小学数学学习：理论对方法创新影响

数学学习是一个具有抽象性和逻辑性的过程，在对小学数学学习的研究上就必然要以学习理论为指导。本节主要阐述行为主义、认知主义、建构主义、人本主义几种学习理论及其对小学数学学习的影响。

（一）行为主义学习理论及其对小学数学学习的影响

行为主义产生于20世纪初的美国，是在美国进行的一场心理学革命。行为主义反对传统心理学的观点，重视对人的行为进行研究，同时主张心理学不应只是研究人脑中的意识，而应去研究那种从人的意识中折射出来的人的行为。该理论认为，具体的行为反应取决于具体的刺激强度，因此，他们把刺激—反应作为解释人的一切行为的公式。本节主要谈桑代克和斯金纳的学习理论及其对小学数学学习的影响。

1.桑代克的试误论

在行为主义学习理论中对小学数学学习产生影响的比较典型的理论是桑代克的试误论。

（1）试误论

桑代克通过动物迷箱实验，提出了“刺激—反应”联结学说。他认为动物在这个不断地“刺激—反应”的试误过程中，可以表现出一种理智和创造性的行为，而人类学习也是在这种无意识下形成“刺激—反应”的联结过程。也就是在学习中，学习者对情境所引起的反应又是学习者在情境过程中不断尝试错误和改正错误的结果。在数学学习中，桑代克就主张用训练和练习的方式学习数学，即在不断训练、练习的过程中让学生不断尝试错误、改正错误。同时他还经过长期的实验研究和理论分析，提出了三条基本的学习律：准备律、练习律、效果律。

第一，准备律。桑代克认为学习者是否会产生学习的动机，完全跟学生是否做好准备有关。例如，当学生被要求解答“6+7”这样一个式子时，学生可回答“13”“42”。如果在学生回答“13”时给予强化，那学生很快就习得了做加法的准备或心理定式。由此，对于学习准备本身来说，也可以是在学习情境中所获得的。

第二，练习律。练习律是指反应重复的次数越多，“刺激—反应”之间的联结便越牢固。它主要包括使用律和失用律两种形式。桑代克认为一个已经形成的可变联结，如加以应用，力量则会变强，就是使用律；如不加以应用，力量变弱，就是失用律。在数学学习中，教师讲解完某一定理或概念时，就要适当地安排一些练习，反复训练，使学生能更好地理解和掌握这一概念定理。

第三，效果律。效果律是三大基本学习律中最核心的部分。在后来，桑代克把准备律和练习律都归为效果律的从属原则。效果律主要是指当反应对环境产生某种效果时，学习才会发生。凡是带来满意结果的行为会被加强，而导致烦恼不如意时，行为就会被削弱。效果律也包括正强化律和负强化律，即奖励和惩罚都可以用来控制行为，不过后来桑代克进行了修改，认为从效果看，赏罚不能等同，赏比罚力度更大，由此发现效果扩散律，也就是奖励不仅增加了受奖反应的重复率，还能增加邻近反应的重复率。在数学学习中，当学生能正确作答时，教师应及时给予肯定，增加学生成功的体验。如果学生不能很好地解决问题时，也不要盲目地指责和批评，要帮助学生一起找失败的原因，给予鼓励，增强学生的信心。

（2）试误论对小学数学学习的影响

桑代克的学习理论多出自动物实验，由动物推及人类，因而这种理论存在机械主义倾向，忽视了人类学习的主观能动性。但是他的学习理论对小学数学学习还是有一定的指导意义。试误论就是让小学生的数学学习有一定的尝试错误的过程，不过是有目的、有意识的。比如，小学生在做数字魔方填写时，不会一次就完全正确，在这个过程中，学生会用许多数字去试填，失败了就继续换，直到填写正确，把数字魔方完整地填写出来。其实这种尝试错误的学习方法，不仅获得了问题解答，而且也能从中得到解决问题的经验。当然不是每个数学题都会用到不断尝试错误的方法，它也有一定的局限性。除此之外，效果律对于培养学生学习情绪，引发学生学习动机是有积极意义的；练习律在概念、法则、原理学习后强调练习、训练等方面也是值得借鉴的。

2.斯金纳的强化学习理论

（1）强化理论

无论是桑代克的试误理论，还是巴甫洛夫的经典条件反射理论都曾提到过强化，但是真正对强化进行全面系统研究的则是斯金纳。斯金纳认为，任何能够提高一个特定反应出现概率的事物就是强化，强化在有机体条件反应的形成中起着关键作用，强化决定了动物的行为是否会发生变化，新的行为模式要练习多次才能形成，以及形成后能保持多久。强化是斯金纳学习理论的核心概念。

