勾股定理的证明及应用

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC　为一直角三角形，其中A为直角。从A　点画一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

一、辅助定理

1．如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）

2．三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

3．任意一个矩形的面积等于其两边长的乘积。

二、证明思路

把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

三、证明步骤

1．设△ABC　为一直角三角形，其直角为∠CAB。

2．其边为BC，AB　和CA，以这三边为正方形的边依序向外作正四方形CBDE，BAGF和ACIH。

3．画过点A　之BD，CE　的平行线。此线将分别与BC和DE相交于K，L。

4．分别连接CF，AD，形成两个三角形△BCF，△BDA。

5．∠CAB和∠BAG都是直角，因此C，A和G是共线的，同理可证B，A和H共线。

6．∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。

7．因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD和△FBC全等。

8．因为A，K和L在同一直线上，所以正方形BDLK的面积是△ABD面积的2倍。(www.xing528.com)

9．因为C，A和G在同一直线上，所以正方形BAGF的面积是△FBC面积的2倍。

10．因此，四边形BDLK的面积和正方形BAGF的面积相等，SBAGF＝AB2。

11．同理可证，四边形CKLE的面积和正方形ACIH的面积相等，SACIH＝AC2。

12．把这两个结果相加，AB2＋AC2＝BD×BK＋KL×KC。

13．由于BD＝KL，所以BD×BK＋KL×KC＝BD×（BK＋KC）＝BD×BC。

14．由于CBDE是个正方形，BD＝BC，因此，AB2＋AC2＝BC2。

此证明是欧几里得《几何原本》一书第1．47节所提出的。由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到19世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

四、定理应用

较早的应用案例有《九章算术》中的一题：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？（葭：初生的芦苇，“尺”“丈”为旧制长度单位）

用现代语言表述如下：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有一尺，如果把芦苇拉向岸边，则恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的高度各多少？（1丈＝10尺）

（答案在第五讲）

第十一讲答案：

1．C。

2．将最下面一排左右两个球移至第二排左右，使这一排变成4　个，再将上面第一排的那个球移至最下方中央即可。