高一数学：映射中的唯一对应关系

【教学目标】

1．了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．

（1）明确映射是特殊的对应即由集合，集合和对应法则f三者构成的一个整体，知道映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；

（2）能准确使用数学符号表示映射，把握映射与一一映射的区别；

（3）会求给定映射的指定元素的象与原象，了解求象与原象的方法．

2．在概念形成过程中，培养学生的观察，比较和归纳的能力．

3．通过映射概念的学习，逐步提高学生对知识的探究能力．

【教学建议】

教材分析

知识结构

映射是一种特殊的对应，一一映射又是一种特殊的映射，而且函数也是特殊的映射，它们之间的关系可以通过下图表示出来，如图：

由此我们可从集合的包含关系中帮助我们把握相关概念间的区别与联系．

重点，难点分析

本节的教学重点和难点是映射和一一映射概念的形成与认识．

①映射的概念是比较抽象的概念，它是在初中所学对应的基础上发展而来．教学中应特别强调对应集合B中的唯一这点要求的理解；

映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和多对多．其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任一对唯一”．

②而一一映射又在映射的基础上增加新的要求，决定了它在学习中是比较困难的．

教法建议

（1）在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对一、一对一四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识．

（2）在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射，比如：

A＝B，B＝R＋f∶x→y＝x2＋1，x∈A，y∈B．

这种表示方法比较简明，抽象，且能看到三者之间的关系．除此之外，映射的一般表示方法为f∶A→B，从这个符号中也能看到映射是由三部分构成的整体，这对后面认识函数是三件事构成的整体是非常有帮助的．

（3）对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括．最后再让学生举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢，引出一一映射概念．

（4）关于求象和原象的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原象的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况（有唯一解，无解或有无数解）加深对映射的认识．

（5）在教学方法上可以采用启发，讨论的形式，让学生在实例中去观察，比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例，计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用．

【教学设计方案】

第一节　映射

教学目标

（1）了解映射的概念，象与原象及一一映射的概念．

（2）在概念形成过程中，培养学生的观察，分析对比，归纳的能力．

（3）通过映射概念的学习，逐步提高学生的探究能力．

教学重点难点：映射概念的形成与认识．

教学用具：实物投影仪

教学方法：启发讨论式

教学过程：

一、引入

在初中，我们已经初步探讨了函数的定义并研究了几类简单的常见函数．在高中，将利用前面集合有关知识，利用映射的观点给出函数的定义．那么映射是什么呢？这就是我们今天要详细的概念．

二、新课

在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，而映射是重点研究两个集合的元素与元素之间的对应关系．这要先从我们熟悉的对应说起（用投影仪打出一些对应关系，共6个）

我们今天要研究的是一类特殊的对应，特殊在什么地方呢？

提问1：在这些对应中有哪些是让A中元素就对应B中唯一一个元素？

让学生仔细观察后由学生回答，对有争议的，或漏选，多选的可详细说明理由进行讨论．最后得出（1），（2），（5），（6）是符合条件的（用投影仪将这几个集中在一起）

提问2：能用自己的语言描述一下这几个对应的共性吗？

经过师生共同推敲，将映射的定义引出．（主体内容由学生完成，教师做必要的补充）

（板书）

一．映射

1．定义：一般地，设A，B两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B及A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记作f∶A→B．

定义给出之后，教师应及时强调映射是特殊的对应，故是三部分构成的一个整体，从映射的符号表示中也可看出这一点，它的特殊之处在于元素与元素之间的对应必须作到“任一对唯一”，同时指出具有对应关系的元素即A中元素a对应b中元素b，则b叫a的象，a叫b的原象．

（板书）

2．象与原象

可以用前面的例子具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象．

提问3：下面请同学根据自己对映射的理解举几个映射的例子，看对映射是否真正认识了．

（开始时只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是无限集，或生活中的例子等）由学生自己评判．之后教师再给出几个（主要是补充学生举例类型的不足）

