高一数学设计与课例：第二节-函数定义的必要性与完善

【教学目标】

1．理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域．

（1）了解函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射．能理解函数是由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体．

（2）能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法．了解每种方法的优点．

（3）能正确使用“区间”及相关符号，能正确求解各类函数的定义域．

2．通过函数概念的学习，使学生在符号表示，运算等方面的能力有所提高．

（1）对函数记号y＝f（x）有正确的理解，准确把握其含义，了解f（a）（a为常数）与f（x）的区别与联系；

（2）在求函数定义域中注意运算的合理性与简洁性．

3．通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，是学生能从发展的角度看待数学的学习．

【教学建议】

教材分析

知识结构

重点难点分析

本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念．主要包括对函数的定义，表示法，三要素的作用的理解与认识．教学难点是函数的定义和函数符号的认识与使用．

①由于学生在初中已学习了函数的变量观点下的定义，并具体研究了几类最简单的函数，对函数并不陌生，所以在高中重新定义函数时，重要的是让学生认识到它的优越性，它从根本上揭示了函数的本质，由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将函数与函数解析式区分开来．对这一点的认识对于后面函数的性质的研究都有很大的帮助．

②在本节中首次引入了抽象的函数符号f（x），学生往往只接受具体的函数解析式，而不能接受f（x），所以应让学生从符号的含义认识开始，在符号中，x在法则f下对应f（x），不是f与x的乘积，符号本身就是三要素的体现．由于f所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故函数表示的方法除了解析法以外，还有列表法和图象法．此外f（x）本身还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量．如f（x）＝2ax2（a≠0），它应表示以x为自变量的二次函数，而如果写成y＝2ax2，则我们就不能准确了解谁是变量，谁是常量，当a为变量时，它就不代表二次函数．

教法建议

（1）高中对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸．深化首先体现在函数的定义更具一般性．故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并用变量观点加以解释，教师再给出如：y＝3是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如果从集合与映射的观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要．

（2）对函数是三要素构成的整体的认识，一方面可以通过对符号f（x）的了解与使用来强化，另一方面也可通过判断两个函数是否相同来配合．在这类题目中，可以进一步体现出三要素整体的作用．

（3）关于对分段函数的认识，首先它的出现是一种需要，可以给出一些实际的例子来说明这一点，对自变量不同取值，用不同的解析式表示同一个函数关系，所以是一个函数而不是几个函数，其次还可以举一些数学的例子如y＝｜x｜这样的函数，若利用绝对值的定义它就可以写成，这就是一个分段函数，从这个题中也可以看出分段函数是一个函数．

【教学设计方案】

第二节　函数

教学目标：

1．理解函数的概念，了解函数三要素．

2．通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高．

3．通过函数定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习．

教学重点难点：重点是在映射的基础上理解函数的概念；

难点是对函数抽象符号的认识与使用．

教学用具：投影仪

教学方法：自学研究与启发讨论式．

教学过程：

一、复习与引入

今天我们研究的内容是函数的概念．函数并不象前面学习的集合，映射一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么？学过什么函数？

（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子）

学生举出如y＝x＋1，y＝x2＋3x，y＝等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生．

提问1．y＝3是函数吗？

（由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做y＝0x＋3．）

教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．

二、新课

现在请同学们打开书翻到第50页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约2－3分钟或开始提问）

提问2．新的函数的定义是什么？能否用最简单的语言来概括一下．

学生的回答往往是把书上的定义念一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形式发现定义的本质．

（板书）2．2函数

一、函数的概念

1．定义：如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f∶A→B就叫做A到B的函数，记作y＝f（x）．其中原象集合A称为定义域，象集c（CB）称为值域．

问题3：映射与函数有何关系？（函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？）

引导学生发现，函数是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集．

2．本质：函数是非空数集到非空数集的映射．（板书）

然后让学生试回答刚才关于y＝3是不是函数的问题，要求从映射的角度解释．

此时学生可以清楚的看到A＝R，B＝｛3｝，f∶x→y＝3，x∈A，y∈B满足映射观点下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然．

