《高一数学设计与课例》第七节：如何改写log2？

【教学目标】

1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．

（1）了解对数式的由来和含义，清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与对数运算之间的互逆关系．

（2）会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算．

（3）能根据概念进行指数与对数之间的互化．

2．通过对数概念的学习和对数运算法则的探究及证明，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力．

3．通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过对数运算法则的探究，使学生善于发现问题，揭示数学规律从而调动学生思维的积极参与，培养学生分析问题，解决问题的能力及大胆探索，实事求是的科学精神．

【教学建议】

教材分析

（1）对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为当a＞0，a≠1时，loguN＝bab＝N．所以指数式ab＝N中的底数，指数，幂与对数式loguN＝b中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：

（2）本节的教学重点是对数的定义和运算性质，难点是对数的概念．

对数首先作为一种运算，由ab＝N引出的，在这个式子中已知一个数a和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是对数运算（而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算），所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对ab＝N的全面认识．此外对数作为一种运算除了认识运算符号“log”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，脱到过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．

对数运算的符号的认识与理解是学生认识对数的一个障碍，其实log与＋，×，等符号一样表示一种运算，不过对数运算的符号写在前面，学生不习惯，所以在认识上感到有些困难．

【教法建议】

（1）对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数a和真数N的要求，其次对于对数的性质logu1＝0，logua＝0（a＞0，a≠1）及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明，验证．同时在关系的指导下完成指数式和对数式的互化．

（2）对于运算法则的探究，对层次较高的学生可以采用“概念形成”的学习方式通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识．

（3）对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围．最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性．

【教学设计示例】

第七节　对数的运算法则

教学目标：

1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题．

2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．

3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．

教学重点，难点

重点是对数的运算法则及推导和应用

难点是法则的探究与证明．

教学方法

引导发现法

教学用具

投影仪

教学过程

一、引入新课

我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢？通过下面的题目来回答这个问题．

如果看到loguN＝b这个式子会有何联想？

由学生回答（1）a＞0（2）a≠1（3）N＞0（4）ab＝N．

也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则．

二、对数的运算法则（板书）

对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．

由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：am·an＝am＋n，＝am－n，（am）n＝amn．

然后直接提出课题：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，loguM＋loguN＝log（M＋N）是否成立？

由学生讨论并举出实例说明其不成立（如可以举log22＋log216＝1＋4＝5而log2（2＋16）＝log218≠5），教师在肯定结论的正确性的同时再提出loguM＋loguN＝？

可提示学生利用刚才的反例，把log22＋log216＝5改写成log2？应为log232，而32＝2×2，还可以让学生再找几个例子，log39＋log33＝2＝1＝3＝log327＝log39×3．之后让学生大胆说出发现有什么规律？

由学生回答应有loguM＋loguN＝MN成立．

现在它只是一个猜想，要保证其对任意MN都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢？你学过哪些与之相关的证明依据呢？

学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书．

证明：设loguM＝p，loguN＝q则ap＝M，aq＝N，由指数运算法则

得ap·aq＝ap＋q＝M·N，

∴logu（MN）＝p＋q，

即logu（MN）＝loguM＋loguN．（板书）

法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识：

（1）公式成立的条件是什么？（由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件）．

（2）能用文字语言叙述这条法则：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．

（3）若真数是三个正数，结果会怎样？很容易可得．

logu（MNP）＝loguM＋loguN＋loguP

（条件同前）

（4）能否利用法则完成下面的运算：

例1　计算

（1）logu（32×64）　（2）log35＋log3　（3）log62log63

由学生口答答案后，总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．然后提出新问题：

可由学生说出．得到大家认可后，再让学生完成证明．

证明：设loguM＝p，loguN＝q则ap＝M，aq＝N，由指数运算法则得

教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法？能否用上刚才的结论？

有的学生可能会提出把看成再用法则，但无法解决计算问题，再引导学生如何回避的问题．经思考可以得到如下证法

或证明如下，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了化归的思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书法则2，并让学生用文字语言叙述法则2．（两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差）

请学生完成下面的计算

（1）　（2）lg20－lg2．

计算后再提出刚才没有解决的问题即＝loguN－1＝？并将其一般化改为loguMn＝？（a＞0，a≠1，M＞0）学生在说出结论的同时就可给出证明如下：

设loguM＝p，则ap＝M，∴Mn＝（ap）n＝apn，∴loguMn＝n·loguM．教师还可让学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究．

将三条法则写在一起，用投影仪打出，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则

（1）了解法则的由来．（怎么证）

（2）掌握法则的内容．（用符号语言和文字语言叙述）

（3）法则使用的条件．（使每一个对数都有意义）

（4）法则的功能．（要求能正反使用）

三．巩固练习

例2　计算

（1）log93＋log927　（2）

（3）　（4）log2（4＋4）

（5）　（6）log2（47×25）

解答略(www.xing528.com)

