高一数学：函数与反函数，概括三要素

【教学目标】

（1）了解反函数的概念及互为反函数的图象间的关系，会求一些简单函数的反函数．

①能从函数三要素角度认识函数与它的反函数之间的关系，深化对函数概念的理解．

②会在给定函数y＝f（x）的解析式及反函数存在的条件下，求反函数y＝f－1的解析式．

③不仅能从数量的对应关系认识反函数还能从图象的对应关系了解反函数的概念，并能利用y＝f（x）与y＝f－1的关系解决一些求值问题．

（2）通过反函数概念的学习，培养学生分析问题，解决问题的能力及抽象概括的能力，并能在反函数的求解过程中，把握函数与方程的思想．

反函数的学习过程也是函数概念和函数性质在认识上的深化和使用，因此反函数的学习可以帮助学生体会函数理论的指导作用，发展应用意识，树立辨证唯物主义的世界观．

【教学建议】

知识结构

本节的主要内容有：反函数的定义，反函数的符号，反函数的求法，互为反函数的函数图像间的关系．

重点难点分析

（1）反函数是研究两个函数的相互关系的一项重要内容，学生掌握了反函数的知识，有助于进一步了解函数的概念，获得比较系统的函数知识，并为以后学习互为反函数的指数函数与对数函数以及三角函数与反三角函数奠定了基础．

（2）本节的教学重点是反函数的概念的形成与认识．教学难点是掌握反函数的求法．

（3）课本上给出的反函数的定义比较长，也比较抽象，学生阅读理解起来会感到有困难，因此重点自然应放在概念的理解上，而且概念中的描述实际上就是求反函数的过程，使得求反函数问题也有法可依，可以帮助学生体会求反函数步骤的合理性．求反函数虽有明确的步骤，主要是解一个方程和求一个值域，但解的方程的类型各不相同，求解时怎样根据条件进行解的取舍，是学生遇到的难题，同时求函数值域也是多数同学感到困难的课题，所以求反函数就成为本节的一个难点．

教法建议

（1）反函数概念的建立是本节的关键，而由于概念自身难度较大，故引入时多采用从具体函数例子出发，抓住反函数也是函数这个关键，引导学生从函数三要素角度认识它与原来函数的关系．用学生最熟悉的知识，最明显的事例，帮助学生找到研究角度和方法，再逐步抽象概括出反函数的定义．

（2）在本节中对反函数概念是否理解的另一个标准就是能否求出指定函数的反函数．求反函数是一种技能性的训练，依照概念，形成了明确的操作步骤，教学中，当学生了解了反函数的概念，并步一定真能把握如何求反函数，教师可以放手让学生去尝试，调整，当求解中出现问题，再和学生一起研究解决．如y＝x2＋1，x＜0，反解x时，正负的选取问题，y＝2x＋1，x＞1反解后要求原来函数的值域当作反函数的定义域的问题，象这样的典型问题，让学生先暴露出来，再去解决它，给学生留下的印象或者说在理解上会更深刻．

（3）关于互为反函数的两个函数图象的关系教材中不要求证明，只要求了解这个结论，虽然要求低，但它却很重要．一方面它从形的角度揭示了互为反函数的两个函数之间的关系，使得对反函数的认识能从数和形两方面把握并解决相关的问题，另一方面在后面研究对数函数时也必须依靠这一结论才能简洁画出对数函数的图象．

【反函数教学设计方案】

教学目标

1．使学生了解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法．

2．通过反函数概念的学习，培养学生分析问题，解决问题的能力及抽象概括的能力．

3．通过反函数的学习，帮助学生树立辨证唯物主义的世界观．

教学重点，难点

重点是反函数概念的形成与认识．

难点是掌握求反函数的方法．

教学用具

投影仪

教学方法

自主学习与启发结合法

教学过程

一．揭示课题

今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数．

1．4．反函数（板书）

（一）反函数的概念（板书）

二．讲解新课

教师首先提出这样一个问题：在函数y＝2x＋1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？（让学生思考后回答，要讲明理由）可以根据函数的定义在y的允许取值范围内的任一值，按照法则都有唯一的x与之相对应．（还可以让学生画出函数的图象，从形的角度解释“任一y对唯一x”）

