小学数学教学方法创新研究及应用

数学教育学涉及数学、教育学、心理学、哲学等多个学科，是一门新兴的、综合性的交叉学科。它真正成为一门独立的学科，并形成其理论的研究是在20世纪60年代以后，迄今还没有形成公认的数学教育理论。

国外对数学教育理论形成有影响力的人物当属数学教育的创始人弗赖登塔尔和波利亚。尽管他们的教育理论还不成熟，但都对数学教育实践产生了很大的影响。

（一）弗赖登塔尔的数学教育理论及其在小学数学学习中的应用

弗赖登塔尔是荷兰著名的数学家和数学教育家。他在长期的数学教育研究实践中，逐步形成了适应儿童心理发展，符合教育规律，经得起实践检验，并且有自己独特风格的数学教育思想体系。他在数学教育理论研究方面的主要成果为现实数学教育理论和数学教学原则。

1.现实数学教育理论

这个理论具有五个基本特征：①情境问题是教学的平台。②数学化是数学教育的目的。③学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分。④互动是主要的学习方式。⑤学科交织是数学教育内容的呈现方式。这些特征又可以用三个词加以概括，即数学现实、数学化、再创造。

（1）数学现实

数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，这是它的基本出发点。

在运用现实的数学进行教学时，必须明确认识以下三点。

第一，数学的概念、数学的运算法则以及数学的命题，都是因为自然世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。数学的过去、现在、未来都是属于现实世界和社会的。因此，数学的教学内容来自现实世界，把那些最能反映现代社会生活需要的基本、核心的数学知识和技能作为数学教育的内容。

第二，数学研究的对象是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式。而现实世界的事物、现象之间又存在着各种各样的关系。从而，数学教育的内容就不能仅仅局限于数学内容的内在联系，而应该涉猎于其他学科之间的联系。例如，在小学数学学习数的大小时，就不能只教学生用数学方法进行数量比较，而是要把数量关系运用到实际生活中去，让学生从实际生活中去感受数的大小。这样才能使学生一方面可获得既丰富多彩又错综的现实的数学内容，掌握比较完整的数学体系；另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用到现实世界中去。

第三，数学教育是为不同的人提供不同层次的数学知识，每个人都有自己的一套数学现实。数学教学必须从学生的数学现实开始，现实在不断地扩展，教师的任务就在于确定各类学生在不同阶段所必须达到的数学现实，并随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，了解并掌握学生所实际拥有的数学现实，从而据此采取相应的方法，予以扩展，予以丰富，以逐步提高学生所具有的数学现实的程度并扩充其范围。数学教育本身也应该是以这些不同的数学现实为基础构建的课程体系，并通过这些课程不断地扩展每个人的数学现实，使每个人在数学上都能获得最大的发展。

在数学现实的思想里，弗赖登塔尔还主张把客观现实材料和数学知识融为一体，使数学教学过程经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力的培养。例如，在教学小学数学加法时，有很多不同的实际途径引入，例如，可以通过公共汽车经过各个停靠站时上下车的人数来说明。假定汽车里原来有5个人，在第一个停靠站上来了3个人，在第二个停靠站又上来了2个人等，这时汽车里人数就分别是（5+3）个，（5+3+2）个。这样小学生就可以自己形成加法的概念，并找出加法运算的规律。在这里乘公共汽车就是小学生所接触过的“现实”，自然数2、3、5就是他们拥有的现实数学知识，教师就是根据这两方面的“现实”，帮助学生学习加法这一现实的数学知识，并用这些知识扩充学生的数学现实。

其实，根据小学生的数学认知特点，最需要的就是借助于现实来理解掌握数学知识，在数学的教学中，应提供给学生各自的数学现实内容，即学生自己的数学。通过现实的数学教学，学生就可以通过自己的认知活动，构建数学观，促进数学知识结构的优化。

（2）数学化

弗赖登塔尔认为数学化就是人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程。数学化是一种由浅入深、具有不同层次、不断发展的过程。它具有两个维度的特征：一个是水平数学化，就是从“生活”到“符号”的转化过程，即从背景中识别数学—图式化—形式化—寻找关系和规律—识别本质—应用到已知的数学模型（现实经验的）；另一个是垂直数学化，就是从低层到高层数学化的过程，即猜想公式—证明一些规则—完善模型—调整综合模型形成新的数学概念—一般化过程（现实的、经验的）。当然这两个过程是不能分开的，而是交错在一起的。

除了认识数学化的过程，还应该了解数学化的对象。数学化的对象包括数学本身和现实客观事物。对数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者是数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。对客观事物的数学化，形成了数学概念、运算法则、规律、定理以及为解决实际问题而构造的数学模型等。需要强调的是，数学化是一个过程，是从一个问题开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由解决问题到更进一步应用的一个教育全过程，而不是方程、函数等之类的具体的数学素材。通过一个充满探索的过程去学习数学，可以让已经存在于头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，让学生从中感受发现数学的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识，从而达到素质教育的目的。