对学生的解答进行点评．

例3　已知log23＝a，log25＝b用a，b的式子表示

（1）log20．6　（2）　（3）

由学生上黑板写出求解过程．

四．小结

1．运算法则的内容

2．运算法则的推导与证明

3．运算法则的使用

五．作业略

六．板书设计

【习题精选】

（1）下列各式中正确的个数是（　）．

①logu（b2－c2）＝2logub－2loguc

②（logu3）2＝2logu3

③

④logux2＝2logu｜x｜

（A）0　（B）1　（C）2　（D）3

（2）计算

（3）若，则（　）．

（4）若67x＝27，603y＝81，则

（5）已知b＝logx＋7（x2＋6x＋5）有意义，则x的取值范围是__________．

（6）已知，则

（7）已知2lg（3x－2）＝lgx＋lg（3x＋2），求的值．

（8）已知a，b，c是△ABC的三边且关于x的一元二次方程：x2－2x＋lg（c2－b2）－2lga＋1＝0，有相等的实根，试判断△ABC的形状．

（9）某工厂1983年生产种产品2万件，计划从1984年开始每年的产量比上一年增长20%．问从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量开始．（已知lg2＝0．3010，lg3＝0．4771）

答案：

（1）B　（2）①－4　②－1　③1　④

（3）A　（4）－2　（5）（－7，－6）∪（－6，－5）∪（－1，＋∞）

（6）2　（7）　（8）直角三角形　（9）1993年

【典型例题】

例1　求下列各式中的．

（1）

（2）

（3）（logx4）2＝9；

（4）log（x－1）（x2＋8x＋7）＝1；

（5）logx＋2（x2－2x－2）＝0．

分析：根据式中x的位置或转化成指数式计算或利用对数性质进行计算．

解：

（2）

（3）

（4）由对数性质得x＝8．

（5）由对数性质得解得x＝3．

证明：对数式的运算除了注意使各量都有意义为前提，还要注意指对之间的互化互助．

例2　已知f（x6）＝log2x，求f（8）的值．

分析：根据复合函数的概念，结合换元法可以直接求值，当然也可以先求出f（x）的解析式再求f（8）的值．

解：法一令x6＝u则x＝，

说明：此题以函数概念为背景，实际考察对数的运算法则的使用．

例3　计算

分析：对数运算法则是解决这类运算的重要工具，除此之外还需用到有关指数幂的运算法则进行计算．

说明：第（2）小题的运算除利用法则外，有一定的设计性，主导思想是减少对数值的个数．此提在减少量的思想指导下，只剩一种元“lg2”是最理想的状态．

例4　（1）已知log7［log3（log2x）］＝0，则___________．

（2）设｜a－8b｜＋（4b－1）2＝0（a，b∈R），则log2ab的值为___________．

（3）已知loga2＝m，loga3＝n则a2m＋n的值为___________．

分析：此组小题主要将指对运算混合在一起，注意各自法则的正确使用．

解：（1）由性质得log3（log2x）＝1又由性质得log2x＝3，由定义得x＝8．∴

（2）由已知得

（3）将其改写为指数式为am＝2，an＝3，a2m＋n＝22·3＝12．

说明：利用指数对数的对立统一性，注意运算形式的选择，以简化计算．

例5　已知，试用a，b的式子表示lg1．4．

分析：求以a，b表示lg1．4的式子，实际上是寻找和lg1．4之间的关系所以应将三个真数尽量化整并化小，便于寻找关系．

解：

由（1）（2）解得6）．

说明：本题的求解中，分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性．

例6　对于正整数a，b，c（a≤b≤c）和实数x，y，z，w，ax＝by＝cz＝30w，求a，b，c的值．

分析：可先从条件中化去w，的到含有a，b，c的方程，转化条件可以利用指对互化来完成．

解：在ax＝30w中，两边取对数得xlga＝wlg30，

同理由by＝30w和cz＝30w得，又

∴即lgabc＝lg30，∴abc＝30．又1≤a≤b≤c，可分为三种情况：

如果a＝1由ax＝30w得30w＝1，w＝0（舍去）

如果a＝2，得bc＝15，∴b＝3，c＝5．

如果a＞2，此时bc无整数解．∴a＝2，b＝3，c＝5

说明：对所给条件两边同时取对数是化简条件向指数转化的重要手段，且这里对a，b，c情况的讨论也要有主有次，抓住一个为主元，进行讨论即可．

例7　已知函数f（x）＝x2＋（lga＋2）x＋lgb满足f（－1）＝－2．且对一切实数x都有f（x）≥2x，求实数a，b的值．

分析：这是一道函数与不等式结合的题目需确定f（x）≥2x的类型，再根据条件求解．

解：由f（－1）＝－2得1－lga＋lgb＝0　（1），

由f（x）≥2x得x2＋lga·x＋lgb≥0　（2）

（2）对任意x恒成立的条件是△＝lg2a－4lgb≤0．将（1）中lgb＝lga－1代入得lg2a－4（lga－1）≤0解得lga＝2，a＝100b＝10．

说明：此题中“对一切实数x都有f（x）≥2x恒成立”的问题的转化，必须保证其等价性．