一元二次不等式解法：高一数学设计与课例

【教学目标】

（1）掌握一元二次不等式的解法；

（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；

（3）了解简单的分式不等式的解法；

（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；

（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；

（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；

（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．

【教学建议】

教材分析

知识结构

重点难点分析

重点是判断复合命题真假的方法；难点是对“或”的含义的理解．

（1）复合命题

含“或”、“且”、“非”的命题有的不是复合命题．如：（1）实数的平方是正数或零；（2）若x＞1或x＜－1，则x＞0．

不含“或”、“且”、“非”的命题有可能是复合命题．如：（3）3≥2；（4）有两个解为45°的三角形是等腰直角三角形．

所以，判断一个命题是否为“或”命题、“且”命题、“非”命题，既要看它是否含有“或”、“且”、“非”，又要看它是否隐含着“或”、“且”、“非”，还要看“或”、“且”、“非”是否为两个命题之间的联结词或某一命题的否定；既要与集合运算中的“并”、“交”、“补”联系起来，又要与“或”、“且”、“非”命题的真值表联系起来；既要看原命题，又要看它的等值命题．

（2）真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题与逻辑联结词构成的复合命题的真假的工具，它并不涉及简单命题之间的具体内容．例如，已知命题p为“0是自然数”，命题q为“三角形的二边之和小于第三边”，尽管p和q的具体内容毫无相干，但仍不妨碍我们讨论和判断“p或q”、“p且q”的真假，也不妨碍我们接受p真q假则“p或q”为真、“p且q”为假的结论，这里特别要注意对“或”的理解．

（3）要在理解的基础上记忆三个真值表：

为了正确判断复合命题的真假，首先应该确定复合命题的形式，然后指出其中简单命题的真假，再根据真值表判断这个复合命题的真假．

教法建议

1．从学生在初中熟悉的一些例子引入，如：“三角形的中位线平行于第三边”是简单命题；“菱形的对角线互相垂直且平分”是“p且q”形式的复合命题；“不等式（a－b）2≥0”是“p或q”形式的复合命题，“π非有理数”是“非p”形式的复合命题．

在开始先给学生一个似乎熟悉的印象，学生容易接受，使得逻辑联结词这一节抽象的数学概念由易到难，逐步深入理解．

2．学习本节内容时，可以运用复合命题的结构形式，分析初中学过的一些定义和定理，既可加深对逻辑联结词的理解，增强对复合命题的认识，又可体现初、高中知识的衔接和知识连贯性与实用性．

3．教科书中，三个真值表是按先易后难顺序编排的．先讲“非p”形式复合命题的真假，再讲“p且q”形式复合命题的真假，“p或q”形式复合命题的真假理解起来最困难，放后面讲．

4．在讲述逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，可以适当联系集合中的“并集”、“交集”、“补集”的概念，实际上它们的密切的关系．例如，并集、交集、补集的定义分别是：

A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝；A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B｝；CSA＝｛x∈S｜xA｝

5．对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解，与判断复合命题真假分不开的．逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，要直接讲清楚它们的意义，比较困难，例如，像3≥3与3≥2的关系式，初接触时，学生可能不容易接受．因此，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解．

【教学建议】

教材分析

知识结构

重点、难点分析

重点是一元二次不等式的解法；

难点是弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．

①用图象法解一元二次不等式

在教材中对一元二次不等式的解集的求法是从一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间关系中引出的，是从函数图象上，结合方程的解得出解集的求法的，所以在讲解一元二次不等式的解法是也是从函数图象出发来讲解的；

用图象法来解一元二次不等式涉及知识点较多，需联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法．这比单纯数形结合要求的水平更高，何况相对一部分学生不合适用数形结合法．由于对于这部分学生来讲数与形是割裂的，没能真正和谐统一在一起，这是其认识及理解水平造成的．

②认识方程、函数、不等式三者之间的关系

在本节中，难点是对一元二次不等式解法的理解与认识，也就是二次函数与二次方程，二次不等式三者之间的关系．

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）是研究自变量y与x之间的对应关系，也就是研究自变量变化过程中函数y的变化过程及变化趋势，显然方程与不等式的解集是二次函数自变量变化过程中的某种特殊情况，二次方程的解就是自变量变为何值时，函数值y＝0的这一情况；而二次不等式的解集是自变量变化过程中何时函数值y＞0与y＜0的这一情况，二次方程ax2＋bx＋c＝0的解对研究函数变化是十分重要的．由于两根x1、x2是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解区间的端点，正是三者之间的相互联系，我们才知道二次函数与二次方程与二次不等式解集的联系．学习过程中，只有搞清三者联系，才能正确认识与理解二次不等式的解法，才能解决由此产生各种变式的问题．

