高一数学：子集、全集、补集的学习与案例

【教学目标】

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；

（2）了解全集、空集的意义，

（3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；

（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；

（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；

（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．

【教学建议】

教材分析

知识结构

本节的教学内容分为两部分，第一部分是子集，介绍了子集、真子集及两个集合相等的概念，说明了任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集．

第二部分是全集、补集．给出了全集、补集的意义，说明了如何求出一个给定的集合在全集中的补集．

（2）重点、难点分析

①本小节的重点是子集、补集的概念．

子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等地关系入手，给出了子集的概念的．

正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号地方向不要搞错．

补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念．

正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以为学生进一步学习交集，并集的概念以及集合的其他初步知识打好基础，同时，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题．

②本节的难点是弄清元素与子集，属于与包含之间的区别．

学生在第一节集合概念学习中，刚刚接触了元素与集合之间的属于关系，现在又出现了子集、集合和集合之间的包含关系概念，由于对概念的本质认识不深刻，初学者容易弄混这些概念，在使用符号∈，表示时经常混用．

这是因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这两组概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在与个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，使属于与包含的符号反复使用，以培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力．

教法建议

（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义

子集、真子集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例（可以用由数字组成的集合）来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义，其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明真子集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质．如包含关系的传递性．但是，应注意，由特殊事例归纳出一般结论的举例最好尽可能地把各种具有代表性的情况都列举出来．例如子集、真子集、集合的相等，可以通过考察三个集合：

A＝｛1，2，3，4，5｝　B＝｛1，3，5｝　C＝｛5，4，3，2，1｝间的关系来引入．

（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；对于容易混淆的概念，要抓住不同点，培养学生的判断能力．

例如，“A是B的子集”，意思是A的任何一个元素都是B的元素，即由任一x∈A，可以推出x∈B，但不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．

空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的真子集解释成A是由B的部分元素组成的集合也是不确切的．正确的说法应该把真子集的两个特征：“A是B的子集”和“B中至少有一个元素不属于A”都指出．

“空集是任何集合的子集”这句话是正确的，但是把空集说成说成是任何集合的真子集就不确切．因为空集是它本身的子集．正确的说法是“空集是任何非空集合的真子集”．总之，对于概念的解释，语言表达必须确切．

再如，“CAB是A在全集B中的补集”，不能把它简单地说成CAB是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的．

（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用

本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号．

例如，属于符号“∈”、不属于符号“”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系“”“”、包含于（被包含）符号“”或“”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起学生充分注意，不能用错，不要出现把a∈｛a｝表示成a｛a｝，或a｛a｝之类的错误．

又如｛0｝，是含有一个元素的集合，Ø是不含任何元素的集合，因此，有Ø｛0｝，不能写成Ø＝｛0｝，Ø∈｛0｝．

关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．

关于补集，新的国家标准规定，集合A中子集B的补集或余集记为CAB，如果行文中集合A已经很明确，则常常可以省去符号A，而记为CB．

【教学设计示例】

教学目标

（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；

（2）了解全集、空集的意义，

（3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；

（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；

（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；

（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．

教学重点：子集、补集的概念

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

教学用具：幻灯机

教学过程设计

（一）导入新课

上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．

提出问题：（投影打出）

已知M＝｛－1，1｝，N＝｛－1，1，3｝，P｛x｜x2－1＝0｝，问：

1．哪些集合表示方法是列举法．

2．哪些集合表示方法是描述法．

3．将集M、集从集P用图示法表示．

4．分别说出各集合中的元素．

5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．

6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．

找学生回答：

1．集合M和集合N；（口答）

2．集合P；（口答）

3．（笔练结合板演）

4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（口答）

5．－1∈M，1∈M，－1∈N，1∈N，3∈N，－1∈P，1∈P，3M（笔练结合板演）

6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（口答）

引入：在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．

（二）新授知识

1．子集

（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．

记作：AB或BA　读作：A包含于B或B包含A

若任意x∈Ax∈B，则AB

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA．

性质：①AA（任何一个集合是它本身的子集）

②ØA（空集是任何集合的子集）

置疑：能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？

解疑：不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．

因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B．

例：｛－1，1｝＝｛1，－1｝，可见，集合A＝B，是指A、B的所有元素完全相同．

（3）真子集：对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB（或BA），读作A真包含于B或B真包含A．