（1）＋1，x∈A，y∈B．

（2）A＝R，B＝R，f∶x→y＝2x－1，x∈A，y∈B．

（3）A＝N＋，B＝｛0，1，2｝，f∶除以3的余数．

（4）A＝｛高一1班同学｝，B＝｛入学是数学考试成绩｝，f∶对自己的考试成绩．

在学生作出判断之后，引导学生发现映射的性质（教师适当提出研究方向由学生说，再由老师概括）

（板书）3．对概念的认识

（1）f∶A→B与f∶B→A是不同的，即A与B上有序的．

（2）象的集合是集合B的子集．

（3）集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合．

在刚才研究的基础上，教师再提出（2）和（4）有什么共性，能否把它描述出来，如果学生不能找出共性，教师可再给出几个例子，（用投影仪打出）

如：（1）

（2）A＝R，B＝｛数轴上的点｝，f∶实数与数轴上相应的点对应．

（3）A＝｛中国，日本，韩国｝，B＝｛北京，东京，汉城｝，f∶相应国家的首都．

引导学生在元素之间的对应关系和元素个数上找共性，由学生提出两点共性集合A中不同的元素对集合B中不同的元素；②B中所有元素都有原象．

那么满足以上条件的映射又是一种特殊的映射，称之为一一映射．

（板书）4．一一映射

（1）定义：设A，B是两个集合，f∶A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下对于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．

给出定义后，可再返回到刚才的例子，让学生比较它与映射的区别，从而进一步明确“一一”的含义．然后再安排一个例题．(www.xing528.com)

例1　下列各表表示集合A（元素a）到集合B（元素b）的一个映射，判断这些映射是不是A到B上的一一映射．

图一

图二

图三

图四

其中只有第三个表可以表示一一映射，由此例点明一一映射的特点

（板书）（2）特点：两个集合间元素是一对一的关系，不同的对的也一定是不同的（元素个数相同）；集合B与象集C是相等的集合．

对于映射我们现在了解了它的定义及特殊的映射一一映射，除此之外对于映射还要求能求出指定元素的象与原象．

（板书）5．求象与原象．

例2　（1）从R到R＋的映射f∶x→｜x｜＋1，则R中的－1在R＋中的象是___________；R＋中的4在R中的原象是___________．

（2）在给定的映射f∶（x，y）→（x＋y，x－y）下，则点（1，2）在f下的象是__________，点（1，2）在f下的原象是___________．

（3）f∶A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝R，f∶x→x2－2x－1则A中___________元素1＋的象是___________，B中象0的原象是___________，B中象－6的原象是__________．

由学生先回答第（1）小题，之后让学生自己总结一下，应用什么方法求象和原象，学生找到方法后，再在方法的指导下求解另外两题，若出现问题，教师予以点评，最后小结求象用代入法，求原象用解方程或解方程组．

注意：所解的方程解的情况可能有多种如有唯一解，也可能无解，可能有无数解，这与映射的定义也是相吻合的．但如果是一一映射，则方程一定有唯一解．

三、小结

1．映射是特殊的对应

2．一一映射是特殊的映射．

3．掌握求象与原象的方法．

四、作业：略

五、板书设计

【习题精选】

（1）设集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，从A到B的对应法则f不是映射的是（　）．

（A）f∶x→y＝

（B）f∶x→y＝

（C）f∶x→y＝

（D）f∶x→y＝

（2）已知映射f∶A→B，其中集合A＝｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是｜a｜，则集合B中元素的个数最少是__________．

