同位角相等，逆命题亦真，但正方形四边相等不能构成真逆命题

【教学目标】

（1）理解四种命题的概念；

（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；

（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；

（4）初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤；

（5）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；

（6）通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育；

（7）培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力．

【教学建议】

教材分析

知识结构

首先从初中数学的命题知识出发，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，介绍反证法．

重点难点分析

重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用．

（1）四种命题概念

①交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

用p和q分别表示原命题的条件和结论，用﹁p和﹁q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：

原命题　若p则q；

逆命题　若q则p；

否命题　若﹁p则﹁q；

逆否命题　若﹁q则﹁p．

这样就得到了四种命题．

（2）四种命题都是以“若p则q”的形式出现，这也是一种复合命题，其中的p和q，可以是命题，也可以是一般的不能判断真假的语句．例如命题“若x≠1，则（x－1）2＞0”，其中的p和q均不是简单命题．我们只需分清命题“若p则q”中的条件和结论是什么就可以了，不必考虑p和q是否是命题．这是复合命题“若p则q”与复合命题“p或q”、“p且q”、“非p”的重要区别之一．

一般不研究p，q中也含有逻辑联结词的“若p则q”形式的命题的否命题和逆否命题，例如一般不要求写出命题“若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形或矩形”的否命题和逆否命题．

（3）一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真；

②原命题为真，它的否命题不一定为真；

③原命题为真，它的逆否命题一定为真；

④原命题的逆命题为真，原命题的否命题一定为真．

可见，四种命题真假的个数是偶数，即0，2，4个．

判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假不能用课本上的真值表，可采用下列办法：

若由p经过推理能得出q，则可确定“若p则q”是真命题；确定“若p则q”是假命题，只需举出一个反例．

（4）用反证法证明命题的一般步骤是：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若p则q”为真．这种证明的方法就是反证法．学习反证法，一方面要加强对代数命题的训练，另一方面要注意控制难度，对反证法的掌握，并非一朝一夕的事，必须随着学习的深入，逐步提高．

反证法的运用关键是注意以下问题：

（1）准确的作出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提；

（2）在推论时，注意如何导致矛盾；

（3）明确哪些类型的数学命题宜用反证法来证明．

教法建议

1．从初中学过的命题与逆命题的知识引入，多举学生学过的命题与逆命题的实例，如平面几何的一些定理或结论，然后结合实例得出否命题与逆否命题的概念；

2．教师要根据学生的具体情况，制订具体的教学过程和教学内容．

对于学生程度较差的情况，应注意抓住重点内容，以教师多举一些实例为主，在具体分析实例的基础上进行抽象提炼，注意加强基本的训练．

对于学有余力的学生，要以学生举例为主，充分调动学生积极主动性，展开讨论，以学生探索，教师引导总结为主，在课时允许的情况下，还可以适当补充以下两条性质，知道并理解下面两条性质还是有用处的：

（1）“p或q”的否定是“﹁p且﹁q”；

（2）“p且q”的否定是“﹁p或﹁q”．

这两条性质可以借助于集会知识帮助领悟和记忆：

例　已知全集S＝R．

（1）若A＝｛x∈S｜x＞－3且x≤2｝，求CSA．

（2）若A＝｛x∈S｜x≤－3或x＞2｝，求CSA．

借助数轴观察，不难得出结论，如图，

（1）CSA＝｛x∈S｜x≤－3或x＞2｝；

（2）CSA＝｛x∈S｜x＞－3且x≤2｝．

【教学设计方案】

第七节　四种命题

教学目标

（1）理解四种命题的概念；

（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；

（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；

（4）初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤；

（5）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；

（6）通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育；

（7）培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力．

教学重点和难点

重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用．

教学过程设计

第一课时：四种命题

一、导入新课

练习：1．把下列命题改写成“若p则q”的形式：

（l）同位角相等，两直线平行；

（2）正方形的四条边相等．

2．什么叫互逆命题？上述命题的逆命题是什么？

将命题写成“若p则q”的形式，关键是找到命题的条件p与结论q．

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互道命题．

上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等，则它是正方形”和“若两条直线平行，则同位角相等”．