思考：能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”

集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．

提问：

（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示．

（2）判断下列写法是否正确

①ØA　②ØA　③AA　④AA

性质：

（1）空集是任何非空集合的真子集．若ØA，且A≠Ø，则ØA；

（2）如果AB，BC，则AC．

例1　写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

解：集合｛a，b｝的所有的子集是Ø，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝，其中Ø，｛a｝，｛b｝是｛a，b｝的真子集．

注意：（1）子集与真子集符号的方向．

如AB与BA同义；AB与AB不同

（2）易混符号

①“∈”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系．如1∈N，－1N，NR，ØR，｛1｝｛1，2，3｝

②｛0｝与Ø：｛0｝是含有一个元素0的集合，Ø是不含任何元素的集合．

如：Ø｛0｝．不能写成Ø＝｛0｝，Ø∈｛0｝

例2　见教材P8（解略）

例3　判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．

（1）｛Ø｝表示空集；

（2）空集是任何集合的真子集；

（3）｛1，2，3｝不是｛3，2，1｝；

（4）｛0，1｝的所有子集是｛0｝，｛1｝，｛0，1｝；

（5）如果AB且A≠B，那么B必是A的真子集；

（6）AB与BA不能同时成立．(www.xing528.com)

解：（1）｛Ø｝不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；

（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；

（3）不正确．｛1，2，3｝与｛3，2，1｝表示同一集合；

（4）不正确．｛0，1｝的所有子集是｛0｝，｛1｝，｛0，1｝，Ø；

（5）正确

（6）不正确．当A＝B时，AB与BA能同时成立．

例4　用适当的符号（∈，，＝，，）填空：

（1）0____｛0｝；0____Ø；Ø____｛0｝；

（2）Ø____｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝；｛0｝____｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝；

（3）

（4）设A＝｛x｜x＝2n－1，n∈Z｝，B＝｛x｜x＝2m＋1，m∈Z｝，C＝｛x｜x＝4k＋1，k∈Z｝，则A____B____C．

解：（1）0∈｛0｝　0Ø　Ø｛0｝；

（2）Ø＝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝，｛0｝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝；