（3）设集合M＝｛x｜0≤x≤1｝，N＝｛y｜0≤y≤1｝．下列四个图象中，表示从M到N的映射的是（　）．

（4）已知从R到R的映射f∶（x，y）→（x＋y，xy），则（8，15）的原象是__________．

（5）已知从A到B的映射是x→2x＋1，从B到C的映射是y→－1，其中A，B，CR，则从A到B的映射是__________．

（6）已知集合A＝｛1，2，3，k｝，B＝｛4，7，a4，a2＋3a｝，

且a，k∈N，x∈A，y∈B，f∶x→y＝3x＋1是由A到B的一一映射，求a，k的值．

答案：（1）A；　（2）4；　（3）B；　（4）（3，5）或（5，3）；　（5）x→x－；　（6）a＝2，k＝5

【典型例题】

例1　下列集合到集合的对应中，判断哪些是到的映射？判断哪些是到的一一映射？

（1）A＝N，B＝Z，对应法则f∶x→y＝－x，x∈A，y∈B．

（2）A＝R＋，B＝R＋，f∶x→y＝，x∈A，y∈B．

（3）A＝｛a｜0°≤a≤90°｝，B＝｛x｜0≤x≤1｝，对应法则f∶取正弦．

（4）A＝N＋，B＝｛0，1｝，对应法则f∶除以2得的余数．

（5）A＝｛－4，－1，1，4｝，B＝｛－2，－1，1，2｝，对应法则f∶x→y＝｜x｜2，x∈A，y∈B．

（6）A＝｛平面内边长不同的等边三解形｝，B＝｛平面内半径不同国｝，对应法则f∶作等边三角形的内切圆．

分析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致，周全．

解：（1）是映射，不是一一映射，因为集合B中有些元素（正整数）没有原象．

（2）是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数．

（3）是映射，是一一映射，因为集合A中的角的正弦值各不相同，且集合B中每一个值都可以是集合A中角的正弦值．

（4）是映射，不是一一映射，因为集合A中不同元素对应集合B中相同的元素．

（5）不是映射，因为集合A中的元素（如4）对应集合B中两个元素（2和－2）．

（6）是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆．边长不同，圆的半径也不同．

说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合A，集合B及对应法则f有哪些具体要求，包括对法则f是数学符号语言给出时的理解．

例2　给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有__________．

（1）B中任何一个元素在A中必有原象；

（2）A中不同元素在B中的象也不同；

（3）A中任何一个元素在B中的象是唯一的；

（4）A中任何一个元素在B中可以有不同的象；

（5）B中某一元素在A中的原象可能不止一个；

（6）集合A与B一定是数集；

（7）记号f∶A→B与f∶B→A的含义是一样的．

分析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借助具体的例子来帮助．

解：（1）不对　（2）不对　（3）对　（4）不对　（5）对　（6）不对　（7）不对

说明：对此题的判断可以将映射中隐含的特点都描述出来，对映射的认识更加全面，准确．

例3　（1）A＝N，B＝R，f∶x→y＝，x∈A，y∈B．在f的作用下，的原象是多少？14的象是多少？

（2）设集合A＝N，B＝｛偶数｝，映射f∶A→B把集合A中的元素a映射到集合B中的元素a2－a，则在映射f下，象20的原象是多少？

（3）f∶A→B是从A到B的映射，其中A＝R，B＝｛（x，y）｜x，y∈R｝，f∶x→（x＋1，x2＋1），则A中元素的象是多少？B中元素（2，2）的原象是多少？

分析：通过此题让学生不仅会求指定元素象与原象，而且明确求象与原象的方法．

解：（1）由，解得x＝6，故的原象是6；

又，故14的象是

（2）由a2－a＝20解得a＝5或a＝－4，又a∈N，故a＝5即20的原象是5．

（3）的象是（＋1，3），由解得x＝1，故（2，2）的原象是1．

说明：此题主要作用在于明确利用代入法求指定元素的象，而求原象则需解方程或方程组．在本题中第（2）小题和第（3）小题在求象时，对a和x的制约条件都是两条，应解方程组，且还可以对方程组解的情况进行讨论（无解，有唯一解，无数解）．其中第（3）小题集合B中的元素应是二元数（有序数对），计算出的象必须写成有序数对的形式，所以求原象时必须先认清集合的特征．