强化按其形式分，可以分为正强化和负强化。正强化又称积极强化，是一种积极的刺激，它跟随在有机体行为之后出现，能够提高该行为再次出现的概率。用作正强化的刺激物有食物、水、表扬等。简单地说，正强化就是通过对正面强化物给予，引起积极行为增加。在学校中，正强化表现为教师对学生良好的行为给予及时表扬，鼓励学生继续努力，奋勇向前，这些行为会进一步促进学生的学习，促进学生良好行为习惯的养成。负强化又称消极强化。负强化也是一种刺激，它的出现可以终止某种行为。可以用作负强化刺激，通常是过大的声音、强光、极度的冷和热、疼痛、电击等。负强化是通过对正面强化物剥夺，引起积极行为增加。或者说，负强化就是对不良行为给予否定。例如，在学校中，学生为了逃避教师批评与责罚，会按时完成教师布置的作业。

正强化是用于加强所期望的个人行为，负强化是为了减少和消除不期望发生的行为，这两种强化的类型相互联系，相辅相成，构成了强化的体系。

（2）强化理论对小学数学学习的影响

斯金纳的强化理论虽然存在一定的片面性，但是对小学数学学习还是有一定的影响。数学课堂上，教师采取有效的奖惩措施，可以激发学生对数学学习的兴趣，让学生爱上数学，提高数学学习成绩，并且促进他们身心全面、和谐、健康发展。教师在进行学生管理时，也可运用不同的强化手段和方法，因材施教，以便达到学生管理的最高境界。

（二）认知主义学习理论及其对小学数学学习影响

认知主义学习理论与行为主义学习理论相对立，源自格式塔学派的认知主义学习理论。二十世纪五六十年代中期之后，随着皮亚杰、布鲁纳·奥苏伯尔等一批认知心理学家大量的创造性工作，使学习理论的研究进入了一个辉煌时期。他们认为，学习就是面对当前的问题情境，在内心经过积极地组织，从而形成和发展认知结构的过程。认知主义学习理论强调刺激—反应之间的联系是以意识为中介的，强调认知过程的重要性。这些学习理论对小学数学学习也产生了积极的影响。

1.皮亚杰的认知发展阶段理论

皮亚杰最为著名的认知理论就是儿童认知发展阶段论，他认为儿童认知发展有四个阶段，每一个阶段都有着不同理解世界的方式，而运算则是他划分阶段的核心概念。

（1）认知发展阶段理论

第一，感知运动阶段。本阶段儿童只具有图形知识，只能靠感觉和动作来认知周围世界。

第二，前运算阶段。本阶段儿童能用语言、符号来描述事物，具有表象的思维能力，但不具备可逆性。

第三，具体运算阶段。本阶段儿童处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，但还是只能以具体形象事物作为支撑，不能离开感性经验，已具备可逆性和守恒性。

第四，形式运算阶段。本阶段儿童已经完全能够在头脑中把形式和内容分开，能进行抽象思维和命题运算。

综上，这四个认知发展阶段都有其独特的结构，但是具有连续性和阶段性。根据儿童的年龄特征，或个人、环境等因素，会造成阶段的提前或延后，但其先后顺序是始终不变的，低级向高级过渡时，高一级阶段的认知始终是低一级阶段认知的延续发展。

（2）认知发展阶段理论对小学数学学习的影响

根据皮亚杰的认知发展阶段理论，小学生正处于具体运算阶段，他们能进行初步的逻辑思维，但运用数学符号解释和推理还有困难。因此，在这种理论基础上，教师在对这个阶段学生进行教学时，就应强调小学数学学习的直观和形象，将学生自发活动和解决问题活动作为教学的主要手段，让学生形成丰富的数学知识表象，从而进一步发展抽象思维。

2.布鲁纳的认知发现说

布鲁纳提出的最为著名的学习理论就是发现学习论。他认为学生的心智发展是遵循学生本身认知特点的，教学主要是帮助学生的认知发展，而发现学习有助于激发学生内在学习动机，帮助他们的智慧得到生长，是一种最佳的学习方式。发现学习法具有以下特征。

第一，重直觉思维。布鲁纳认为直觉思维对科学发现活动很重要，它的本质具有映象性和图像性。布鲁纳认为可以帮助儿童形成图像或表象，然后去表现他们的世界中所发生的事物，而不是过早地用语言文字去指示学生。也就是说直觉思维是不必以细小划分过的步子来进行，不用按照程序接受知识，只要在熟悉了有关的知识领域和结构之后，就能使其自然发生。

第二，重内在动机。布鲁纳所重视的内在动机主要是帮助学生形成内部动机，或者把外部动机转化为内部动机。也就是在学习过程中，通过激发学生的内在动机，对学生学习信息及时反馈和纠正，使得学生能主动要求学习，提高自己。