学生解释后教师指出不管从哪个角度，它都是一个函数，即y＝2x＋1有反函数，而且把这个函数称为y＝2x＋1的反函数．那么这个反函数的解析式是什么呢？

由学生回答出应为．教师再提出它作为函数是没有问题的，但不太符合我们的表示习惯，按习惯用x表示自变量，用y表示因变量，故它又可以改写成y＝，改动之后带来一个新问题：和是同一函数吗？

由学生讨论，并说明理由，要求学生能从函数三要素的角度去认识，并给出解释，让学生真正承认它们是同一函数．并把叫做y＝2x＋1的反函数．继而再提出：有反函数吗？是哪个函数？

学生很快会意识到y＝2x＋1是的反函数，教师可再引申为y＝2x＋1与是互为反函数的．然后利用问题再引申：是不是所有的函数都有反函数呢？如果有，请举出例子．在教师启发下学生可以举出象y＝x2这样的函数，若将y当自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内一个y可能对两个x（可画图辅助说明，当y＝1时，对应x＝±1），不能构成函数，说明此函数没有反函数．

通过刚才的例子，了解了什么是反函数，把对y＝2x＋1的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义，但这个数学的抽象概括，要求比较高，因此我们一起阅读书上相关的内容．

1．反函数的定义：（板书）（用投影仪打出反函数的定义）

为了帮助学生理解，还可以把定义中的y＝f（x），x∈A换成某个具体简单的函数如y＝3x解释每一步骤，如得x＝，再判断它是个函数，最后改写为给出定义后，再对概念作点深入研究．

2．对概念得理解（板书）

教师先提出问题：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言，指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢？（仍可以y＝2x＋1与为例来说）

学生很容易先想到对应法则是“反”过来的，把x与y的位置换位了，教师再追问它们的互换还会带来什么变化？启发学生找出另两个要素之间的关系．最后得出结论：y＝的定义域和值域分别由y＝2x＋1的值域和定义域决定的．再把结论从特殊发展到一般，概括为：反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的．给出的函数确定了，反函数的三要素就已经确定了．简记为“三定”．

（1）“三定”（板书）

然后要求学生把刚才的三定具体化，也就是“反”字的具体体现．由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换．（用投影仪打出互换过程）如图

最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”，“三反”中起决定作用的是x与y的位置的反置，正是由于它的反置，才把它的范围也带走了，引起了另外两“反”．

（2）“三反”（板书）

此时教师可把问题再次引向深入，提出：如果一个函数存在反函数，应怎样求这个反函数呢？下面我给出两个函数，请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数．

例1　求的反函数．（板书）

（由学生说求解过程，有错或不规范之处，暂时不追究，待例2解完之后再一起讲评）

解：由得，∴所求反函数为．（板书）

例2　求f（x）＝x2＋1，（x≥1）的反函数．（板书）

解：由f（x）＝x2＋1得x2＝y－1，又x≥1得，

故所求反函数为．（板书）

求完后教师请同学们作评价，学生之间可以讨论，充分暴露表述中得问题，让学生自行发现，自行解决．最后找代表发表意见，指出例2中问题，结果应为，（x≥2）．

教师可先明知故问，与f－1（x）＝，（x≥2）有什么不同？让学生明确指出两个函数定义域分别是x≥1和x≥2，所以它们是不同的函数．再追问x≥2从何而来呢？让学生能从三定和三反中找出理由，是从原来函数的值域而来．

在此基础上，教师最后明确要求，由于反函数的定义域必是原来函数的值域，而不是从自身解析式出发寻求满足的条件，所以求反函数，就必须先求出原来函数的值域．之后由学生调整刚才的求解过程．