（3）再创造

再创造是指探索前人发现问题的过程，通过做数学再现数学新知识的发现过程。学生再创造学习数学的过程实际上就是一个做数学的过程，这是目前数学教育的一个重要观点。它强调学生学习数学是一个经验理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的再创造，其核心是数学过程再现。这要求教师设想你当时已经有了现在的知识，你将怎样发现那些成果；或者设想一个学生学习过程得到指导时，他应该是怎样发现那些成果的。当然，这不是简单地由学生本人把学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，也不是简单的教师指导下的学生活动，而是通过教师精心设计，创造问题情境，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行组织的学习方式。这对于新课程改革下强调培养学生创新能力有很好的借鉴意义。

2.数学教学原则及其在小学数学学习中的意义

弗赖登塔尔归纳的数学教学原则主要有数学现实原则、数学化原则、再创造原则三个原则，这是与他的数学教育理论相对应的。

（1）数学现实原则

数学现实原则是指用数学知识来解决现实中的问题，它包含两层含义：一是指教师要将客观现实与学生的数学认识统一起来，即教育要根据学生的数学现实进行；二是指教师要将客观现实材料与数学知识现实融为一体，即教学过程要让学生经历从现实背景中抽象出数学知识的过程。

在数学教学中可以通过设计与现实生活密切相关的问题，帮助学生认识到数学与生活有着密切联系，学会用数学知识去解决实际问题。数学教育的任务就在于，随着学生所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的数学现实，并且根据学生实际拥有的数学现实，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的数学现实的程度并扩充其范围。通过这样的过程，数学教育将随着不断扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正像数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。例如，通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法并找出运算规律；借助从商店出售各种牌子、不同规格的商品所获得的利润计算引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则等。

（2）数学化原则

数学化原则是指从实际问题中抽象出数学知识。它有三层含义，一是在教学中要让学生通过直观与抽象结合，通过不断观察、比较、归纳和实践，提高数学知识水平，掌握数学技能与方法；二是要针对学生所处的不同数学化水平有的放矢；三是人类所要学的不是作为一个封闭系统的数学，而是作为一种活动，作为一个从实际问题出发的数学化过程，如果需要的话，也包括从数学概念出发的数学化过程。

遵循数学化原则可以培养学生从实际问题中抽象出数学问题的抽象思维能力，学会数学思维，进而提升学生的数学素养。回顾历史上最早的传统数学教育，其做法就是教师通过机械的途径，将各种结论灌输下去，学生被动地接受这些结果，死记硬背，机械模仿，不知道它的来龙去脉，所获得的是知识的形式堆砌，既不考虑它有什么用处，也不问它们互相之间是否有内在联系，可以说很少包含数学化的成分。之后数学教育逐渐有所进步，人们比较多地考虑到实际的经验，也建立了不少现实的模型，从而进入了经验的途径，即较多地顾及水平的数学化，使所获得的数学知识具有一定的实用价值，可以解决一些客观现实中的问题。

为了纠正上述偏向，以布尔巴基观点为代表的“新数学”运动的做法，就采用了构造的途径，强调数学的演绎结构，重视逻辑推理的论证，试图以结构主义的思想来组织整个数学教育，以提高抽象的逻辑思维水平，把形成严谨的演绎结构体系作为唯一的目标，从而又由一个极端走向了另一个极端，忽视了数学的现实性，忘却了数学教育的根本目标还是要为现实世界服务，而且一味追求抽象，强调严谨，这也不符合教学规律与认识规律。

从历史的经验教训中，我们应该得出这样的结论，那就是数学教育的正确途径应该是现实的数学化途径，我们所需要的课程体系应该全面体现数学化的正确发展，既要强调现实基础，又要重视逻辑思维；既要密切注意数学的外部关系，也要充分体现数学的内在联系，要能将两者有机地结合在一起，那才是数学教育所必须遵循的正确路线。(www.xing528.com)

（3）再创造原则

再创造原则是指数学过程再现，是弗赖登塔尔针对传统教学中“将数学作为一个现成的产品来教”“只是一种模仿的数学”而提出的一种教学原则。

再创造原则对小学数学的意义有：首先，通过做数学所得到的知识与能力比听教师讲理解得更透彻、掌握得更快、善于应用而且记忆保持长久；其次，发现是一种乐趣，通过再创造来进行学习能够引起学生的数学兴趣，并激发数学学习动力；最后，通过再创造方式进一步促进学生形成数学教育是一种人类活动的看法。