（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．

练习：教材P9

用适当的符号（∈，，＝，，）填空：

（1）a　｛a｝；　（5）｛a，b｝　｛b，a｝；

（2）a　｛a，b，c｝；　（6）｛3，5｝　｛1，3，5，7｝；

（3）d　｛a，b，c｝；　（7）｛2，4，6，8｝｛2，8｝；

（4）｛a｝｛a，b，c｝；　（8）Ø　｛1，2，3｝．

例如：若A＝｛正方形｝，当U＝｛菱形｝时，CuA＝｛一个内角不等于90°的菱形｝；当U＝｛矩形｝时，则CuA＝｛邻边不相等的矩形｝．

例5　设全集U＝R，A＝｛x｜x＜－1，或x＞1｝，B＝｛x｜x－2≥0｝，判断CuA与CuB之间的关系．

解：∵A＝｛x｜x＜－1，或x＞1｝

∴CuA＝｛x｜－1≤x≤1｝

∵B＝｛x｜x－2≥0｝

∴CuB＝｛x｜x＜2｝

∴CuACuB

练习：见教材P10练习

1．填空：

S＝｛x｜x是小于9的正整数｝，A＝｛1，2，3｝，B＝｛3，4，5，6｝，那么CsA＝______，CsB＝______．

解：CsA＝｛4，5，6，7，8｝，CsB＝｛1，2，7，8｝

2．填空：

（1）如果全集U＝Z，那么N的补集CuN＝__________；

（2）如果全集，U＝R，那么UQ的补集Cu（CuQ）＝__________．

解：（1）｛x∈Z｜x＜0｝；（2）Q．

（三）小结：本节课学习了以下内容：

1．五个概念（子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点）

2．五条性质

（1）空集是任何集合的子集．ΦA

（2）空集是任何非空集合的真子集．ΦA　（A≠Φ）

（3）任何一个集合是它本身的子集．AA

（4）如果AB，BC，则AC．

（5）CS（CSA）＝A

3．两组易混符号：（1）“∈”与“”：（2）｛0｝与Ø

（四）课后作业：见教材P10习题1．2

（五）板书设计：

【习题精选】

一、填空题

1．已知三个元素的集合A＝｛a，ab，a－b｝，B＝｛0，｜a｜，b｝，如果A＝B，那么a＋b的值为__________．

2．已知A＝｛x｜x＜－1或x＞5｝，B＝｛x｜a≤x＜a＋4｝．若AB，则实数a的取值范围是__________．

3．设全集为Z，A＝｛x∈Z｜x＜8｝，B＝｛x∈Z｜x≤3｝，则CZA与CZB的关系是__________．

4．若AB，AC，B＝｛0，1，23｝，C＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A为___________．

二、解答题

1．已知集合M＝｛a，a＋d，a＋2d｝，P＝｛a，aq，aq2｝，其中a≠0，a，d，q∈R，且M＝P．求q的值．

2．设全集S＝｛x∈R｜x2－8x＋15＝0｝，CSA＝｛x∈R｜ax－1＝0｝，求由实数a组成的集合．

3．已知A＝｛0，1｝，B＝｛x｜xA｝，C＝｛x｜x∈A，x∈N*｝，试确定A，B，C之间的关系．

【参考答案】

一、填空题

1．－2．　2．a≤－5，或a＞5　3．CzACzB　4．Ø，｛0｝，｛2｝，｛0，2｝．

二、解答题

1．q＝－．注意a≠0，q≠1，d≠0．

2．提示：由题设知S＝｛3，5｝，CsA＝，故可求出　，注意全集与空集互为补集．

3．A∈B，C∈B，CA．

【典型例题】

例1　判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．

（1）｛Ø｝表示空集；

（2）空集是任何集合的真子集；

（3）｛1，2，3｝不是｛3，2，1｝；

（4）｛0，1｝的所有子集是｛0｝，｛1｝，｛0，1｝；

（5）如果AB且A≠B，那么B必是A的真子集；

（6）AB与BA不能同时成立．

解：（1）｛Ø｝不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确；

（2）不正确．空集是任何非空集合的真子集；

（3）不正确．｛1，2，3｝与｛3，2，1｝表示同一集合；

（4）不正确．｛0，1｝的所有子集是｛0｝，｛1｝，｛0，1｝，Ø；

（5）正确

（6）不正确．A＝B时，AB与BA能同时成立．

说明：本题中某些似是而非的问题是学生学习中常常出现的问题，教学中应及时收集学生作业中的类似问题，让学生判断，以加深学生对子集和真子集，包含和相等的理解．

例2　用适当的符号（∈，，＝，，）填空：

（1）0____｛0｝；0____Ø；Ø____｛0｝

（2）Ø____｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝；　；

（3）

（4）设A＝｛x｜x＝2n－1，n∈Z｝，B＝｛x｜x＝2m＋1，m∈Z｝，则A______B______C．

解：（1）0∈　0　Ø｛0｝

（2）Ø＝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝，｛0｝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝；

（4）∵A，B，C均表示奇数集，∴A＝B＝C．

说明：本题主要是训练学生正确运用集合的符号，这类题的解法应使学生熟练掌握，为此教师还可以选编一些习题供学生练习．

例3　设A＝｛a，b｝，且B＝｛x｜xA｝则（　）

A．A∈B　B．AB　C．AB　D．AB

解：由B的表示可知，x代表A的子集，B＝｛Ø，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝｝，所以A∈B．

例4　若集合：

A．M＝NP　B．MN＝P

C．MNP　D．ZPM

解：对集合

对集合N，，p∈Z

对于

∴MN＝P，故选B．

例5　设全集U＝R，A＝｛x｜x＜－1，或x＞1｝，B＝｛x｜x－2≥0｝，判断Cu与CuB之间的关系．

解：∵A＝｛x｜x＜－1，或x＞1｝

∴CuA＝｛x｜－1≤x≤1｝

∵B＝｛x｜x－2≥0｝

∴CuB＝｛x｜x＜2｝

∴CuCuB