值得指出的是原命题和逆命题是相对的．我们也可以把逆命题当成原命题，去求它的逆命题．

3．原命题真，逆命题一定真吗？

“同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真．

学生活动：

口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．

设计意图：

通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础．

二、新课

设问：命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？

讲述：可以将原命题的条件和结论分别否定，构成“同位角不相等，则两直线不平行”，这个命题叫原命题的否命题．

提问：你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗？

学生活动：

口答：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．

教师活动：

讲述：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

若用p和q分别表示原命题的条件和结论，用﹁p和﹁q分别表示p和q的否定．

板书：原命题：若p则q；

否命题：若﹁p则﹁q．

提问：原命题真，否命题一定真吗？举例说明？

学生活动：

讲论后回答：

原命题“同位角相等，两直线平行”真，它的否命题“同位角不相等，两直线不平行”不真．

原命题“正方形的四条边相等”真，它的否命题“若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等”不真．

由此可以得原命题真，它的否命题不一定真．

设计意图：

通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成否命题及判断它们的真假，调动学生学习的积极性．

教师活动：

提问：命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题和否命题外，还可以不可以构成别的命题？

学生活动：

讨论后回答

总结：可以将这个命题的条件和结论互换后再分别将新的条件和结论分别否定构成命题“两条直线不平行，则同位角不相等”，这个命题叫原命题的逆否命题．

教师活动：

提问：原命题“正方形的四条边相等”的逆否命题是什么？

学生活动：

口答：若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形．

教师活动：

讲述：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题．

原命题是“若p则q”，则逆否命题为“若﹁q则﹁p．

提问：“两条直线不平行，则同位角不相等”是否真？“若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形”是否真？若原命题真，逆否命题是否也真？

学生活动：

讨论后回答

这两个逆否命题都真．

原命题真，逆否命题也真．

教师活动：

提问：原命题的真假与其他三种命题的真

假有什么关系？举例加以说明？

总结：1．原命题为真，它的逆命题不一定为真．

2．原命题为真，它的否命题不一定为真．

3．原命题为真，它的逆否命题一定为真．

设计意图：

通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成逆否命题及判断它们的真假，调动学生学的积极性．

教师活动：

三、课堂练习

1．设原命题是“若a＝0，则ab＝0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．

学生活动：

笔答：

逆命题“若ab＝0，则a＝0”．逆命题是假命题．

否命题“若a≠0，则ab≠0”．否命题是假命题．

逆否命题“若ab≠0，则a≠0”．逆否命题是真命题．

教师活动：

2．设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否定命与逆否命题，并分别判断它们的真假．

学生活动：

笔答

逆命题“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”．

否命题“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”．否命题为真．

逆否命题“当时，若，则”．逆否命题为真．

设计意图：

通过练习巩固由原命题构成否命题、逆否命题及判断它的真假的能力．

教师活动：

总结：“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该将“当c＞0时”写在前面．原命题的条件是，结论是ac＞bc

“a＞b”的否定是“a≤b”，而不是“a＜b”，同样“ac＞bc”的否定是“ac≤bc”，而不是“ac＜bc”．

投影：

3．填图

1．若原命题是“若p则q”，其它三种命题的形式怎样表示？请写在方框内？

学生活动：笔答

教师活动：

2．根据上图所给出的箭头，写出箭头两头命题之间的关系？举例加以说明？

学生活动：讨论后回答

设计意图：

通过学生自己填图，使学生掌握四种命题的形式和它们之间的关系．

教师活动：

四、小结

四种命题的形式和关系如下图：

由原命题构成道命题只要将p和q换位就可以．由原命题构成否命题只要p和q分别否定为﹁p和﹁q，但p和q不必换位．由原命题构成逆否命题时不但要将p和q换位，而且要将换位后的p和q否定．