教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释y＝x2－2x＋3是个函数？

从映射角度看可以是A＝R，B＝R，f∶x→y＝x2＋2x＋3，x∈A，y∈B其中定义域是R值域是C＝｛y｜y≥2｝．

从刚才的分析可以看出，映射观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质．这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从映射角度再来认识函数．

3．函数的三要素及其作用（板书）

函数是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．

例1　以下关系式表示函数吗？为什么？

（1）

（2）

解：（1）由f（x）有意义得，解得x∈Ø．由于定义域是空集，故它不能表示函数．

（2）由f（x）有意义得，解得x＝2．定义域为｛2｝，值域为｛0｝．

由以上两题可以看出三要素的作用

（1）判断一个函数关系是否存在．（板书）

例2　下列各函数中，哪一个函数与y＝2x－1是同一个函数．

（1）；　（2）y＝2x－1，（x＞0）；　（3）u＝2v－1；　（4）

解：先认清y＝2x－1，它是A＝R（定义域）到B＝R（值域）的映射，其中f∶y＝2x－1，x∈A，y∈B．

再看（1）定义域为x∈R且，是不同的；　（2）定义域为x＞0，是不同的；

（4），法则是不同的；

而（3）定义域是R，值域是R，法则是乘2减1，与y＝2x－1完全相同．

求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用．

（2）判断两个函数是否相同．（板书）

下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号f（x）说起．

4．对函数符号f（x）的理解（板书）

首先让学生知道y＝f（x）与f（x）的含义是一样的，它们都表示y是x的函数，其中x是自变量，f（x）是函数值，连接的纽带是法则f，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．下面我们举例说明．

例3　已知函数f（x）＝3x－2，试求f（3），f（a）（板书）

分析：首先让学生认清f（3）的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算．

含义1：当自变量c取3时，对应的函数值即f（3）；

含义2：定义域中原象3的象f（3），根据求象的方法知f（3）＝3×3－2＝7．而f（a）应表示原象a的象，即f（a）＝3a－2．

计算之后，要求学生了解f（a）与f（x）的区别，f（a）是常量，而f（x）是变量，f（a）只是f（x）中一个特殊值．

最后指出在刚才的题目中f（x）是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数f（x）不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究．

三、小结

1．函数的定义

2．对函数三要素的认识

3．对函数符号的认识

四、作业：略(www.xing528.com)

五、板书设计

【习题精选】

（1）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（　）．

（A）

（B）

（C）f（x）＝x＋1，x∈R，g（x）＝x＋1，x∈Z

（D）

（2）设M＝｛x｜－2≤x≤2｝，N＝｛y｜0≤y≤2｝，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（　）．

（3）给定映射f∶（x，y）→（，x＋y），在映射f下象（2，3）的原象是（a，b），则函数f（x）＝ax2＋bx－3的顶点坐标是___________．

（4）求下列函数的定义域

①；　②

③

（5）已知，则f（3）＝___________．

（6）求下列函数的值域：

①y＝－x2＋x＋2；

②y＝3－2x，x∈［－2，9］；

③y＝x2－2x－3，x∈［－1，2］；

④

（7）已知函数f（x）满足f（a）＋f（b）＝f（ab），且f（2）＝p，f（3）＝q，那么f（72）等于（　）．

（A）p＋q　（B）3p＋2q

（C）2p＋3q　（D）p3＋q2

（8）已知函数的定义域为｛x｜1≤x≤2｝．则a，b的值分别为__________．

（9）已知f（x）＝｜x＋1｜－［x－1［，且f［f（m）］＝f（1998）－，则实数m的值为__________．

（10）半径为R的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x之间的函数式，并求它的定义域．

答案：

（1）B；　（2）B；　（3）

（4）①（－1，1）∪（1，2）　②R　③（－∞，0）；　（5）2；

（6）①（－　∞，］　②［－15，7］　③［－4，0）　④［－4，＋∞）；

（7）B；　（8）－，－3；　（9）－；

（10）

【典型例题】

例1　判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由．

（1）y＝x－1，x∈R与y＝x－1，x∈N；

（2）

（3）

（4）

（5）

分析：判断两个函数是否相同，应着眼于两个函数的定义域和对应法则的比较，而求定义域时应让原始的解析式有意义，而不能进行任何非等价变换，对应法则的判断需判断它的本质是否相同而不是从表面形式上下结论．

