三阶段DEA-Malmquist指数模型测算全要素生产率

全要素生产率（TFP）是一定时间内生产活动中总产出与全部要素投入之比。其增长率是指总产出增长率减去要素加权投入增长率的余值，反映动态的经济增长效率水平。Sherman和Gold（1985）率先将非参数的数据包络分析（DEA）法用于评估商业银行效率。基于产出^[3]的Malmquist生产率变动指数的表述形式为：

其中，分别表示t时期和t+1时期的投入产出向量，Dt和Dt+1分别表示t时期和t+1时期以技术为基准的距离函数。Malmquist生产率变动指数（tfpch）表示银行在t期至t+1期整体生产率的变化程度，可分解为技术变化指数（tech）和综合效率变化指数（effch）。后者可进一步分解为纯效率变化指数（pech）和规模变化指数（sech），即：

三阶段DEA-Malmquist指数模型的第一阶段和普通DEA法一致。在第一阶段测量出全要素生产率及其分解效率的基础上，第二阶段将使用随机前沿分析法（SFA）剔除环境变量和统计噪声的影响^[4]。投入或产出的松弛变量——决策单元的目标值与原始值的差值，成为第二阶段关注的主要对象，反映了从无效到有效的改进值。由于在第一阶段使用的是投入导向型DEA模型，故在第二阶段仅对原始的投入变量进行调整。对松弛变量的分解，由于需要得到统计噪声和管理无效率的综合误差项，因此成本函数模型更加适用。

以环境因素变量为解释变量，使用SFA法对第一阶段每一项投入的松弛量建立回归方程，其中第n个回归方程如下：

其中，sni为第i个决策单元在第n项投入上的松弛量，zi为环境变量，βn为待估计参数。vni+uni为综合误差项，其中vni反映了统计噪音，服从正态分布。uni反映了管理无效率，服从半正态分布。vni和uni相互独立，且与环境变量也相互独立。趋近1时，表明管理无效率是造成第n项投入出现松弛量的主要因素；趋于0时，则随机误差的影响更大。利用Jondrow等（1982）的方法，借鉴罗登跃（2012）管理无效率的估计公式，得出：

其中和分别为标准正态分布的密度函数和分布函数。(www.xing528.com)

进而得出vni的估计式为：

利用上述结果对投入变量进行调整，公式为：

其中和xni分别为调整后的投入值和原投入值；β̂n为环境变量参数的观察值，为随机干扰的估计值。通过（10）式将所有决策单元调整到相同的最差外部环境和共同的运气状态。

第三阶段使用剔除了环境变量和统计噪声影响的投入变量和原始的产出变量，再次运用DEA法测算决策单元的效率。