原命题为真，它的逆命题不一定为真．

原命题为真，它的否命题不一定为真．

原命题为真，它的逆否命题一定为真．

因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式一一加以讨论．

教师活动：

五、作业

1．阅读课本　四种命题．

2．四种命题，练习（31页）1、2，练习（32页）1、2

3．习题1、2、3、4

第二课时：反证法

一、导入新课

提问：初中我们学过反证法，你能回答出用反证法证明命题的一般步骤吗？(www.xing528.com)

学生活动：

口答：

（l）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

设计意图：

复习旧知识，为学习反证法铺平道路．

教师活动：

导入：同学们对反证法这种间接证法不像学过的直接证法如综合法、分析法那样熟悉，感到抽象、难懂，让我们举出一例对反证法加以介绍．

我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日．

这个问题若用直接证法来解决是有困难的，我们可以运用反证法．

运用反证法证明这个问题首先是根据“至少有两个学生在同一天过生日”的反面是“任何两个学生都不在同一天过生日”，也就是反设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”，从这个反设出发就会推出这367人就会有不同的367天过生日，这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾．产生这个矛盾的来源是由于开始的反设，因此反设不成立，这样得出了“至少有两个学生在同一天过生日”的结论．

设计意图：

以生活中的实际例子拉近学生与反证法的距离，激发学生的学习兴趣．

板书：反证法证题的步骤：

1．反设；　2．归谬；　3．结论

例：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于P点，且AB、CD不是直径．

求证：弦AB、CD不被P点平分．

设问：用反证法证明这道题如何进行反设？怎样进行归谬？

引导讨论：“弦AB、CD不被P点平分”的反面是“弦AB、CD被P点平分”，因而反设是“假设弦AB、CD被P点平分”．

学生活动：

思考后分组讨论，互相补充．

设计意图：

在关键处设问，激励学生探究精神，提高运用反证法的能力．

教师活动：

由于P点不是圆心O，连结OP，由垂径定理的推论得OP⊥AB，OP⊥CD，这样过P点有两条直线与OP都垂直，与垂线的性质矛盾．

结论是“弦AB、CD不被P点平分”成立．

这道题用反证法证明还有一个方法．

连结AD、BD、BC、AC·

提问：用反证法证明怎样反设？怎样归谬？

反设仍是“弦AB、CD能被P点平分”．

学生活动：

讨论后回答

因为AP＝PB，CP＝PD，所以四边形ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线AB、CD必是圆O的直径，这与假设矛盾，所以结论“弦AB、CD不被P点平分”成立．

设计意图：

让学生进一步体会在反证法中如何进行反充、归谬．

教师活动：

练习：用反证法证明不是有理数

证明：假设是有理数，则可表示为（m，n为自然数，且互质）

两边平方，得

由①知m2必是2的倍数，进而m必是2的倍数．

令m＝2p代入①式，得

n2＝2p2　②

由②知，n必是2的倍数，m和n都是2的倍数，则m、n不互质，与假定m、n互质相矛盾，不是有理数．

设计意图：

巩固练习．

教师活动：

例　用反证法证明：如果a＞b＞0，那么

剖析：运用反证法证明这道题时，怎样进行反设？的反面是否仅有

证明：假设不小于，则或者，或者

当，因为a＞0，b＞0，所以＞0，＞0．

在的两边都乘以得

在的两边都乘以得

所以　a＜b．

这与假设a＞b矛盾，所以不成立．

当时可得到a＝b，这与假设a＞b矛盾．

综上所述，所以

设计意图：

通过对例题的剖析，使学生掌握如何在反证法中反设和归谬．

教师活动：

三、课堂练习

用反证法证明：

已知：锐角三角形ABC中∠B＝2∠C．

求证：∠A＞45°．

证明：假设∠A≤45°，则∠B＋∠C≥135°．

因为∠B＝2∠C，所以∠C≥45°，∠B≥90°．这样可推出△ABC是钝角三角形或直角三角形，这与假设△ABC是锐角三角形矛盾．所以∠A＞45°

设计意图：

进一步提高运用反证法证题的能力．

四、小结

反证法证题的步骤：

（1）反设；（2）归谬；（3）结论．

运用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与已知条件的矛盾，也可以是与某个公理、定理的矛盾，也可以是证明过程中自相矛盾．

