指数与分数指数幂的运算性质

【教学目标】

1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．

（1）理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算．

（2）能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．

（3）能利用有理指数运算性质简化根式运算．

2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．

3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．

【教学建议】

教材分析

（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质．教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念．

（2）由于分数指数幂的概念是借助n次方根给出的，而n次根式，n次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且n次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．

（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．

教法建议

（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：

①先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观点．

②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．

③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出？4＝16即谁的四次方根等于16．指出2和－2是它的四次方根后再把指数换成n，写成？n＝a即谁的n次方等于a，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出．

（2）在n次方根的定义中并没有将n次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对n次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．

【教学设计示例】

第五节　课题根式

教学目标：

1．理解n次方根和n次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．

2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．

3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．

教学重点难点：

重点是n次方根的概念及其取值规律．

难点是n次方根的概念及其运算根据的研究．

教学用具：投影仪

教学方法：启发探索式．

教学过程：

一、复习引入

今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．

下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗？

以24＝16为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，24称为幂．

教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义．．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出a0＝0（a≠0）及a－n＝（a≠0，n∈N＋），同时追问这里a≠0的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念

2．5指数（板书）

1．关于整数指数幂的复习

（1）概念

既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：

（2）运算性质：an·am＝am＋n；（am）n＝amn；（ab）n＝an·bn．

复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢？应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．

2．根式（板书）

我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起．

如42＝16

如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即？2＝16，求？

问题也就是：谁的平方是16，大家都能回答是4和－4，这就是开方运算，且4和－4有个名字叫16的平方根．

再如23＝8

知3和8，问题就是谁的立方是8？这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．

（根据情况教师可再适当举几个例子，如？4＝9，？3＝－8，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为±和－2，同时指出它们分别称为9的四次方根和－8的立方根）

在以上几个式子会解释的基础上，提出？n＝a即一个数的n次方等于a，求这个数，即开n次方，那么这个数叫做a的n次方根．

（1）n次方根的定义：如果一个数的n次方等于a（n＞1，n∈N＋那么这个数叫做a的n次方根．

（板书）

对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．

由学生翻译为：若xn＝a（n＞1，n∈N＋），则x叫做a的n次方根．（把它补在定义的后面）

翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的a的n次方根就没有用符号表示，原因是什么？（如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法）最终把问题引向对a的n次方根的取值规律的研究．

（2）a的n次方根的取值规律：（板书）

先让学生看到a的n次方根的个数是由n的奇偶性决定的，所以应对n分奇偶情况讨论

当n为奇数时，再问学生a的n次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对a的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按a的正负分为三种情况．

Ⅰ当n为奇数时

a＞0，a的n次方根为一个正数；

a＜0，a的n次方根为一个负数；

a＝0，a的n次方根为零．（板书）

当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明n为偶数时的结论，再由学生总结归纳

Ⅱ当n为偶数时

a＞0，a的n次方根为两个互为相反数的数；

a＜0，a的n次方根不存在；

a＝0，a的n次方根为零．

对于这个规律的总结，还可以先看a的正负，再分n的奇偶，换个角度加深理解．

有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述n次方根了．

（3）a的n次方根的符号表示（板书）

可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当n为奇数时，由于无论a为何值，n次方根都只有一个值，可用统一的符号表示，此时要求学生解释符号的含义：a为正数，则为一个确定的正数，a为负数，则为一个确定的负数，a为零，则为零．

当n为偶数时，a为正数时，有两个值，而只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成，其含义为n为偶数时，正数的n次方根有两个分别为和．(www.xing528.com)

为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：一定表示一个正数吗？中的a一定是正数或非负数吗？让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结．对于符号，当n为偶数是，它有意义的条件是a≥0；当n为奇数时，它有意义的条件时a∈R．

把称为根式，其中n为根指数，a叫做被开方数．（板书）

（4）根式运算的依据（板书）

由于是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．

如应该得什么？有学生讲出理由，根据n次方根的定义，可得Ⅰ＝a．（板书）

再问：应该得什么？也得a吗？

若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如＝－4吗？吗？让学生能发现结果与有关，从而得到Ⅱ．（板书）

为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．

三．巩固练习

例1　求值

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

要求学生口答，并说出简要步骤．

四．小结

1．n次方根与n次根式的概念

2．二者的区别

3．运算依据

五．作业　略

六．板书设计

【习题精选】

（1）式子经过计算可得到（　）．

（2）给出下列四个算式及运算结果：

其中正确的有（　）

（A）1个　（B）2个

（C）3个　（D）4个

（3）要使式子有意义，则x的取值范围是__________．

（4）若则（x＋的值是___________．

（5）化成分数指数幂得__________．

（6）化简

①

②

（7）计算求值

①

②

③

（8）若102x＝25则101－x的值为___________．

（9）若，则的值为__________．

（10）已知，求的值．

答案：

（1）D　（2）A　（3）（－∞，－3）∪（－1，）∪（，＋∞）　（4）8　（5　（6）①－1；②　（7）①；②；③　（8）2　（9）－1　（10

【典型例题】

例1　下列说法中正确的是（　）．

（A）－2是16的四次方根

（B）正数的n次方根有两个

（C）a的n次方根就是

（D）＝a（a≥0）

分析：从n次方根和n次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系．

解：（1）是正确的．由（－2）4＝16可验证．

（2）不正确，要对n分奇偶讨论．

（3）不正确，a的n次方根可能有一个值，可能有两个值，而只表示一个确定的值它叫根式．

（4）正确，根据根式运算的依据，当n为奇数时，＝a是正确的，当n为偶数时，若a≥0，则有＝a，综上，当a≥0时，无论n为何值均有＝a成立．

说明：此题主要目的是分清n次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据．

例2　求下列各式的值．

分析：依照根式运算的两条规律，进行运算即可．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：根式运算要注意分清与，此外对于的运算可以记为，这样先根据n的奇偶处理根式，再根据a的正负处理绝对值比较方便．

例3　求下列各式的值．

（1）

（2）

（3）

分析：依照分数指数幂的运算法则，并结合概念来完成运算．

解：（1）

（2）

（3）

说明：在分数指数幂的运算中要注意把法则和概念结合起来，进行运算，并能根据具体题目选择最恰当的形式来完成运算．