高一数学：交集和并集的概念与求法

【教学目标】

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；

（3）能用图示法表示集合之间的关系；

（4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；

（5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；

（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．

【教学设计示例】

交集、补集

【教学目标】：

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；

（3）能用图示法表示集合之间的关系；

（4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；

（5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；

（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．

教学重点：交集和并集的概念

教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系

【习题精选】

一、填空题

1．已知集合，A＝｛y｜y＝x2－2x－2，x∈R｝，B＝｛y｜y＝－x2－2x＋2，x∈R｝．则A∩B＝___________．

2．满足｛x，y｝∪B＝｛x，y，z｝的集合B的个数是__________．

3．已知集合A＝｛1，2，3，x｝，B＝｛3，x2｝且A∪B＝｛1，2，3，x｝．则x的值为___________．

二、解答题

1．设A＝｛x∈R｜x2－2x－3＝0｝，B＝｛x∈R｜ax－1＝0｝．若A∪B＝A，求实数a的值．

2．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人？

【参考答案】

一、填空题

1．｛y｜－3≤y≤3｝．　2．4个　3．－1，0，±

二、解答题

1．a的值为0，，－1．注意空集是任何集合的子集．

2．25人

【教学目标】

（1）掌握｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型的绝对值不等式的解法．

（2）掌握｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c（c＞0）型的绝对值不等式的解法．

（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；

（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；

【教学建议】

教材分析

知识结构

重点难点分析

重点是｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型的不等式的解法；

难点是利用绝对值的意义分析、解决问题．

（1）本小节的重点是｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型的不等式的解法，因为它是讨论含绝对值不等式的出发点，是进一步解决｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c（c＞0）型不等式的基础，并且为较复杂的含绝对值不等式的求解提供了思考的方式与路径．

（2）难点是利用绝对值的意义分析解决问题，造成难点的原因是学生对绝对值的意义理解并不深刻，加之学习的时间较长有一定的遗忘．

要突破难点，注意一下几点：①帮助学生复习回忆绝对值的代数意义及几何意义；②说明问题时借助于数轴的直观性与形象性；③联系方程的对应问题类比讲解；④放慢节拍，多诱导启发．

教法建议

（1）从现实生活实例入手，激发学习兴趣

在引入含绝对值不等式时，应尽可能的结合现实生活，举出一些较为生动有趣的例子，以此来吸引学生，提起学生的注意力，激发他们的兴趣与热情，与此同时要使他们潜在地认识到学习本节内容的实际价值与现实意义．

在本节的初始阶段不宜匆匆忙忙地给出关于a＞0时，｜x｜＜a或｜x｜＞a型不等式解集的一般结论．

（2）注意新旧知识的衔接

绝对值概念本身是难点，它是初中教材中首次涉及到分类讨论思想的具体体现，因而有的同学对它的认识极力模糊，有的则一直停留在比较肤浅的状态，有的则对它始终存在着某种畏惧心理，这就为解含绝对值不等式设置了无形的障碍．

在讲解有关绝对值的不等式之前，一定要注意根据学生的实际情况，加以复习有关绝对值的意义．

（3）注意利用数轴，体现数形结合的思想

讲含绝对值不等式的解法时要借助于数轴与绝对值的几何意义，从数轴上来观察绝对值不等式的解集，即直观又准确．

求不等式解集的“交”与“并”时要求画数轴，将原始的集合在数轴上表示，借助数轴的直观，得出其“交”或“并”的结果，并将结果表示在数轴上，数轴作为解题的一个组成部分而被保留，为避免混乱可采用不同颜色的笔，或多画一两条数轴．

（4）注重方程与不等式之间的联系

由于初中仅仅讲解了有关绝对值的意义，关于绝对值方程，学生也是初次遇到，并且解方程与解不等式有着直接的联系，所以在教学中一定要对解绝对值方程引起重视．在讲解了有关绝对值方程的基础上来进一步结合数轴来解绝对值的方程．

（5）重视具体示例的教学

重视对具体实例不等式｜x｜＜2解集的讨论．联系到对应方程｜x｜＝2的解，可由等量问题过渡到不等量的问题，在数轴上标出方程的解＋2与－2，则其对应两点将数轴分为三部分，结合绝对值的几何意义，即一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的距离，不难得出｜x｜＜2的解集是这两点之间的部分．

讲解此处时，一定要放慢节奏，给学生思考的余地，要循循善诱，引导学生自己得出结论，教师不宜说得过多，应画龙点睛，点到为止．

（6）体现整体的数学思想

利用已有｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型结论来解形如｜ax＋b｜＜c或｜ax＋b｜＞c（c＞0）的不等时，应注意体现把ax＋b看作整体，当作一个x，得出－c＜x＜c，即－c＜ax＋b＜c，但这里的x可以并不真正出现，是否借助x，教师可以视学生的水平酌情处理．

（7）在求解集时要注意利用交集和并集的概念

求解形如｜ax＋b｜＞c（a＞0）的不等式，会涉及到求不等式ax＋b＞c与ax＋b＜c解集的并集，在这里老师要带领学生利用数轴解决这一问题．

尽管在集合单元的教学中，已经借助数轴求过集合的“并”与“并”，但对于求“并”的运算，学生还远不如求“交”来的迅速熟练（因为求“交”的运算已在解一元一次不等式组时实施过，只是当时没有上升到集合论的高度去认识），有时还和求“交”混．

因而在此强调，一是为澄清观念，二是意在养成良好的学习习惯，希望学生今后能自觉地采用数形结合的方法去解决有关不等式的问题．为高二不等式单元的学习创立一个良好的开端．