五、作业

1．阅读课本1．7四种命题中“反证法”部分

2．1．7四种命题中“反证法”练习1、2．

3．习题1．75、6

4．用反证法证明：在△ABC中，AB、BC、AC不全相等，那么∠A、∠B、∠C中至少有一个大于60°．

证明：假设∠A、∠B、∠C都大于60°，即∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°．

因为AB、BC、AC不全相等，所以上面三式中不能同时取等号，这样有∠A＋∠B＋∠C＜180°．与定理“三角形内角和为180”矛盾，因此结论∠A、∠B、∠C中至少有一个大于60°成立．

【习题精选】

一、填空题

1．举一个反例，说明命题“若a，b是无理数，则ab也是无理数”是假命题：___________．

2．用反证法证明命题“5个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数”时，反设成：___________．反设若用式子表示，则为：___________．

3．举例说明原命题不成立而逆命题成立的命题：__________．

二、解答题

1．将命题“ab≠0，则a，b中至少有一个为0”改写成“若p则q”的形式，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．

2．若a，b，c均为实数，且求证：a，b，c中至少有一个大于0．

【参考答案】

一、填空题

1．如是无理数，而是有理数，故为假命题．

2．“假设5个连续自然数的平方和是一个完全平方数”．用式子表示，则为“假设（n－2）2＋（n－1）2＋n＋（n＋1）2＋（n－2）2是一个完全平方数（n∈Z）

3．略

二、解答题

1．逆命题：若a，b中至少有一个为0，则ab≠0；否命题：若ab＝0，则a，b都不为0；逆否命题：若a，b都不为0，则ab＝0．四种命题全是假命题．

2．假设a≤0，b≤0，c≤0，即a＋b＋c≤0．再由已知设法证得a＋b＋c＞0

【典型例题】

例1　以下命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题：

（1）内接于圆的四边形的对角互补；

（2）已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d．

分析　已知原命题，写出它的其他三种命题，首先应把原命题改写成“若p则q”的形式，然后找出其条件p和q结论，再根据四种命题的定义写出，就不难完成．

解（1）原命题可以写成“若四边形内接于圆，则它的对角互补”，其中条件p是“四边形内接于圆”，结论q是“对角互补”．所以：

逆命题是“若一个四边形的对角互补，则它内接于圆”；

否命题是“若一个四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；

逆否命题是“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．

（2）原命题可以写成“已知a、b、c、d是实数，若a与b、c与d都相等，则a＋c＝b＋d．”其中，“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a与b、c与d都相等”是条件p，“a＋c＝b＋d”是结论q．所以：

逆命题为“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a与b、c与d都相等”；

否命题为“已知a、b、c、d是实数，若a与b、c与d都相等，则a＋c≠b＋d”；

逆否命题为“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b、c与d不都相等”．

说明　值得注意的是，本例第（2）小题中的命题常表示成“已知a、b、c、d是实数，若a＝b且c＝d，则a＋c＝b＋d”，这样就超过了大纲的要求，问题变复杂了．因此本小题采用了变通的形式．否则，本例第（2）小题中：

否命题为“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”；

逆否命题为“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d．

例2　把下列命题改写成“p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：

（1）两条平行线不相交．（2）正数的算术平方根是正数．

分析：重点找出原命题的条件p与结论q．

解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交；

逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行；

否命题：若两直线不平行，则两直线必相交；

逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行．

（2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数；

逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数；

否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；

逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数．

例3　判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．

（1）若ab≤0，则a≤0或b≤0．

（2）若a＞b，则ac2＞bc2．

（3）若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac＜0，则该二次函数图像与轴有公共点．

解：（1）该命题为真．

逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0．为假．

否命题：若ab＞0，则a＞0，b＞0，为假．

逆否命题：若a＞0，b＞0，则ab＞0．为真．

（2）该命题为假．

逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b．为真．

否命题：若a≤b，则ac2≤bc2．为真．

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b．为假．

（3）该命题为假．

逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0．为假．

否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．为假．

逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与轴没有公共点，则b2－4ac≥0．为假．

评注：（1）写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定义来写．

（2）在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要应用“原命题与其逆否命题同真或同假；逆命题与否命题同真或同假”来判定．

