数学设计与课例：充分与必要条件

【教学目标】

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；

（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

【教学建议】

教材分析

知识结构

首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．

重点难点分析

本节的重点与难点是关于充要条件的判断．

（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的因果关系．

（2）在判断条件p和结论q之间的因果关系中应该：

①首先分清条件是什么，结论是什么；

②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；

③最后再指出条件是结论的什么条件．

（3）在讨论条件p和条件q的关系时，要注意：

①若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若pq，且﹁p﹁q，则p是q的充要条件；

⑤若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

（4）若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．

①若AB，则p是q的充分条件；

显然，要使元素x∈B，只需就够了x∈A．类似地还有：

②若AB，则p是q的必要条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若AB，且AB，则p是q的既不必要也不充分条件．

（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

教法建议

1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的p，q要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若a则b”形式的复合命题．

2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．

3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．

4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．

【教学设计示例】

充要条件

教学目标：

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；

（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

教学重点难点：关于充要条件的判断

教学用具：幻灯机或实物投影仪

教学过程设计

1．复习引入

练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

（1）若x≥1，则x2≥1；

（2）若x2＝y2，则x＝y；

（3）全等三角形的面积相等；

（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

（5）若ab＝0，则a＝0；

（6）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等的实数解，则b2－4ac＞0．

（学生口答，教师板书．）

（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

对于命题“若p，则q”，如果由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作pq．

2．讲授新课

（板书充分条件的定义．）

一般地，如果已知pq，那么我们就说p是q成立的充分条件．

提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

（1）“x≥1，”是“x2≥1”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

（3）“方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的有两个不等的实数解”是“b2－4ac＞0”成立的充分条件．

从另一个角度看，如果pq成立，那么其逆否命题﹁p﹁q也成立，即如果没有q，也就没有p，亦即q是p成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

（学生口答）．

（1）因为x≥1x2≥1，所以x≥1是x2≥1的充分条件，x2≥1是x≥1的必要条件；

（2）因为x2＝y2x＝y，所以x2＝y2是x＝y的必要条件，x＝y是x2＝y2的充分条件；

（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

（5）因为ab＝0a＝0，所以ab＝0是a＝0的必要条件，a＝0是ab＝0的充分条件；

（6）因为“方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的有两个不等的实根”“b2－4ac＞0”，而且“方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的有两个不等的实根”“b2－4ac＞0”，所以“方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的有两个不等的实根”是“b2－4ac＞0”充分条件，而且是必要条件．

总结：如果p是q的充分条件，p又是q的必要条件，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作pq．

（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

例1　（用投影仪投影．）

（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）

①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

②x＞5一定能推出x＞3，而x＞3不一定推出x＞5，所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

③m、n是奇数，那么m＋n一定是偶数；m＋n是偶数，m、n不一定都是奇数（可能都为偶数），所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

④a≥b表示a＞b或a＝b，所以a≥b是a＞b成立的必要非充分条件；

⑤由交集的定义可知x∈A且x∈B是x∈A∩B成立的充要条件；

⑥由ab≠0知a≠0且b≠0，所以ab≠0是a≠0成立的充分非必要条件；

⑦由（x＋1）（y－2）＝0知x＝－1或y＝2，所以（x＋1）（y－2）＝0是x＝－1，y＝2成立的必要非充分条件；

⑧易知“m是4的倍数”是“m是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；

（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）

例2　已知α是β的充要条件，S是r的必要条件同时又是β的充分条件，试α与r的关系．（投影）

解：由已知得

αβSr，

所以r是α的充分条件，α或r是的必要条件．

4．小结回授(www.xing528.com)

今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．

课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第35页练习l、2；第36页练习l、2．

（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）

5．课外作业：教材第36页

习题1．8　1、2、3．

【习题精选】

一、填空题

1．“a＞b＞c”是“（a－b）（b－c）（c－a）＜0”的___________条件．

2．“集合AB，BC，CA”是“集合A＝B＝C”的___________条件．

3．“a∈R，｜a｜＜1”是“方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1”的___________条件．

二、解答题

1．指出一次函数y＝－2x＋a2与的图象的交点落在第一象限的充要条件．

2．求关于x的一元二次不等式ax2＋1＞ax对于一切实数x都成立的充要条件．

【参考答案】

一、填空题

1．充分但不必要条件．　2．充要条件．　3．充分但不必要条件．提示：设f（x）＝x2＋（a2－1）x＋a－2，则f（1）＝a2＋a－2＜0，－2＜a＜1．

二、解答题

1．充要条件是

2．充要条件是0＜a＜4

【典型例题】

例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种）．

（1）p：四边形对角线互相平分；q：四边形是矩形．

（2）p：c＝0；q：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过原点．

（3）p：0＜x＜3；q：｜x－1｜＜2．

（4）p：方程ax2＋bx＋c有一根为1；q：a＋b＋c＝0（a，b，c，∈R）．

（5）p：m＞0；q：方程x2＋x－m＝0有实根．

（6）p：ABS；q（CSBCSA）．

解：（1）四边形对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形四边形对角线互相平分．所以p是q的必要而不充分条件．