（8）利用化归的思想，将绝对值不等式化为不等式组来解

对于这一部分内容的处理还可以采取另一种方案，即去绝对值．将解不等式｜x｜＜2转化为求不等式组(www.xing528.com)

初中三年的学习中遇到绝对值时这一手法被经常采用，学生较为容易得出结论．

虽然采用这种方法，可以顺理成章地引出较复杂的含绝对值不等式的解法，如对含有两个绝对值的不等式的求解，但鉴于学生的接受能力，在最初阶段不宜主动去提及它，如果学生自己提及应给予肯定，但不必深入，当学生有了一定的解含绝对值不等式的经验后，可选一个恰当的时机给出．

（9）注意控制教学内容难度

由于绝对值是一个难点，所以绝对值不等式作为初学，不易讲解过深．本小节教材中的练习，习题所涉及的不等式，只限于绝对值符号内为一元一次代数式，并且是数字系数的，因而在教学中要注意控制难度，在学生能熟练正确地解基本、简单不等式的前提下，方可考虑提高难度，可参照教材习题1．4的第4题，引入简单的含参数的题目，并要求学生掌握，也可视学生的接受水平让其了解含有两个绝对值的不等式的解法．

【习题精选】

一、填空题

1．若A＝｛x｜｜x－1｜＜7｝，B＝｛x｜｜x－3｜＜4｝，则A∩B___________．

2．若A＝｛x｜｜x｜＜4｝，B＝｛x｜｜x－2｜≥1｝，全集为S＝R．那么（CSA）∪（CSB）＝___________．

3．若｛x｜｜a－2x｜＞b，b＞0｝＝｛x｜x＜－5，或x＞4｝，则a2＋b2＝__________．

二、解答题

1．对于任意实数x，不等式｜x＋7｜≥m＋2恒成立，求实数的取值范围．

2．解不等式组

【参考答案】

一、填空题

1．｛x｜－6＜x＜－1，或7＜x＜8｝　2．｛x｜x≤－4，或1＜x＜3，或x≥4｝　3．10

二、解答题

1．m≤－2　2．

【典型例题】

例1　解不等式｜ax＋3｜＜2（a≠0）

分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论．

解：原不等式可化为－2＜ax＋3＜2

即－5＜ax＜－1

当a＞0时，解集为

当a＜0时，解集为

评析：1．遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向．

2．若遇的系数为负的含绝对值不等式，如｜3－x｜＜5，｜－x－1｜≥7等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为｜x－3｜＜5，｜x＋1｜≥7，后再解，以减小错误的发生率．

例2　解关于x的不等式｜2x－1｜＜2m－1（m∈R）

分析：这里没有2m－1＞0的条件，应分类求解．

解：若2m－1≤0，即m≤，则｜2x－1｜＜2m－1恒不成立，此时原不等式无解；

若2m－1＞0，即m＞，则－（2m－1）＜2x－1＜2m－1，所以＋1－m＜x＜m

综上，当m≤时，原不等式的解集为Ø；当m＞时，原不等式解集为｛x｜1－m＜x＜m｝．

例3　解不等式｜x＋2｜＋｜x－1｜＜4．

点拨一：这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．

解法一：由代数式｜x＋2｜，｜x－1｜知，－2，1把实数集分为三个区间：x＜－2，－2≤x＜1，x≥1．

当x＜－2时，原不等式变为－x－2－x＋1＜4，即－＜x＜－2；

当－2≤x＜1时，原不等式变为x＋2－x＋1＜4，即－2≤x＜1；

当x≥1时，原不等式变为x＋2＋x－1＜4，即1≤x＜．

综上，知原不等式的解集为

点评：解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：

（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；

（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；

（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；

（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．

点拨二：不等式｜x＋2｜＋｜x－1｜＜4的几何意义是表示数轴上与A（－2）及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了．

解法二：如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点B1．或由点A向左移动个单位，即移到点A1．

可以看出，数轴上点B1向左的点或者A1向右的点到A，B两点的距离之和均小于4．

所以，原不等式的解集为

点拨三：从函数的角度思考，可分别画出函数y1＝｜x＋2｜＋｜x－1｜和y2＝4的图象．观察即得．

解法三：如右图．

不难看出，要使y1＜y2，只须

所以，原不等式的解集为

点评：对于解法一，要孰记｜x－a｜＋｜x－b｜＜c或｜x－a｜＋｜x－b｜＞c（c＞0）两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法．

例4　解不等式2＜｜x2－2x－1｜＜7．

解法一：原不等式等价于

解（Ⅰ），得－2＜x＜－1，或3＜x＜4．

解（Ⅱ），得解集为空集．

所以，原不等式的解集为｛x｜－2＜x＜－1，或3＜x＜4｝．

解法二：原不等式等价于

2＜（x－1）2－2＜7（Ⅰ），或－7＜（x－1）2－2＜－2（Ⅱ）．

解（Ⅰ），得－2＜x＜－1，或3＜x＜4．

解（Ⅱ），得解集为空集．

所以，原不等式的解集为｛x｜－2＜x＜－1，或3＜x＜4｝．

点评：比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系：

若0＜n＜m，则n＜｜ax2＋bx＋c｜＜m等价于n＜ax2＋bx＋c＜m，或－m＜ax2＋bx＋c＜－n．

解法三：在直角坐标系中分别画出y1＝｜（x－1）2－2｜，y2＝7，y3＝2．

如图，不难看出，要使y3＜y1＜y2，只须－2＜x＜－1，或3＜x＜4．

所以，原不等式的解集为｛x｜－2＜x＜－1，或3＜x＜4｝．