例4　用反证法证明：若a2＋b2＋ab≠0，则a、b、a＋b中至少有一个不等于0．

证明：假设a、b、a＋b都等于0，则

与a2＋b2＋ab≠0矛盾，所以a、b、a＋b中至少有一个不等于0．

常见错误及分析：往往把a、b、a＋b中至少有一个不等于零的否定错认为是a、b、a＋b中最多有一个不等于零，或错认为是a、b、a＋b中最多有一个等于零．

例5　当2m－1＞0时，如果，那么m＞－4．写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

分析：2m－1＞0是原命题的大前提，故在给出其它三个命题时，2m－1＞0仍是它们的大前提．

解：逆命题：“当2m－1＞0时，若m＞－4，则0．”由2m－1＞0得2m＋1＞0，由m＞－4得m＋3＞－1，故的分子可以是负数，即不成立，即逆命题为假．

否命题：“当2m－1＞0时，若，那么m≤－4．”由2m－1＞0得2m＋1＞0，由，得m＋3≤0，即m≤－3．因此，m≤－4不能成立，否命题也为假．

事实上，逆命题与否命题互为逆否命题，它们是等价命题，即它们同真、同假．

逆否命题：“当2m－1＞0时，如果m≤－4，那么≤0．”此命题为真．

由于2m－1＞0，当m≤－4时，m＋3≤－1，故的分子为负，分母为正，即

注：例题中，由于原命题的逆否命题为真，故原命题亦为真．“2m－1＞0”是上述几个命题的大前提．

例6　“已知a、b、c、d是实数，若a＞c，b＞d，则a＋b＞c＋d．”写出上述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

点拨“已知a，b，c，d是实数”是大前提，写四种命题时应该保留．这里原命题的条件是“a，b都分别大于c，d”，结论是“a＋b＞c＋d”．

解：原命题可以写成：已知a，b，c，d是实数，若a，b都分别大于c，d，则a＋b＞c＋d．原命题为真．

逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋b＞c＋d，则a，b都分别大于c，d．逆命题为假，可举一反例说明：如8＋3＞4＋4，但8＞4，3＜4．

否命题：已知a，b，c，d是实数，若a，b不都分别大于c，d，则a＋b≤c＋d．否命题为假．

逆否命题：已知a，b，c，d是实数，a＋b≤c＋d，则a，b不都分别大于c，d．逆否命题为真．

点评：注意，该原命题常表示成：已知a，b，c，d是实数，若a＞c，b＞d，则a＋b＞c＋d．写出它的逆命题、否命题、逆否命题问题就变复杂了，也超过了教学大纲和教材的要求．因此解答本题时，原命题表示方法采用了变通形式．对学有余力的学生，知道下列表示是有益的：

原命题：已知a，b，c，d是实数，若a＞c且b＞d，则a＋b＞c＋d．

逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋b＞c＋d，则a＞c且b＞d．

否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≤c，或b≤d，则a＋b≤c＋d．

逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋b≤c＋d，则a≤c，或b≤d．

“若p则q”形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与§1．6节中的复合命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．

另须指出的是：原命题逆否命题，逆命题否命题，因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．

例7　已知三个关于x的方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax＋2a＝0中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．

点拨：这类求参数取值范围的问题，直接求需分类讨论，很繁冗．若用反证法的思想和补集的思想求解，就一目了然．

解：设三个关于的方程均无实数根，则

解①，得　

解②，得　a＜－1，或a＞；

解③，得　－2＜a＜0．

取①，②，③的交集，即不等式组的解集为

则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数a的取值范围应为CRM，即