1.正确理解和掌握数学概念
要知道,数学是一个有机的整体,学好数学,就一定要加强知识整体结构的思考。学习时既应看到局部,又要看到整体,要摸清理论的主线和支线,探索知识的内在联系。
有了这个框架图,遇到习题“若关于m的不等式COS2=2mSinθ-2m-2＜0恒成立,求θ的范围”,很愉就会联想到解此题应借助函数。
对相近的概念要用对比法研讨,找出共性和个性。
对重点概念则要通过思考做更深入的理解:内涵和外延是什么?从数量关系(或图形关系)上分析,它的本质是什么?在理论发展和应用上有什么作用?对公式还应分析出公式的结构特征,公式中每个字母、符号的意义,公式的来源和适用的条件及可能的变形。这样,你运用概念时才能得心应手。
2.学习数学的方法
你在学习数学时,常用哪些方法呢?
学习数学必须掌握前人在得到这些知识时发现的数学思想和方法。这一点正是学习中最本质的内容,它比单纯掌握知识更重要。然而,书上对这些涉及得甚少或根本不写,这就需要你把它们挖掘出来。例如组合种数公式的推导,运用了化归思想、方程思想、等价变换思想,这些对解决新的数学问题起着指导思考方向的作用。
常用的数学思想方法有思维方法,如分析与综合,抽象、概括与具体化,演绎与归纳,类比、联想与猜想;也有哲学方法,如一般与特殊关系,共性与个性关系,运动变化地观察问题与转化的思想;还有数学通法,如换元法、等定系数法、消去法、参数法、数形结合法、反证法。掌握了这些方法,不仅对你解决更深层的数学问题有益,而且还有助于你涉猎其它学科。
3.形成数学观念
你能用数学课上学到的思维方法去考虑问题吗?
在解决数学问题过程中,还要培养自己的数学观念系统。数学观念系统即数学基本思想、基本方法和基本态度所构成的认识系统,它表现为用数学的思维方式考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯。例如,推理意识、转化意识、整体意识、化归意识、分类意识以及数学的严密性要求我们在学习时所具备的严谨态度等等都是数学观念的重要组成部分。数学观念系统在解决数学问题中起监控作用。例:
设对所有实数X,不等式
恒成立,求a的取值范围(1987年全国高考试题)。
由求a取值范围联想到本题仍然是解不等式问题。
严谨的态度使我们首先考虑到
运用知识解决问题的意识使我们列出不等式(www.xing528.com)
化归的意识使我们把对数不等式化归最常用的一元二次不等式:用换元法,设
,则原不等式化为:
y2-(Log2 8-y)(-2y)＜0。
转换意识使我们把“或”,“且”数学语文转换为不等式组从而得到本题答案:0＜a＜1。
在数学观念监控下,数学问题由一般性解决(明确解题大体方向,如本题需解不等式)到功能性解决(明确解题的基本数学方法和策略,如本题运用化归意识,换元法等),再到特殊性解决(明确解题具体方法、技能和程序,如本题运用因式分解等)。
4.培养自己的数学能力
你知道数学能力包括哪些因素吗?
在数学学习过程中要培养出正确、迅速的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及观察力、记忆力、抽象概括能力,运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。
为此,我们提倡学习数学的主要学习方法是探索研究。要探索概念的形成过程,探索数学问题的提出,探索结论的推导,探索方法的思考,探索规律的被揭示。不仅如此,还要敢于突破书本的局限,提出自己的见解和猜测。
在探索研究中,要多提问题,自觉强化提问题的意识。要分析问题,多角度、多方面去考察,甚至放在更广手空间探索,发现规律,从而建立一些理论性的结论。
不仅在学习知识、发展知识上探索,还要研究怎样才能培养出各种能力。
例如,通过合理运算、适时瞬检等途径培养正确、迅速的运算能力;通过概念概括、运算概括、数学思想方法概括、数学模式概括、知识结构概括等提高抽象概括能力。
为了培养分析问题、解决问题的能力,你应当学会一题多变,一题多解,一理多用,通过发散思维的训练,培养自己思维的灵活性、敏捷性、独立性、创造性;同时还要概括出多变、多解、多用中共同的东西,通过聚合式思维的训练,培养自己思维的目的性、概括性、深刻性。
请学习了不等式证明的同学用五种不同的解法(允许在独立思考基础上进行讨论)解下面习题:
RtΔABC周长为定值1,求面积S的最大值。
获得五种解法后,再概括出共同的东西。然后想一想:这样做,对我们前面提提出的概念、方法、观念、能力是否有益?
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