第三，重学习过程。在这个过程中，布鲁纳主要强调学生不是被动的、消极的思维知识接受者，而是主动积极的知识探究者。教师在学生学习过程中，就应该处于引导的地位，不断创设情境，让学生自主探究知识。因为学习本该是一个过程，而不是结果。在布鲁纳看来学习过程就是重视学生自己的认知活动和培养学生解决问题的能力，比如，在2+5=7的学习中，7这个结果并不是太重要，关键是让学生在运算这个式子过程中，要掌握7是如何与2和5发生关联的。(www.xing528.com)

第四，重信息提取。布鲁纳通过实验表明，学生如何组织信息，对提取信息有很大的影响，所以他认为人类记忆应该是提取，不是贮存。虽然有些偏激，但学生亲自参与发现知识的活动，必然会自主地用某种方式进行组织，从而达到记忆的最佳效果。

3.奥苏伯尔的认知同化论

（1）认知同化论

在认知主义中，奥苏伯尔主要注重认知结构。他定义的认知结构是一个人观念的全部内容和组织，或一个人在某个知识领域观念的内容和组织。因此，奥苏伯尔认为学习过程就是在原有认知结构基础上形成新的认知结构过程。学生头脑中已有的认知结构与新的知识进行相互作用，新的知识就会被同化到学生已有的认知结构中去。

这样的学习结果不仅使学生原有的知识结构得到补充，而且新的知识也被赋予了新的意义。奥苏伯尔的认知结构与新知识所发生的同化作用的学习理论被称为认知同化论。

在学习过程中，学习者如果能积极主动地把新知识与已有认知结构中原有的结构联系起来，并获得新的知识，奥苏伯尔认为这就是有意义学习。当然在有意义学习过程中，除了学习者自身有强烈的心理倾向外，所提供的学习材料也应该是有意义的，同时学习者原有认知结构在与新知识发生同化作用时，应适当稳定和清晰，这是有意义学习的必备条件。当然，与有意义学习相反的就是机械学习。在奥苏伯尔看来，学生的学习应该尽可能有意义，所以他对有意义学习也做了很精确的定义：用语言文字或符号表述的新知识能够同学习者认知结构已有知识建立起实质性和非人为的联系，实质性的联系就是指新、旧知识之间本来就有的联系，而不是字面上的联系，也就是学习者不用经过文字的思考，直接就能看出新旧知识之间的关系特征。非人为的联系则是新的观念与原有观念建立了内在联系，而不是任意随便的联系。

为了使认知同化论在学习中更有效应用，使有意义学习得到更好实现，奥苏伯尔还提出了先行组织者策略，即教师在教新知识之前，应向学生提供一些具有概括性和引导性的学习材料，通过这些材料，能启发学生联想到新旧知识之间的关系，能提供学习者对学习材料和自身认知结构在发生作用时的辨别性，更避免学生机械学习。

（2）认知同化论对小学数学学习的影响

奥苏伯尔的认知同化论，有意义学习对我国小学数学学习研究产生了积极影响。

第一，小学教材的结构、内容应该全面优化，要选取有意义、逻辑性强的内容，结构上的编排也要做到前后知识的联系与照应。

第二，为学生创造恰当的数学情境，让学生有主动学习的倾向。

第三，有目的地优化学生的认知结构，使学生的认知结构具有逻辑性。

第四，在教学中可以在新知识学习之前向学生提供具有概括性、引导性的组织者，并通过这些组织者去增强新旧数学知识之间的联系，这样更利于学生对新知识掌握。例如，解决有关整数乘法应用问题之前，就可以先向学生呈现一些相关的数学公式，如“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”等，由于这些基本数量关系学生在学习定理的时候已经掌握，所以通过它们就能将乘法问题这一新的学习任务跟学生原有认知结构中的知识直接联系起来，为新的学习建立联系。

（三）建构主义学习理论及其对小学数学学习的影响

认知主义进一步发展，形成了一种新的学习理论——建构主义。建构主义认为世界是客观存在的，但可以根据自己的经验来建构现实，每个人的经验都是由自己的头脑创建的，每个人的经验及对经验的信息处理是有差异的，从而也导致对外部世界理解的差异，因而人脑储存的信息需要接受现实环境信息并进行加工，包括积极地选择、注意、知觉、组织、储存和激活信息，然后实现自我信息的建构。

1.建构主义学习理论

建构主义认为学习不是知识简单地由外到内的转移和传递，而是学习者主动地建构自己的知识经验的过程，即通过新经验与原有知识经验的双向的相互作用，来充实、丰富和改造自己的知识经验的过程。学习不是知识由教师向学生的传递过程，而是学生建构自己知识的过程，学习者不是被动的信息吸收者；相反，他要主动地建构信息的意义，这种建构不可能由他人替代。学习者的这种知识建构过程具有以下三个主要特征。

