些曲线图形呢？笛卡儿就用代数方法来研究这些曲线的特点，于是解析几何就产生了。

2.以理论问题为起点

其次，数学的产生是以理论问题为起点的，即为了适应人类了解思想存在的内部性质，用以解决理论上的问题的需要。例如，5世纪的普多克罗斯（Pudkylos）注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此，必定存在着个数是两倍于直径的半圆。而伽利略却注意到，每个正整数与它的平方能建立一一对应的关系，而这些正整数平方的集合应是正整数集合的真子集，这样就构成了一个整体和它的部分相等的悖论（史称伽利略悖论）。为了解决这个悖论，康托尔等作了研究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。

当然，数学的最初起点还是现实世界，它更多地来自于人类的问题提出和问题解决，是人类对现实世界的最本质和最一般的反映。超越现实世界的数学的产生，其目的还是为了获得对现实世界更合理、更准确的最一般反映。(www.xing528.com)

（二）数学研究的对象

那么，这个更合理、更准确的最一般反映又是什么呢？也就是说，数学试图研究的对象究竟是什么呢？或者说，数学是什么？

数学是什么？多少年来，人们一直试图从哲学的层面思考这个问题。追溯到公元前4世纪，柏拉图及其学生亚里士多德等就认为，数学的对象就是存在于思想之外的客观世界。一直到19世纪中叶，非欧几何的确立，促使人们认识到，数学除了存在于客观的外部世界之外，还存在于人类的头脑中。因为它表明了人类在头脑中构造新的数学的能力。于是，数学开始逐渐摆脱对现实世界（实验的或感觉的）依赖性，走向对逻辑体系的依赖。

恩格斯曾对数学的属性作过如下的描述^[1]：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一种科学。显然，数学是一门人类认识客观现实世界的本质，反映客观世界的事实与规律的科学。因而数学也就是一门抽象的、普遍的、形式的、客观的、理性的和理论的科学，一门包含着一整套理论知识体系以及与之相适应的思想方法论体系的科学。

近来，随着科学的发展，人们逐渐发现，数学是一门既研究空间形式，又研究空间关系的科学；也是既研究数量关系，又研究数量形式的科学。于是，关于数学的本质属性，有学者认为，不妨借鉴苏联的《哲学百科全书》中的解释^[2]，对什么是数学作如下回答：数学是一门撇开内容而只研究形式和关系的科学，而且主要是研究数量的和空间的关系及其形式。一般说来，数学的研究对象可以是客观现实中的任何形式或关系，只要这些关系和形式在客观上能完全独立于它们的具体内容，而又能精确地表达它们的概念。因此，数学就可以定义为逻辑上可能的、纯粹的（即抽去了内容的）形式科学，或者说是关于关系系统的科学。

因此，我们似乎就可能获得这么一个简单的结论：数学是研究存在的（或称客观的、现实的）形式或关系的科学，即是对现实世界的研究。同时，数学还是研究思想的（或称主观的、先验的）的形式或关系的科学，即是对思想世界的研究。

此外，从数学的产生与发展历史看，数学还具有这样几个性质^[3]：其一，数学的对象是由人类发明或创造的；其二，数学的创造源于对现实世界和思想世界研究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个不断发展的动态体系。