高一数学设计与课例：学指数函数，掌图象特性

【教学目标】

1．使学生掌握指数函数的概念，图象和性质．

（1）能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域．

（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质．

（3）能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小，会利用指数函数的图象画出形如f（x）＝ax＋m的图象．

2．通过对指数函数的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法．

3．通过对指数函数的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣．使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题．

【教学建议】

教材分析

（1）指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．

（2）本节的教学重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质．难点是对底数a在a＞1和0＜a＜1时，函数值变化情况的区分．

（3）指数函数是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究．

教法建议

（1）关于指数函数的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是f（x）＝ax的样子，不能有一点差异，诸如y＝3·22，等都不是指数函数．

（2）对底数a的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容．如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来．

关于指数函数图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象．

【教学设计示例】

第六节　课题　指数函数

教学目标

1．理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图象，性质及其简单应用．

2．通过指数函数的图象和性质的学习，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法．

3．通过对指数函数的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学习兴趣．

教学重点和难点

重点是理解指数函数的定义，把握图象和性质．

难点是认识底数对函数值影响的认识．

教学用具

投影仪

教学方法

启发讨论研究式

教学过程

一、引入新课

我们前面学习了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数——指数函数．

1．6．指数函数（板书）

这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要．比如我们看下面的问题：

问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂次后，得到的细胞分裂的个数x与y之间，构成一个函数关系，能写出x与y之间的函数关系式吗？

由学生回答：y与x之间的关系式，可以表示为y＝2x．

问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了x次后绳子剩余的长度为y米，试写出y与x之间的函数关系．

由学生回答：

在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量x均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为指数函数．

一、指数函数的概念（板书）

1．定义：形如f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的函数称为指数函数．（板书）

教师在给出定义之后再对定义作几点说明．

2．几点说明（板书）

（1）关于对a的规定：

教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若a＜0会有什么问题？如a＝－2，此时等在实数范围内相应的函数值不存在．

若a＝0对于x≤0，a2都无意义，若a＝1则1x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a＞0且a≠1．

（2）关于指数函数的定义域（板书）

教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数．此时教师可指出，其实当指数为无理数时，ax也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以指数函数的定义域为R．扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值．

（3）关于是否是指数函数的判断（板书）

刚才分别认识了指数函数中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是指数函数，请看下面函数是否是指数函数．

（1）y＝πx，　（2）y＝0．3x2，　（3）

（4）

学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是指数函数，其中（3）可以写成y＝，也是指数图象．

最后提醒学生指数函数的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质．

3．归纳性质

作图的用什么方法．用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答．

函数y＝2x

1．定义域：R

2．值域：（0，＋∞）

3．奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数

4．截距：在x轴上没有，在y轴上为1．

对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用．（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明．对于单调性，我建议找一些特殊点．，先看一看，再下定论．对最后一条也是指导函数图象画图的依据．（图象位于x轴上方，且与x轴不相交．）

在此基础上，教师可指导学生列表，描点了．取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故x的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少．

此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据．连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当x越小，图象越靠近x轴，x越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线．

二、图象与性质（板书）

1．图象的画法：性质指导下的列表描点法．

2．草图：

当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是a＞0且a≠1，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取为例．

此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是唯一的方法，而图象变换的方法更为简单．即与y＝2x图象之间关于y轴对称，而此时y＝2x的图象已经有了，具备了变换的条件．让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到y＝（）的图象．

最后问学生是否需要再画．（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如a＝3，a＝的图象一起比较，再找共性）

由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征．教师可列一个表，如下：

以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满．

填好后，让学生仿照此例再列一个0＜a＜1的表，将相应的内容填好．为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质．

3．性质．

（1）无论a为何值，指数函数f（x）＝ax都有定义域为R，值域为（0，＋∞），都过点（0，1）．

（2）a＞0时，f（x）＝ax在定义域内为增函数，0＜a＜1时，f（x）＝ax为减函数．

（3）a＞1时，，0＜a＜1时，

总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质．

三．简单应用（板书）

1．利用指数函数单调性比大小．（板书）

一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题．首先我们来看下面的问题．

例1比较下列各组数的大小

（1）1．3－27与1．3－25；　（2）

（3）与1．（板书）

首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同．再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想指数函数，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小．然后以第（1）题为例，给出解答过程．

解：∵y＝1．3x在（－∞，＋∞）上是增函数，且－2．7＜－2．5

∴1．3－27＜1．3－25．（板书）

教师最后再强调过程必须写清三句话：

（1）构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性．

（2）自变量的大小比较．

（3）函数值的大小比较．

后两个题的过程略．要求学生仿照第（1）题叙述过程．

例2　比较下列各组数的大小

（1）(www.xing528.com)

（2）

（3）1．080．3与0．983．1．（板书）

先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法．引导学生发现对（1）来说可以写成，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说可以写成，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决．（教师可提示学生指数函数的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用）