【教学建议】

（1）注意从两个不同角度去解一元二次不等式

本节对于可分解的一元二次不等式给出了两种解法．第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象给出的，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的不等式组的并集去解决，应该向学生说明教材中介绍这两种方法的意图．

①第一种方法意在全面讨论，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式．

②第二种方法意在说明对于形如的分式不等式，可化为与它同解的一元二次不等式（x－a）（x－b）＞0去解，而后者在前面已经讨论得十分清楚．它是化归思想的集中体现，即化分式不等式为一元二次不等式，化一元二次不等式为一元一次不等式组去解的思想方法．它介绍了一种更为一般的方法，即把二次或二次以上的不等式化为一次或低次不等式的方法，为解较复杂不等式，特别是高次不等式提供了依据．

然而真正用这种方法去解一元二次不等式不仅较第一种方法复杂繁琐，并且局限于可因式分解的一元二次不等式，应该向学生突出强调这一点．

这种方法重在思想，而并非实用，解题中不宜提倡．因为在全面掌握第一种方法后，再用第二种方法去解题，在某种程度上意味着倒退．

（2）建议对函数的对应值表以低调处理，而突出强调函数图象本身

教科书中为了让学生领悟一元一次（或二次）不等式与相应方程、函数间的关系，不仅给出了函数的图象，还给出了函数的对应值表，希望学生结合函数的对应值表，在确定函数图象与轴交点横坐标的同时，发觉它便是对应方程的根，在得出不等式解集时也借助于对应值表．

对于对应值表可以用，尤其是可以用它给学习较差的学生解释随x的变化，y的变化趋势，使学生有牢靠真实的感觉，然而不应过分强调．

①因为此处一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，除极少数学生外，对于绝大多数学生，必须要求他对于这种方法有深刻的认识与体会，必须牵着他走，让他象当初学习平面几何时识图一样，去识函数的图象，从图象上真正把握其内在本质的性质，自己找出不等式解集所对应的区间，而不是迁就他的认识水平，给他对应值表这根拐仗，那样把他的水平将永远无法提高．

②再看此处所给的对应值表与画函数的图象，有一点脱节，在初三，学生已知道一次函烽的图象是一条直线，确定一条直线有两点就足够了，并且为了把握住图象与两轴的相对位置，一般建议学生选取与两轴的交点对于二次函数，学生已学习它的性质，熟知图象的大致形状，对于例题中的二次函数y＝x2－x－6只要找出相应关键点，即函数的顶点，及与x轴、y轴的交点，就可描点，连线，得出它大致的图象．这些在初中已作过严格的训练，画图象只要关键点把握准即可，我们是利用它来解不等式，并不是要它本身，因而也没有必要精益求精地把图象画得十分精确．

【教学设计示例】

【教学目标】

（1）掌握一元二次不等式的解法；

（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；

（3）了解简单的分式不等式的解法；

（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；

（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；

（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；

（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．

教学重点：一元二次不等式的解法；

教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．

教与学过程设计

第一课时

Ⅰ．设置情境

问题：

①解方程3x＋2＝0

②作函数y＝3x＋2＝0的图像

③解不等式3x＋2＞0

置疑：在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系．能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？

回答：函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式3x＋2＞0的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标．能．

通过多媒体或其他载体给出下列表格．扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集．注意色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系．利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

Ⅱ．探索与研究

我们现在就结合不等式x2－x－6＞0的求解来试一试．（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出y＝x2－x－6的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集．）

答：方程x2－x－6＝0的解集为｛x｜x＝－2或x＝3｝

不等式x2－x－6＞0的解集为｛x｜x＜－2或x＞3｝

置疑：哪位同学还能写出x2－x－6＜0的解法？（请一程度差的同学回答）

答：不等式x2－x－6＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝

我们通过二次函数y＝x2－x－6的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题x2－x－6＞0的解集，还求出了x2－x－6＜6的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法．

下面我们再对一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0来进行讨论．为简便起见，暂只考虑a＞0的情形．请同学们思考下列问题：

如果相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）

答：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点．

现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集．（通过多媒体或其他载体给出以下表格）

答：ax2＋bx＋c＞0的解集依次是｛x｜x＜x1或x＞x2｝，；R

ax2＋bx＋c＜0的解集依次是｛x1｜x1＜x＜x2｝；Ø；Ø．

它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具．应尽快将表中的结果记住．其关键就是抓住相应二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像．

课本第19页上的例1．例2．例3．它们均是求解二次项系数a＞0的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像．其解答过程虽很简练，却不太直观．现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像．