（1）学习的主动性

面对新信息、新概念、新现象或新问题，学习者必须通过高层次思维活动，即付出高度心理努力的认知活动，充分激活头脑中的先前知识经验，然后通过不断思考，对各种信息和观念进行加工转换，基于新、旧知识进行综合和概括，解释有关现象，形成新的假设和推论，并对自己的想法进行反思性推敲和检验。学习者作为学习活动的主人，承担着学习的责任，需要对学习活动进行积极自主的自我管理和调节。

（2）学习的社会性

建构主义强调不同的学习者都有不同的知识经验、社会经验，在对待同一个问题时不同的学习者会有不同的想法和结论。因此，不同的学习者通过互相沟通、交流、合作，可以更好地完成学习任务，即多向社会性和相互作用可以给学习者彼此的知识构建搭建丰富的资源平台。

（3）学习的情境性

建构主义者提出，知识是存在于具体的、情境的、可感知的、活动中的，它不是一套独立于情境的知识符号，不可能脱离活动情境而抽象地存在，它只有通过实际情境中的应用活动才能真正被人所理解。建构主义强调学习者一定要把所学知识与一定的真实任务情境联系起来，然后通过合作解决情境性问题。

2.建构主义学习理论对小学数学学习的影响

建构主义是对已有知识再一次组织，突出一种过程，突出学生的主体性地位。

第一，强调儿童应该积极参与到学习过程中来，在与现实世界、材料以及与其他儿童的相互作用中建构、修正和整合自己的观点，而教师只能组织、引导或者参与到学生的学习活动中。第二，还要重视外界环境的影响。建构主义主张知识不能被传递，也不能被打包，而是必须由每个儿童根据自己已有经验基础独立建构的观点。儿童在这个数学知识的建构过程中，会产生很多问题。在形成一个好的知识结构前，都必须反思、交流、改进、发展，在这种情况下，就必须增强学生和其他学生以及教师的互动，使其思维真正得到发展。第三，数学知识结构不是孤立的系统，它包括了很多方面的知识、经验，而且会直接受到生活经验的影响。对于小学生来说，具体形象的经验更能帮助其体会知识。因此，教师要从生活经验出发，创设最直观的情境，激发学生的学习动机。

（四）人本主义学习理论及其对小学数学学习的影响

人本主义心理学是二十世纪五六十年代在美国兴起的心理学派别，是与传统的行为主义和精神分析两大学派相对立的第三种力量。它关注的是个人的感情、知觉、信念和意图，这些是使一个人不同于另一个人的内部行为。它的研究主题是关于人的潜能和价值问题，主要理论是自我实现理论。该学派自产生以来，对心理学研究有重大的冲击作用，对数学教育方面也同样有巨大的影响，该学派代表人物是罗杰斯。

1.罗杰斯有意义学习观

罗杰斯认为学习方式分为有意义学习和无意义学习。他倡导的有意义学习，不仅仅是一种增长知识的学习，而且是一种把每个人各部分经验都融合在一起的学习，是一种使个体的行为、态度、个性以及在未来选择行动方针时发生重大变化的学习。罗杰斯和奥苏伯尔的有意义学习是有区别的，前者关注的是学习内容和个人之间的关系；而后者强调新、旧知识之间的联系，不涉及个人意义。

罗杰斯认为有意义学习主要具备四个要素：①学习具有个人参与的性质，即整个人（包括情感和认知两方面）都投入学习活动。②学习是自发的，即便在推动力或刺激来自外界时，要求发现、获得、掌握和领会的感觉仍来自内部。③全面发展，也就是说它会使学生的行为、态度、人格等获得全面发展。④学习是由学生自我评价的，因为学生最清楚这种学习是否满足自己的需要，是否有助于他获得想知道的东西，是否明了自己原来不甚清楚的某些方面。

罗杰斯所倡导的学习原则的核心就是让学生自由学习。他认为教师只要信任学生，信任学生的学习潜能，并愿意让学生自由学习，就会在与学生的交往中形成适合自己风格的、促进学生学习的最佳方法。

2.人本主义学习理论对小学数学学习的影响

罗杰斯的有意义学习观，对小学数学学习也有积极的指导作用。罗杰斯的有意义学习观让教师重视研究学生的情感对学习的促进作用，从传统的重视认知教学转到认知和情感并重教学方面来，真正从教师中心转到学生中心上，使学生成为认知和情感的主体，而不仅仅是认知的主体。

注重完整的人的数学教育。应当使学生成为真正的人。在课堂教学中，教学设计要真正从学生出发，给学生更多的自由，让学生真正参与。在教学中，要注重学生的自我完善、自我发展，以学生为主体，不要把学生当作接受知识的机器。数学教育还要注重培养学生的自重、自尊、自信，使他们充满希望和成功，而不是自卑、焦虑、失望。数学教育要让学生真正获得成功，通过数学学习，促进他们健康人格的形成。