（2）c＝0抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过原点，

抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过原点c＝0．

所以p是q的充要条件．

（3）0＜x＜3｜x－1｜＜2，｜x－1｜＜20＜x＜3．

所以p是q的充分而不必要条件．

（4）方程有一根为．

方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1a＋b＋c＝0（a，b，c，∈R）．

a＋b＋c＝0（a，b，c，∈R）方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1．

所以p是q的充要条件．

（5）m＞0方程x2＋x－m＝0有实根，方程x2＋x－m＝0有实根m＞0．

所以p是q的充分而不必要条件．

图1－13

（6）利用集合的图示法（图1—13），知

ABS（C，B）（C，A），（C，B）（C，A）ABS．

所以p是q的充要条件．

注意，第（5）小题也可从集合观点入手研究其充分必要性．实际上，

p：A＝｛m∈R｜m＞0｝，

q：B＝｛m∈R｜方程x2＋x－m＝0有实根｝＝

因为AB，所以p是q的充分而不必要条件．请用集合观点解答第（3）小题．

例2　已知关于x的一元二次方程（m∈Z）

mx2－4x＋4＝0　①

x2－4mx－4m2－4m－5＝0　②

求方程①和②的根都是整数的充要条件．

解：方程①有实数根的充要条件是△＝16－4·4·m≥0，解得m≤1；

方程②有实数根的充要条件是△16m2－4（4m2－4m－5）≥0，解得m≥－．

所以－≤m≤1．而m∈Z，得m＝－1，或m＝0，或m＝1．

当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；

当m＝0时，方程②为x2－5＝0，无整数根；

当m＝1时，方程①为x2＋4x＋4＝0，方程②为x2＋4x－5＝0，①和②的根都是整数．

从而，①和②的根都是整数m＝1；反之，m＝1①和②的根都是整数．

所以方程①和②的根都是整数的充要条件是m＝1．

例3　设关于x的一元二次不等式，mx2－mx＋1＞0对一切实数均成立，求m的取值范围．

解：一元二次不等式mx2－mx＋1＞0，对一切x∈R恒成立二次函数y＝mx2－mx＋1的图像全在x轴上方

注：这里“m的取值范围：0＜m＜4”就是“二次不等式mx2－mx＋1＞0对一切实数x都成立”的充要条件．

有些问题（如求字母m的取值范围），我们必须通过等价变换，才能获得正确结果，这里的“等价变换”与“充要条件”是紧密相连的．我们所熟悉的解方程（或不等式）的过程，实质上是等价变换的过程．

例4　“p且q为真”是“p或q为真”的（　）

（A）充分不必要条件．

（B）必要不充分条件．

（C）充要条件．

（D）既不充分又不必要条件．

解：“p且q为真”，就是p和q都为真，所以p或q为真，即p且q为真p或q为真．

“p或q为真”，即p为真或q为真，p与q不一定同时为真，所以，p或q为真p且q为真．

所以“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件．

例5　若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？

解：由题意，分析如下图所示．

根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件．

常见错误及分析：

错解1：由图知，甲是丙的充分不必要条件，产生错误的原因是把“甲乙”理解成了

错解2：判为“乙是丁的充分条件”．产生错误的原因是只看出“乙丁”，而没有根据推理“丁丙乙”得出“丁乙”．

例6已知p：－2≤x≤10；q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）．若﹁p是﹁q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

点拨：可以有两个思路：

（1）先求出﹁p和﹁q，然后根据﹁p﹁q，﹁q﹁p，求得m的取值范围；

（2）若原命题为“若﹁q，则﹁p”，其逆否命题是“若p则q”，由于它们是等价的，可以把求﹁p是﹁p的必要而不充分条件等价转换为求p是q的充分而不必要条件．

解法一：求出﹁p：A＝｛x∈R｜x＞0，或x＜－2｝，

﹁q：B＝｛x∈R｜x＞1＋m，或x＜1－m，m＞0｝．

由﹁p是﹁q的必要而不充分条件，知BA，

同样解得　的取值范围是m＞9．

解法二：根据思路二，﹁p是﹁q的必要而不充分条件，等价于p是q的充分而不必要条件．设

p：A＝｛x∈R｜－2≤x≤10｝；

q：B＝｛x∈R｜1－m≤x≤1＋m，m＞0｝；

同样解得m的取值范围是m＞9．