（教师巡视，重点关注程度稍差的同学．）

Ⅲ．演练反馈

1．解下列不等式：

（1）3x2－7x＋2＜0　（2）－6x2－x＋2≤0

（3）4x2＋4x＋1＜0　（4）x2－3x＋5＞0

2．若代数式6x2＋x－2的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是__________．

3．解不等式

（1）9x2＋6x＋1＞0

（2）x2－（a＋）＋1＜0（a≠0，a∈R）

【参考答案】

1．（1）

（2）；（3）Ø；（4）R

2．

3．（1）

（2）当a＞1或－1＜a＜0时，，当a＝±1时，Ø

当0＜a＜1或a＜－1时，

Ⅳ．总结提炼

这节课我们学习了二次项系数a＞0的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集．

（五）、课时作业

（P20．练习等3、4两题）

（六）、板书设计

第二课时

Ⅰ．设置情境

（通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程．）

上节课我们只讨论了二次项系数a＞0的一元二次不等式的求解问题．肯定有同学会问，那么二次项系数a＜0的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？

Ⅱ．探索研究

（学生议论纷纷．有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，……．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解．）

生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数a＜0的一元二次不等式的解集．

生乙：我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了．

师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误．而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4．

（待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍．）(www.xing528.com)

知识运用与解题研究

由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法．我们就能求

解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式．（调两位程度中等的学生演板）

（1）14－4x2≥x　（2）－x2－2x＋8≥0

（分别为课本P21习题1．5中1大题（2）、（4）两小题．教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题．）

训练二可化为一元一次不等式组来求解的不等式．

目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如（x－a）（xb）＜0（或＞0）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本P20上关于不等式（x＋4）（x－1）＜0求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题．）

答：因为满足不等式组的x都能使原不等式（x＋4）（x－1）＜0成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．

这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式．（调三位程度各异的学生演板．教师巡视，重点关注程度较差的学生）．

（1）（x＋2）（x－3）＞0　［P20练习中第1大题］

（2）x（x－2）＜0　［P20练习中第1大题］

（3）（x－a）（x－b）＞0（a＞b）　［P20练习中第2大题］

（老师扼要讲评三位同学的解答．尤其要注意纠正表述方面存在的问题．然后讲解P21例5）．

例5　解不等式

因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解（x－a）（x－b）＜0（或＞0）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解．具体解答过程如下．

解：（略）

现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题．

（等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正．）

训练三：用“符号法则”解不等式的复式训练．

（通过多媒体或其他载体给出下列各题）

1．不等式与（x＋1）（x＋2）≤0的解集相同此说法对吗？为什么［补充］

2．解下列不等式：

（1）［课本P22第8大题（2）小题］

（2）［补充］

（3）（x－1）（x2－3x＋2）＜0［课本P43第4大题（1）小题］

（4）［课本P43第5大题（1）小题］

（5）［补充］

（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）

【参考答案】

1．不对．同x＝－2时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的．

2．（1）

（2）原不等式可化为：，即

解集为｛x｜x＜0或x≥2｝．

（3）原不等式可化为

解集为｛x｜x＜2但x≠1｝

（4）原不等式可化为

解集为｛x｜1＜x＜2或x＞3｝

（5）原不等式可化为：

解集为｛x｜x≥2｝

Ⅲ．总结提炼

这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式．值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法．

（五）布置作业

（P22．2（2）、（4）；4；5；6．）

（六）板书设计

【习题精选】

一、填空题

1．不等式x2＋3x＋a＞0的解集是｛x｜x＜－2，或x＞－1｝，则实数a的值为___________．

2．已知两个圆的半径分别为2和3，圆心距d满足d2－6d＋5＜0，则这两个圆的位置关系是__________．

3．不等式2≤x2－2x＜8的整数解集是__________．

二、解答题

1．已知A＝｛x∈R｜x2－5x－14＜0｝，B＝｛x∈R｜x＝y－2，y∈A｝求A∩B．

2．不等式的解集为｛x｜x＜1，或x＞2｝，求实数a的值．

【参考答案】

一、填空题

1．2　2．相交　3．｛－1，3｝

二、解答题

1．｛x｜－2＜x＜5｝

2．a＝提示：原不等式可化为，由已知条件，得

【典型例题】

例1　解不等式2x2＋ax＋2＞0．

分析　在不等式的一次项系数中含字母，判别式的符号不能确定，需要讨论来解决．

解：△＝a2－16

当△＞0，即a＞4或a＜－4时，

当△＝0，即a＝±4时，｛x｜x∈R，且x≠±1｝

当△＜0，即－4＜a＜4时，｛x∈R｝

说明：这是较常见的带字母的一元二次不等式，在解题时，注意分类讨论的思想．

例2　解不等式x2－（a2＋a）x＋a3＞0（a为参数）

分析：这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论．

解：原不等式可化为（x－a）（x－a2）＞0

若a＞a2，则a2－a＜0，即0＜a＜1，原不等式的解集为｛x｜x＜a2或x＞a｝；

若a＜a2，即a＜0或a＞1，则原不等式的解集为｛x｜x＜a或x＞a2｝；

若a＝a2，即a＝0或a＝1，则原不等式的解集为｛x∈R｜x≠0且x≠1｝

因此，当0≤a≤1时，原不等式的解集为｛x｜x＜a2或x＞a｝；当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为｛x｜x＜a或x＞a2

