上海初中数学教研智慧：概念内涵与外延实战成果

上海市建平中学西校　　徐　蕊

在数学概念的新授课教学过程中，往往需要把多个相关概念进行新旧概念的同化和辨析，从而抽象出概念的本质属性进而得出确切的定义。因此，可以将常见的、相近且容易混淆的一些重要的概念进行梳理，并将概念之间的关系分为三类：互补式、包含式、交互式，例如“无理数”与“有理数”是互补关系、“二次根式”与“根式”是包含关系、“无理数”与“二次根式”是交互关系。教师在分析清楚概念的类型后，通过列举正反实例揭示概念的本质属性，阐释概念的内涵，并且配以对应练习或应用将概念外延，完成整个概念的归纳与定义。

下面以“无理数”的概念和“二次根式”的概念教学为例，阐述以上所说的三种关系。

“实数”单元中“无理数”的概念将数的范围从“有理数”拓展到“实数”。“无理数”与“有理数”是互补关系，即一个实数不是有理数就是无理数。因此，“无理数”这一概念的讲课思路是：首先由数学故事——希帕斯发现了无法用两个整数之比来表示的数的存在，进行引入；再用实例——面积为2的正方形怎样表示边长，引发学生的思考，从而体现出“无理数”这一概念的存在是有现实需求和存在的合理性的。进而教师可以询问如何将面积为3、5、6、7等的正方形的边长表示出来呢，此时引入的书写形式。

接着教师可以进行辨析举例，从小数的角度来看，“有理数”是可以用有限小数或无限循环小数来表示的，而“无理数”则是无限不循环小数。此时可以让学生举出一些无限不循环小数的例子，如π、0.123 456 789 101 112 131 4…（依次写连续正整数）。从数的表示形式来看，“有理数”可以用分数表示，而“无理数”还可以用根号的形式来表示，此时可以列举等。通过这些例子，学生已经初步形成了“无理数”的概念，对“无理数”不同于“有理数”的特征有了直观认识。然后教师可以给出100 001…（它的位数无限且相邻两个1之间0的个数依次加1）等“无理数”实例，让学生发现“无理数”和“有理数”一样也存在正负性。通过这两组实例辨析，学生可以分析出“有理数”与“无理数”之间的共同属性和不同属性，从而抽象出“无理数”概念的本质属性：它是这样一类小数，（1）无限；（2）不循环。它是无法用整数比表示的一类数，从而揭示无理数的内涵，将数的范围从“有理数”拓展到“实数”范围。

在学生获得了较清晰的“无理数”概念后，教师可以将“有理数”和“无理数”进行混合辨析，如（它的位数无限且相邻两个3之间7的个数依次加1）。这一组实例中，0是属于有理数范围的，不属于无理数；-2是整数，属于有理数；含有是无限不循环小数，乘以3后仍然是无限不循环小数，因此它是无理数尽管含有根号，但化简后的结果是2，因此它是有理数；3.141 6是有理数，不是π；是无限循环小数，属于有理数；是有理数，这里学生会去计算，由于它的小数位数较多，且受到圆周率的约率影响，学生容易误认为是无限不循环小数，因此需要强调能表示成分数形式的数是有理数；-4π是无理数；0.373 773 777 3…（它的位数无限且相邻两个3之间7的个数依次加1）是无限不循环小数，是无理数。

从-4π这个实例，可以发现它其实是“无理数”概念的应用，将“无理数”概念外延到“有理数”与“无理数”的加减乘除运算结果的属性上。这样的一个概念延伸可以使学生对“无理数”的概念有完整的认识，并且有利于对“实数”概念的准确理解，体会“实数”可以分为“有理数”和“无理数”这两个互补式概念。

与此同时，这种互补关系还可以完善数轴上的点与数的对应关系，有理数是整数和分数，它们所对应的点都可以相对准确地在数轴上找到，而数轴上剩下的那些点所对应的数就是无理数了，从而形成了“数轴上的每一个点都与一个实数一一对应”的认识。(www.xing528.com)

这种互补式概念的教学方式还可以用在几何教学上，如三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们互不包含，但可以完整包括所有的三角形。

相对于“无理数”概念的互补式特点，“二次根式”这一概念是从属于“根式”这一概念的，它与“根式”之间的关系是属于“包含式”的。

同样，在几何教学过程中，也有“包含式”和“交互式”概念教学的体现。例如，“平行四边形”单元中，“菱形”和“矩形”两个概念与“平行四边形”是包含关系，而“菱形”和“矩形”两个概念又是交互式的，它们的重叠部分就是“正方形”。“三角形”如果按边分类，可以分为“不等边三角形”和“等腰三角形”，它们是互补式的，但“等腰三角形”与“等边三角形”又有着包含关系，等边三角形只是等腰三角形的一种特殊情况。

有了这样三种概念关系的分类，教师在概念课的设计思路上就可以有针对性地设计新课引入、实例辨析和概念应用等三个环节，让学生对概念的学习经历从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，从而能够更加准确地理解概念的内涵以及它的外延。

以上这些对于概念教学的概括总结，是建平中学西校教学组的一线教师在总结了常规的概念课的上课经验后集体教研的成果。概念课的教学是从学生认知结构出发，帮助学生把握各数学概念之间的相互关系。同时，教师在教学设计中也能更有序地设计每一个教学环节，把概念与概念联通，体现数学概念教学的连贯性，而非割裂式的单一化教学。