日常生活中，像“狗”“椅子”等概念，都不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念。数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通过学生的实际感受而形成概念。以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行四边形图形或是实际例子，告诉学生这些就是平行四边形，让学生自己进行比较、分析、研究，在经过反复地观察与思考后，他们就会发现平行四边形的许多共同性质。例如：对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等；接着就会发现这些性质之间的联系，可以由一个性质出发推出其他的性质，在教师引导与学生间相互讨论的基础上，学生不仅掌握了平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及各种相关性与等价定义的概念，也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念，对定义的必要性与作用都会有更深体会，通过这样的再创造方式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多。

当然，每个人有不同的数学现实，每个人处于不同的思维水平，因而不同的人可以追求并达到不同的水平。一般说来，对于学生的各种独特的解法，甚至不着边际的想法都不应该加以阻挠，要让他们充分发展，充分享有再创造的自由，甚至可以自己编造问题，自己寻找解法。从教师的角度，应该在适当的时机引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的创造活动逐步由不自觉或无目的状态发展为有意识有目的创造活动，尽量促使每个人在所能达到的水平上尽可能地提高。总之，弗赖登塔尔的数学教育思想与新课程改革强调的以学生为主体，发挥学生自主学习的能力，培养学生发现问题，解决问题的能力，提升学生创造精神是完全吻合的。因此，弗赖登塔尔的数学思想对我国小学数学学习的研究具有借鉴意义。

（二）波利亚的解题理论及其在小学数学学习中的应用

乔治·波利亚是一名国际公认的数学家，他的主要成就是在数学教育中怎样解题这一研究上。

1.波利亚的解题理论

（1）解题

波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事。因此在教学中，教师最主要的任务应该是发展学生解决问题的能力。为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（即有助于发现的发现方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书，该书于1948年出版，风靡世界。其中怎样解题表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典的解题思维方法，而怎样解题表也是波利亚的解题理论核心内容。

（2）怎样解题表

怎样解题表主要由四步构成，且四个部分是层层递进的。其分别是了解问题、拟订计划、实现计划、回顾。

第一，了解问题。包括：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？可能满足什么条件？画一个图，引入适当的符号，把条件的各个部分分开。

第二，拟订计划。包括：你以前见过它吗？你知道什么有关的问题吗？这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？回到定义，你若不能解决这个问题，试先解一个有关的问题。你能想出一个更容易着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？你能解决问题的一部分吗？你用了全部条件吗？

第三，实现计划。包括：实行你的解决计划，校核每一个步骤。

第四，回顾。包括：你能校核结果吗？你能校核论证吗？你能用不同的方法得出结果吗？你能运用这个结果或方法到别的问题上吗？

波利亚注重对学习者思维能力培养，解题是培养学习者思维能力的一个重要途径，而数学学习又是对思维能力要求特别高的活动。教学生发现问题，进而解决问题，才是学习数学的关键和实质。数学课程标准中也提到，学生在数学学习中要学会学习、学会思考、学会解决问题。因此，波利亚的解题步骤使学生学会如何发现、分析及解决问题，是值得借鉴的。

2.解题理论对小学数学学习的影响

（1）有利于提高学生的思维能力

在波利亚的解题理论中，四个步骤的设计非常紧密，逻辑性很强，层层深入，处于形象思维阶段的小学生在数学学习中，经过这种层层剖析的发现解题法的训练，将会大大提升他们的数学思维能力。

（2）有利于提高学生的数学素质

波利亚认为，任何学问都包括知识和能力两个方面。对于数学，能力比起仅仅具有一些知识来说重要得多。因此，数学教学的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾越的鸿沟。要想有重大的发现，就必须重视平时的解题，因此平时解题训练的目的在于提高学生的数学素质。

（3）有利于提高学生独立探索的能力

从教育心理学角度看，怎样解题表的确十分可取，利用这张表教师可行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和进行创造性活动的能力。波利亚在主张学习探索时，有个主要特点就是变更问题，启发灵感，在他看来，解题过程就是不断变更问题的过程。事实上，怎样解题表中许多问题和建议都是直接以变化问题为目的的，如：你知道与它有关的问题吗？你能不能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题？你是否见过形式稍微不同的题目？你能不能用不同的方法重新叙述它？你能不能想出一个更容易着手的有关问题，一个更一般的题，一个更特殊的题，一个类似的题？你能否解决这道题的一部分？你能不能从已知数据中导出某些有用的东西？能不能想出适于确定未知数的其他数据？你能改变求未知数或已知数，必要时改变两者，使新未知数和新已知数互相更加接近吗？如果对问题不进行变化，那么做题过程中是不会有什么进展的。因此，波利亚训练培养的是学生的独立探索能力和思考问题、分析问题的能力。

【注释】

[1]赵瑾.基于课程标准的小学数学教学设计指南[M].长春：吉林人民出版社，2020.

[2]王晓燕.小学数学教学方法与探究[M].成都：电子科技大学出版社，2015.

[3]杨海鹏.小学数学教学技能研究[M].开封：河南大学出版社，2015.