最后由学生说出1．080．3＞1，0．983．1＜1，1．080．3＞0．983．1．

解决后由教师小结比较大小的方法

（1）构造函数的方法：数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的）

（2）搭桥比较法：用特殊的数1或0．

三．巩固练习

练习：比较下列各组数的大小（板书）

（1）

（2）

（3）

（4）．解答过程略

四．小结

1．指数函数的概念

2．指数函数的图象和性质

3．简单应用

五．板书设计

【习题精选】

（1）下列函数中指数函数的个数是（　）．

①y＝2·3x　②y＝3x＋1　③y＝3x　④y＝x3

（A）0个　（B）1个　（C）2个　（D）3个

（2）已知f（x）的定义域为（0，1），则f（3x）的定义域为___________．

（3）当x＜1时，ax－1＞1（a＞0，a≠1），则a的取值范围是__________．

（4）若a＞1，－1＜b＜0，则函数f（x）＝ax＋b的图象一定不在第___________象限．

（5）已知函数f（x）＝ax＋b的图象过点（1，3），又其反函数的图象过点（2，0），则函数f（x）的解析式为__________．

（6））函数f（x）＝ax与g（x）＝ax－a的图象大致是（　）．

（7）函数y＝22x－5·2x＋1＋1的最小值为___________．

（8）函数的单调递增区间是___________．

（9）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，则9年后的价格为（　）．

（A）2400元　（B）900元　（C）300元　（D）3600元

（10）已知0．9＜a＜1，x＝a9，y＝ax，试比较a，x，y的大小．

（11）已知关于x的方程2x－1＋2x2＋a＝0有两个实数解，则实数a的取值范围是___________．

（12）试比较am＋a－m与an＋a－n（m＞n＞0，a＞0，a≠1）的大小，并加以证明．

答案：

（1）B　（2）（－∞，0）　（3）（0，1）　（4）四　（5）f（x）＝2x＋1　（6）D

（7）　（8）　（9）A　（10）x＞y＞a　（11）　（12）当a＞1时，am＋a－m＞an＋a－n，当0＜a＜1时，am＋a－m＞an＋a－n．

【典型例题】

例1　求下列函数的定义域

（1）　（2）

（3）

（4）

分析：求定义域时要特别注意与指数式有关的式子有意义的条件．

解：（1）x∈R；　（2）由3－x≥0得x≤3；　（3）x∈R；　（4）由1－ax≥0得ax≤1，当a＞1时，x≤0；当0＜a＜1时x≥0，．

说明：在这种题目中若遇到底数含有字母的不等式的求解时，注意分为a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，求解时，可借助相应的指数函数图象来帮忙．

例2　比较下列各组数的大小：

（1）

（2）

（3）

（4）

分析：当两个幂形数底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．

解：（1）在（－∞，＋∞）上是减函数，又－0．1＞－0．2，故

（2），由的单调性可得，即

（3）由0．8－2＞1而，可知

（4）当a＞1时，，当0＜a＜1时

说明：此题中第（3）小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而（2）小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小．

例3　（1）指数函数①f（x）＝mx②g（x）＝nx满足不等式1＞n＞m＞0，则它们的图象是（　）．

分析：此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线．

解：由0＜m＜n＜1可知①②应为两条递减的曲线，故只可能是（C）或（D），进而再判断①②与n和m的对应关系，此时判断的方法很多，不妨选特殊点法，令x＝1，①②对应的函数值分别为n和m，由m＜n可知应选C．

（2）曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx和y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（　）．

（A）a＜b＜1＜c＜d　（B）a＜b＜1＜d＜c

（C）b＜a＜1＜c＜d　（D）b＜a＜1＜d＜c

分析：首先可以根据指数函数单调性，确定c＞1，d＞1，0＜a＜0，0＜b＜1，在轴右侧令x＝1，对应的函数值由小到大依次为a，b，c，d，故应选（D）．

说明：这种类型题目是比较典型的数形结合的题目，第（1）题是由数到形的转化，第（2）题则是由图到数的翻译，它的主要目的是提高学生识图，用图的意识．

例4（1）函数y＝－2－x的图象一定过__________象限．

（2）函数f（x）＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是___________．

（3）函数y＝3－x与___________的图象关于y轴对称．

分析：此题涉及有关图象变换，搞清图象平移和对称变换是解决此题的关键．

解：（1）y＝－2－x＝－（，它可以看作是指数函数y＝（图象作关于x轴对称的图象，因此一定过第三象限和第四象限．

（2）f（x）＝ax－1＋3的图象可以看作把f（x）＝ax的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f（x）＝ax一定过点（0，1），则f（x）＝ax－1＋3应过点（1，4）．

（3）图象与y＝3－x关于轴对称的函数为y＝3x．

说明：通过此题要求学生明确f（x）＝ax＋m＋n与f（x）＝ax两个函数图象之间的关系及体现在图象上任意一点的坐标之间的变化规律．

例5（1）函数的单调递增区间是__________．

（2）函数的值域为__________．

分析：应利用换元法研究这类题目，而且要注意二次函数相关知识的配合使用．

解：（1）令，显然当x∈时，由y＝3u是增函数，此函数是单调递增的．

（2）令，由－3≤x≤2，得≤u≤8．

则

当u＝即x＝0时，y有最小值，当u＝8即x＝－3时，y有最大值57．

∴函数的值域为

说明：第（2）小题通过换元把问题转化为闭区间上二次函数的值域问题，这种转化的方法是处理类似问题非常重要的方法，应引起关注，且换元时应注意中间变量的取值范围．

例6　世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口相当于一个（　）．

分析：这是指数函数的应用问题，根据题意列出函数解析式后再进行相应的计算．

解：两年增长的人口应为560000（1＋1‰）2－560000≈1120（万），所以应选（D）．

说明：与指数函数相关的应用问题较多，如放射性物质的蜕变，人口增长，利率等，遇到类似问题时，应能主动调动指数函数相关知识来解决．

例7　已知试把用含x的式子表示出来，并化简．

分析：此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用．

当x＞0时，若a＞1，则ax＞a－x，此时

若0＜a＜1，则ax＜a－x，此时

当x＝0时，

当x＜0时，若a＞1，则ax＜a－x，此时a－x，

若0＜a＜1，则ax＞a－x，此时

说明：此题中涉及对根式的化简，绝对值的概念及指数函数单调性的使用，特别是对x和a的讨论要分清楚．