说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题．讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题．

例3　已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，求a、b的值．

分析　此不等式带有两个字母，但不是求解集，而是给出了解集，求字母的值．这就需要逆向思维，根据解集来找相对应的二次方程的解，结合二次函数的图象判断二次项系数的符号等等．

解：方法一：

显然a＜0，由（x＋）（x－＜0，得6x2＋x－1＜0，变形得－12x2－2x＋2＞0，所以a＝－12，b＝－2．

方法二：

x＝－与x＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，

故有，解得（此处注意韦达定理的应用）．

评析：由二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象可知，当－＜x＜时，y＞0，即抛物线的开口向下，且与x轴两交点的横坐标是－和，也就是说一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个根为，，因此由方程根与系数的关系可求出a，b的值．显然，二次不等式的解集是由二次函数结合二次方程求得；反之，也可由二次不等式的解集确定二次函数图象和二次方程的实根，本题的求解过程，正是根据三者之间的内在联系．

例4　不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1＜0的解是全体实数，求实数a的取值范围．

分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有a2－1＜0且△＜0，特别要强调此时△＜0．

解：若a＝1，不等式为－1＜0，其解集为｛x∈R｝

若a＝－1，不等式为2x－1＜0，其解集显然不是全体实数，故a＝－1不符合条件．

若a≠±1，不等式为二次不等式，有

解得

即－＜a＜1

综上得－＜a≤1

说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零．

例5　当k为何值时，关于x的方程x2－kx－k＋3＝0的两根分别在落在0和1，1和2之间．

分析：实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0若有二实根，则此二根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标．如图所示，本题相应的二次函数图象与x轴的交点应位于区间（0，1）和（1，2）内．于是，可由x＝0，1，2时的函数值的正负情况确定k的范围．

解：设y＝x2－kx－k＋3，它的图象为开口向上的抛物线，依题意，抛物线与x轴的两个交点分别在区间（0，1）和（1，2）内，如图所示．因此必须满足如下条件：

当x＝0时，y＝－k＋3＞0，

当x＝1时，y＝－2k＋4＜0，

当x＝2时，y＝7－3K＞0，

即

解此不等式组得2＜k＜

所以当2＜k＜时，方程x2－kx－k＋3＋0的两根分别在区间（0，1）和（1，2）内．

证明：此题涉及到利用函数图象来判断在特殊值的符号，要让学生注意到在根的两侧的函数值符号相反．

例6　已知A＝｛x｜x2＋（p＋2）x＋1＝0，x∈R｝，且A∩R＋＝Ø，（R＋＝｛x｜x∈R，且x＞0｝），求实数P的取值范围．

解：由A∩R＋＝Ø知，关于x的二次方程x2＋（p＋2）x＋1＝0无正根．

（1）若方程无实根：

△＝（p＋2）2－4＜0，得－4＜p＜0；

（2）若方程有实根x1，x2，但无正根；此时由△≥0，得p≤－4或p≥0，而由韦达定理

由x1·x2＝1知两根均为正或均为负，由条件显然须x1＜0，x2＜0，于是－（p＋2）＜0，

∴p＞－2

因此p≥0

由上述的（1），（2）得p的取值范围是p＞－4

注：要注意B＝Ø的可能性，否则会“缩小”解的范围，特别对于Ø的存在，初学者往往容易忽略．

例7　解关于的不等式：（x－2）（ax－2）＞0

分析：由于字母系数a的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数a可正、可负，且对应二次方程的两个根2，的大小也受a的影响，这些都应予以考虑．

解：当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，其解集为｛x｜x＜2｝

当a＜0时，有2＞，原不等式化为（x－2）（x－）＜0，其解集为

当0＜a＜1时，2＜．原不等式化为（x－2）（x－）＞0，其解集是

当a＝1时，原不等式化为（x－2）2＞0，其解集是｛x∈R｜x≠2｝

当a＞1时，原不等式化为（x－2）（x－）＞0，其解集是

说明　对于二次项系数含有字母的不等式，一定要注意对二次项系数讨论，分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况．