解：由y＝x2＋1得x2＝y－1，又x≥1得

又y＝x2＋1，x≥1的值域是y≥2，

故所求反函数为f－1（x）＝，（x≥2）．

（可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题，此时不妨让学生去具体算一算，会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的，所以使得最后结果没有出错．但教师必须指出结论得一致性只是偶然，而不是必然，因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域，并且在最后所求结果上注明反函数的定义域，同时让学生调整例的表述，将过程补充完整）

最后让学生一起概括求反函数的步骤．

3．求反函数的步骤（板书）

（1）反解：

（2）互换

（3）改写：

对以上环节教师可稍作解释，然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了．

三．巩固练习

练习：求下列函数的反函数．

（1）

（2）．（由两名学生上黑板写）

解答过程略．

教师可针对学生解答中出现的问题，进行讲评．（如正负的选取，值域的计算，符号的使用）

四．小结

1．对反函数概念的认识：

2．求反函数的基本步骤：

五．作业

课本第68页习题2．4第1题中4，6，8，第2题．

六．板书设计

【习题精选】

一、选择题

（1）在同一坐标系中，图象表示同一曲线的是（　）．

（A）y＝f（x）与y＝f－1（x）

（B）x＝f（y）与x＝f－1（y）

（C）y＝f（x）与x＝f－1（y）

（D）y＝f（x）与x＝f（y）

（2）若函数存在反函数，则x的方程f（x）＝m（m为常数）（　）．

（A）至少有一实根

（B）有且仅有一实根(www.xing528.com)

（C）至多有一实根

（D）没有实根

（3）点（a，b）在函数y＝f（x）的图象上，则下列各点中必在其反函数图象上的是（　）．

（A）（a，f－1（a））

（B）（f－1（a），a）

（C）（f－1（b），b）

（D）（b，f－1（b））

【参考答案】

（1）C　（2）C　（3）D

二、填空题

（1）求下列函数的反函数：

①

②

③f（x）＝x2－2x＋2（x≤1）；

④

（2）函数f（x）＝x｜x｜的反函数是_________________．

（3），则f－1（－？的值为___________．

（4）要使函数f（x）＝x2－2ax在［1，2］上存在反函数，则a的取值范围是___________．

（5）若函数有反函数，则实数a的取值范围是___________．

【参考答案】

（1）①

②

③

④

（2）

（3）

（4）a≤0或a≥2

（5）a∈R且

三、解答题

（1）已知函数的图象关于直线y＝x对称，求m的值．

（2）函数f（x）＝ax－2与g（x）＝3x－b的图象关于直线y＝x对称，求常数a，b的值．

【参考答案】

（1）－1　（2），－6

【典型例题】

例1　给出下列函数：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）y＝x｜x｜－x－1．

其中不存在反函数的是_________________．

分析：判断一个函数是否有反函数，从概念上讲即看对函数值域内任意一个y，依照这函数的对应法则，自变量x总有唯一确定的值与之对应，由于这种判断难度较大，故通常对给出的函数的图象进行观察，断定是否具有反函数．

解：（1），（2）都没有问题，对于（3）当时，和，且

对于（4）y＝4时，x＝2和x＝1．对于（5）当y＝－1时，和x＝0．

故（3），（4），（5）均不存在反函数．

说明：从图象上观察，只要看在相应的区间内是否单调即可．

例2　求下列函数的反函数：

（1）

（2）f（x）＝x2－3x，x＜1；

（3）

分析：求反函数时，通常先由给定的解析式y＝f（x）中解出x＝f－1（y），再求出原来的函数的值域，再把x与y互换．

解：（1）由得2x－1＝y2∴，又y＝得值域是［0，＋∞）．

∴

（2）由y＝x2－3x变形得x2－3x－y＝0，∵x＜1∴x＝

又y＝x2－3x，x＜1得值域是y＞－2，

∴

（3）由得x＋1＝y2；∴x＝y2－1由y＝得x＝y2．

又的值域是0≤y＜1，而y＝的值域是－1≤y≤0，

∴

说明：在求解方程时，一定要注意题目中对x的限制条件的使用，分段函数存在反函数时，也应分段求解它的反函数，一般情况下，它的反函数仍然是个分段函数．

例3　已知函数f（x）＝x2－1（x≤－2），求f－1（4）的值．

分析：符号f－1（4）的意义即反函数f－1（x）在x＝4时的值，故可先求f－1（x），再求f－1（4）的值，但如果真正搞清了反函数与原来函数的关系，就会知道它的另一层含义即当原来函数的函数值为4时相应的自变量的取值．