解：（1）不同，因为它们定义域不同．

（2）不同，前者的定义域是x≥2或x≤－2，后者的定义域是x≥2．

（3）相同，定义域均为非零实数，对应法则都是自变量取倒数后加1．

（4）不同，定义域是相同的，但对应法则不同．

（4）相同，将y＝2｜x｜利用绝对值定义去掉绝对值结果就是

说明：此题的目的在于强化函数是三要素构成的整体，且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的，判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同，同时提醒学生，认识函数对应法则必须认清它的本质，而不是从表面上做判断．

例2　已知集合p＝｛（x，y）｜y＝2x2＋3x＋1，－2≤x≤3｝，Q＝｛（x，y）｜x＝a，y∈R｝，那么集合P∩Q中所含元素个数为（　）．

（A）0　（B）1　（C）0或1　（D）1或2

分析：此题是以集合语言表述的问题，解决问题的第一步在于集合语言的翻译与理解，然后结合函数概念在运动变化过程中进行研究，求解时，可以先从形的角度，再从数的角度提高认识．

解：从函数观点看，两个集合的交集中所包含的元素的个数，从数的角度即在y＝2x2＋3x＋1，x∈［－2，3］中，令x＝a，看有几个相应的y与之对应；从形的角度即y＝2x2＋3x＋1，x∈［－2，3］的图象与直线x＝a有几个公共点，由于a是不确定的，

于是当a∈［－2，3］时，有一个交点，当a［－2，3］时，则没有交点，所以应选（C）．

说明：此题目的在于进一步认识函数概念本质，纠正只注意对应法则而忽视定义域作用的毛病，而且还应从数和形两角度认识问题，解决问题．

例3　求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式．

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）f（x）＝x2－2，（2≤x≤8）；

（6）f（x）＝2πr，（r为圆的半径）

分析：求定义域即使y＝f（x）的解析式有意义，其中要注意有实际背景的问题和人为限制因素对定义域的影响．

解：（1）使f（x）有意义应满足

故函数的定义域为

（2）使f（x）有意义应满足故函数定义域为

（3）使f（x）有意义应满足x∈R．故函数定义域为（－∞，＋∞）．

（4）分段函数的定义域为［0，1］∪（1，2）∪［2，＋∞）＝［0，＋∞）．

（5）由于2≤y≤8，所以2≤x2－2≤8－≤x≤－2或2≤x．

故定义域为［－，－2］∪［2，］．

（6）从f（x）有意义的角度对r没有限制，但由于r使圆的半径，应使非负数，故函数定义域为［0，＋∞）．

说明：此题的目的一方面掌握求定义域的基本方法，熟悉用区间表示集合，另一方面包含对分段函数定义域的认识及有人为限制的问题求定义域应注意的问题．

例4　画出下列函数的图象

（1）y＝x2－2，x∈Z且｜x｜≤2；

（2）y＝－2x2＋3x，x∈（0，2］；

（3）y＝x｜2－x｜；

（4）

分析：对于常见函数由于其特征学生很熟悉，故一般只要选几个关键点，但要注意人为限制的定义域对图象的影响．对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上格外注意．

解：如图所示：

例5　某商场饮料促销，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8．5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7．5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数与所支付的费用之间的函数关系，并画出其图象．

分析：阅读理解题意是解此题的第一步，其次注意题目的限制条件对定义域的制约．

解：由题意可得，如图：

说明：一方面提高应用意识，另一方面体会函数图象的特点可以是一群孤立的点．

例6　若f（x）＝f（－x）·x＋10，求f（10）的值．

分析：既然求f（10），当然应在已知中令x＝10得f（10）＝（－10）10＋10，从方程的观点看，把f（10）和f（－10）都当作未知数而要求得f（10）的值，还须再找出另一个f（10）与f（－10）的方程．

解：另x＝10得f（10）＝（－10）10＋10，另x＝－10，得f（－10）＝f（10）·（－10）＋10．由此消去f（－10），解得f（10）＝1．

说明：把抽象函数记号与方程思想融与一体，深刻体会两者之间的关系是此题的主要目的．