解：令x2－1＝4，解此方程得，再考虑到x≤－2，故

说明：此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系，还能从符号角度认识它们之间的关系，也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法．（此法对于求反函数比较复杂的题目尤为适用）

例4　已知函数f（x）与其反函数f－1（x）是同一个一次函数f（x）＝ax＋b，试指出a，b的所有取值可能．

分析：此题可以有两种求解思路：一是求解f（x）的反函数的解析式，与f（x）＝ax＋b比较，让对应系数相等，列出关于a，b的方程，二是利用两个函数图象的对称性，找对称点，利用点的坐标满足解析式来列方程．

解：由f（x）＝ax＋b知点（0，b）在图象上，则点（b，0）定在f－1的图象上，

于是ab＋b＝0　（1）又f（x）＝ax＋b过点（1，a＋b），则点（a＋b，1）也在f－1的图象上，

于是a（a＋b）＋b＝1　（2）

由（1）得b＝0或a＝－1，当a＝－1时，代入（2），此时（2）恒成立即b∈R；

当b＝0代入（2）解得a＝±1．

综上，a，b的所有取值可能有

说明：此题是反函数概念与方程思想的综合．在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便，而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用，故对此种方法要引起重视．另外此题在最后作答时，要求写出a，b的所有取值可能即要把a的取值与b的取值搭配在一起，所以解方程组时要特别小心这一点．

例5　已知函数f（x＋1）＝x2＋2x－1，x∈［1，2］，求f（x－1）的反函数．

分析：由于已知是f（x＋1），所求是f（x－1）的反函数，因此应首先由f（x＋1）找到f（x），再由f（x）求出f（x－1）的表达式，再求反函数．

解：令x＋1＝u，则x＝u－1，∴f（u）＝（u－1）2＋2（u－1）－1＝u2－2，u∈［2，3］，f（x）＝x2－2，，x∈［2，3］．于是有f（x－1）＝（x－1）2－2＝x2－2x－1，x∈［3，4］．

由y＝x2－2x－1得x2－2x－1－y＝0，由于x∈［3，4］，

∴

又y＝x2－2x－1，x∈［3，4］的值域是［2，7］，

∴f（x－1）的反函数是

说明：此题涉及对抽象函数符号的认识与理解，特别是在换元过程中，相应变量的取值范围也要随之发生改变，这一点是学生经常忽略的问题．

例6　设定义域和值域都是R的函数f（x）的反函数为f－1（x），且对于任意a，b∈R都有f（a＋b）＝f（a）·f（b），

求证：f－1（mn）＝f－1（m）＋f－1（n）对任意m，n∈R也成立．

分析：由函数f（x）的性质推证其反函数的性质，应首先要把f－1（x）的问题转化成f（x）的问题，转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解．

证明：令f－1（m）＝p，f－1（n）＝q，其中m，n∈R，那么p，q∈R．

则有f（p）＝m，f（q）＝n　（1）

由于f（a＋b）＝f（a）·f（b）对任意a，b∈R成立，

∴f（p＋q）＝f（p）·f（q）＝m·n．

由于m，n∈R，则m·n∈R．

故有f－1（mn）＝p＋q，即f－1（mn）＝f－1（m）＋f－1（n）．

说明：使用抽象函数符号进行简单的证明，是提高研究函数性质理论层次的一种要求，对于较好的学生应适当做一些这样的题目．